正方形内的半角模型22问学习资料.docx
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正方形内的半角模型22问学习资料
正方形内的半角模型22问
正方形内的半角模型22问
何为半角模型?
如图a,在△ABC中,∠BAC=2∠DAE,AB=AC。
这种模型就叫做“半角模型”。
“半角模型”通常解题的方法是“旋转”。
【例1】如图a,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D、E是BC边上的点,∠DAE=60°,BD=5,CE=8,求DE的长。
【提示】将,△AEC绕点A顺时针旋转120º得到△APB,过点P作PM⊥BC于点M,连接PD(如图a-1)。
则△APD≌△AED,∠PBM=60º。
正方形中的半角模型:
【例2】已知正方形ABCD,AB=6,点P在对角线BD上,AP交DC于点G,PH⊥DC,PE⊥PA交BC于点E,PF⊥BC于点F,连接EG交PF于点N,连接AN交PE于点M,EK⊥BD于点K,连接AE交BD于点Q。
则有以下结论:
(1)△PAE是等腰直角三角形;
(2)EF=FC(四边形EFHP为平行四边形);
(3)PB-PD=√2BE;
(4)EG=EB+DG;
(5)BC+BE=√2BP;
(6)GA平分∠DGE;
(7)A到EG的距离为定值;
(8)△EFN的周长为定值;
(9)FH=AP;
(10)∠BAE=∠BPE;
(11)NE=NG=NP(∠NEP=∠NPE,∠NPG=∠NGP);
(12)∠KEQ=∠PEN;
(13)∠APB=∠AEG;
(14)∠DGE=2∠AQD;
(15)PQ²=BQ²+PD²;
(16)AB=√2PK(PK=3√2);
(17)若BE=2,则PF=4且DG=GC;
(18)若∠EPF=22.5º,则PF=PK;
(19)若△PEC是等边三角形,则PE=6√3-6(PF=9-3√3,PD=3√6-3√2);
(20)S△ABE=6,则S△ECG=6;
(21)若AN⊥EG,则PD=6√2-6;
(22)若AN⊥EG,则NA-NE=√2NP。
【解析】
(1)延长FP(如图1-1),
则PIDH为正方形,∠EPF=∠PAI,
∴△EPF≌△PAI,
∴PA=PE,又PE⊥AP,
∴△PAE为等腰直角三角形;
(2)EF=IP=ID=FC,PH∥EF,故四边形EFHP为平行四边形;
(3)PB-PD=√2BF-√2PH
=√2(BF-PH)
=√2(BF-EF)
=√2BE;
(4)将△ADG绕点A顺时针旋转90º得到△ABJ(如图1-2)。
则AJ=AG,∠GAE=∠JAE=45º,AE=AE,
∴△GAE≌△JAE,
JE=EG,JE=JB+BE,JB=DG,
∴EG=EB+DG;
(5)∵BP=BD-PD=√2BC-√2FC,
∴√2BP=2BC-2FC
=BC+(BC-FC-EF)
=BC+BE;
(6)由(4),∠AJB=∠AGE=∠AGD,故GA平分∠DGE;
(7)由(4),∠AEB=∠AEG=∠AGD,故A到EG的距离=AB=6,为定值;
(8)C△ECG=EC+CG+EG=EC+CG+GD+BE=BC+CD=12,
∵EF=FC,FN∥CG,
∴N为EG中点,C△EFN=C△ECG÷2=6,为定值;
(9)连接PC(如图1-3),
根据对称性,PA=PC,四边形FCHP为矩形,
∴PC=FH,∴PA=FH;
(10)∵∠BAE+∠DAG=45º,
∠BPE+∠EPF=45º,
∠EPF=∠DAG(参照
(1)的证明),
∴∠BAE=∠BPE;
(11)由(8)知,点N为EG中点,△EPG为直角三角形,
∴NE=NG=NP(∠NEP=∠NPE,∠NPG=∠NGP);
(12)∠KEQ=∠AEB-45º=90º-∠BAE-45º
=45º-∠BAE=∠DAG;
∠PEN=∠EPN=∠DAG,
∴∠KEQ=∠PEN;
(13)∠APB=∠BPC=45º+∠FPC
=45º+∠EPN=45º+∠PEN=∠AEG;
(14)∠AQD=45º+∠BAE
=45º+45º-∠DAG=90º-∠DAG
=∠AGD,
∴2∠AQD=2∠AGD=∠DGE;
(15)将△ABQ绕点A逆时针旋转90º得到△ADR,连接RP(如图1-4)。
则AR=AQ,∠RAP=∠QAP=45º,AP=AP,
∴△RAP≌△QAP,PQ=PR,RD=BQ;
∠ADR=∠ADP=45º,
∴∠PDR=90º,
∴PR²=RD²+PD²,即:
PR²=RD²+PD²;
(16)PK=BD-BK-PD
=√2AB-√2BE/2-√2PH
=√2AB-√2BE/2-√2FC
=√2AB-(√2/2)(BE+2FC)
=√2AB-(√2/2)AB
=(√2/2)AB,
∴AB=√2PK;或6=√2PK,PK=3 √2;
(17)FC=(6-2)÷2=2,
∴PI=2,PF=4;设DG=x,则:
(6-x)²+4²=(2+x)²,解得:
x=3,
∴GC=6-3=3,故DG=GC;
(18)∵∠EPF=22.5º,
∴∠DAG=∠BAE=22.5º,
则△ADG≌△ABE,DG=BE,
∴CE=CG,∠GEC=45º,
∴∠KEG=90º,
∵∠AEP=45º,∠KEQ=∠PEN(第12问),
∴∠KEQ=∠PEN=22.5º,
∴∠PEK=∠PEF=67.5º,
又PF⊥EF,PK⊥EK,
∴PK=PF;
(19)设FC=a,则PI=a,PC=PE=2a,
PF=√3a,IF=(√3+1)a=6,
∴a=6÷(√3+1)=3(√3-1);
PE=6(√3-1);
PF=√3·3(√3-1)=9-3√3,
PD=√2·3(√3-1)=3√6-3√2;
(20)∵S△ABE=6,
∴BE=2,由(17),GC=3;
EC=4,∴S△ECG=3×4÷2=6;
(21)∵点N为EG中点,又AN⊥EG,
∴AG=AE,∴△ADG≌△ABE。
∴∠DAG=∠BAE=22.5º,
∴∠EPF=∠FPC=22.5º;
∴∠PCF=67.5º,
∵∠PBC=45º,
∴∠BPC=67.5º,
∴BP=BC=6,BD=6√2,
∴PD=6√2-6;
(22)由(21),AE=AG,∠DPG=∠DGP=67.5º,
∴PD=DG=6√2-6,
∵PD∥NG,PN∥DG,
∴四边形DGNP为平行四边形,
∴NP=DG=6√2-6,NE=NG=PD=6√2-6;
∵AN⊥GN,AD⊥DG,AG=AG,
∴△ADG≌△ANG,
∴AN=AD=6,
NA-NE=6-(6√2-6)=12-6√2,
√2NP=√2(6√2-6)=12-6√2,
∴NA-NE=√2NP。
【点评】正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,性质丰富,如果其内部构造了“垂直模型”及“半角模型”,则海量等量关系层出不穷。
本题从对称轴BD出发,求得全等三角形开始,获得线段等量关系:
EF=FC=PH,而后步步为营,层层推导,不断深入,堪为经典题例。
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