奥数专题 时钟问题.docx
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奥数专题时钟问题
奥数专题时钟问题
第一部分基础知识点部分
【开门见山这一段话多半录自XX百科】
时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题,不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
不同在于时钟问题有别于其他行程问题是:
它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时,而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。
对于正常的时钟:
1.整个钟面为360度,上面有12个大格,每个大格为30度;60个小格,每个小格为6度。
分针速度:
每分钟走1小格,每分钟走6度;
时针速度:
每分钟走十二分之一小格,每分钟走0.5度
速度差:
每分钟6-0.5=5.5度;每分钟1-1/12=11/12小格
2.需要注意的是在许多时钟问题中,往往遇到各种“怪钟”、“坏了的钟”,它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同,但是在题目中总会给出标准时钟与特殊钟表的比例关系,在独立分析的基础上必须要学会十字交叉法。
当你做过一个题目后,这个十字交叉法其实没有啥精妙之处,与浓度问题中的十字交叉类似,实际就是个一元一次方程变种格式而已。
【温故知新】追击问题的三个特点:
同时出发;同向而行;同时停止。
追击问题的重要公式:
路程差除以时间差=追击时间。
常用的等量关系:
快者路程-慢者路程=距离;在实际题目中,路程差相对变化多一些,主要的类型有:
重合问题(路程)
例如:
时钟问题需要记住标准的钟,时针与分针从一次重合到下一次重合,所需时间为65又11分之5分。
认识钟面:
时钟问题解法与算法公式:
时钟问题的关键点:
时针每小时走30度; 分针每分钟走6度
分针走一分钟(转6度)时,时针走0.5度,分针与时针的速度差为5.5度。
***************************************************************************
第二部分以知促行
【例题1】从12时到13时,钟的时针与分针可成直角的机会有:
A.1次B.2次C.3次D.4次
【解析】
时针与分针成直角,即时针与分针的角度差为90度或者为270度,理论上讲应为2次,还要验证:
根据角度差/速度差=分钟数,可得90/5.5=16又4/11<60,表示经过16又4/11分钟,时针与分针第一次垂直;同理,270/5.5=49又1/11<60,表示经过49又1/11分钟,时针与分针第二次垂直。
经验证,选B可以。
【例题2】在某时刻,某钟表时针在10点到11点之间,此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上,则此时刻为----。
【解法1】
时针10—11点之间的刻度应和分针20—25分钟的刻度相对,所以要想时针与分针成一条直线,则分针必在这一范围,而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分,所以
【解法2】常规方法
设此时刻为X分钟。
则6分钟后分针转的角度为6(X+6)度,则此时刻3分钟前的时针转的角度为0.5(X+3)度,以0点为起始来算此时时针的角度为0.5(X—3)+10×30度。
所谓“时针与分针成一条直线”即0.5(X—3)+10×30—6(X+6)=180度,解得X=15分钟。
著名数学难题:
时钟的时针和分针(了解)
由时钟的时针与分针的特殊关系,产生了许多有趣的数学问题,介绍几例,研究解法。
例1在钟表正常走动的时候,有多少个时针和分针重合的位置?
它们分别表示什么时刻?
解:
钟表上把一个圆分成了60等分,假如时针从12点开始走过了x个刻度,那么分针就要走过12x个刻度,即分针走了12x分钟。
两针在12点重合后,当分针比时针多走60个刻度时,出现第一次分针和时针重合;当分针又比时针多走60个刻度时,出现第二次分针和时针重合;……直至回到12点两针又重合后,又开始重复出现以上情况。
用数学式子来表示,即为:
12x-x=60m,其中m=1,2,….
度为1小时,对分针来说1个刻度就是1分钟。
所以,12点以后出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出它们:
如果用m=11代入,解得x=60,出现第十一次重合的时间是12点,这样就回到了开始的时刻,可见,以上共有11次出现两针重合的时间。
1、二点到三点钟之间,分针与时针什么时候重合?
分析:
两点钟的时候,分针指向12,时针指向2,分针在时针后5×2=10(小格)。
而分针每分钟可追及1-=(小格),要两针重合,分针必须追上10小格,这样所需要时间应为(10÷)分钟。
解:
(5×2)÷(1-)=10÷=10(分)
答:
2点10分时,两针重合。
2、在4点钟至5点钟之间,分针和时针在什么时候在同一条直线上?
分析:
分针与时针成一条直线时,两针之间相差30小格。
在4点钟的时候,分针指向12,时针指向4,分针在时针后5×4=20(小格)。
因分针比时针速度快,要成直线,分针必须追上时针(20小格)并超过时针(30小格)后,才能成一条直线。
因此,需追及(20+30)小格。
解:
(5×4+30)÷(1-)=50÷=54(分)
答:
在4点54分时,分针和时针在同一条直线上。
3、在一点到二点之间,分针什么时候与时针构成直角?
分析:
分针与时针成直角,相差15小格(或在前或在后),一点时分针在时针后5×1=5小格,在成直角,分针必须追及并超过时针,才能构成直角。
所以分针需追及(5×1+15)小格或追及(5×1+45)小格。
解:
(5×1+15)÷(1-)=20÷=21(分)
或(5×1+45)÷(1-)=50÷=54(分)
答:
在1点21分和1点54分时,两针都成直角。
4、星期天,小明在室内阳光下看书,看书之前,小明看了一眼挂钟,发现时针与分针正好处在一条直线上。
看完书之后,巧得很,时针与分针又恰好在同一条直线上。
看书期间,小明听到挂钟一共敲过三下。
(每整点,是几点敲几下;半点敲一下)请你算一算小明从几点开始看书?
看到几点结束的?
分析:
连半点敲声在内,一共敲了三下,说明小明看书的时间是在中午12点以后。
12点以后时针与分针:
第一次成一条直线时刻是:
(0+30)÷(1-)=30÷=32(分)即12点32分。
第二次成一条直线时刻是:
(5×1+30)÷(1-)=35÷=38(分)即1点38分。
第三次成一条直线的时刻是:
(5×2+30)÷(1-)=40÷=43(分)即2点43分。
如果从12点32分开始,到1点38分,只敲2下,到2点43分,就共敲5下(不合题意)
如果从1点38分开始到2点43分,共敲3下。
因此,小明应从1点38分开始看书,到2点43分时结束的。
5、此挂钟走到5点30分,按标准时间还要走27分,因它的速度是标准时钟速度的,实际走完这27分所要时间应是27÷。
解:
5×(17-12)=27(分)27÷=30(分)
答:
再经过30分钟,该挂钟才能走到5点30分。
解题关键:
时钟问题属于行程问题中的追及问题。
钟面上按“时”分为12大格,按“分”分为60小格。
每小时,时针走1大格合5小格,分针走12大格合60小格,时针的转速是分针的,两针速度差是分针的速度的,分针每小时可追及。
【其他例题】
例1:
从5时整开始,经过多长时间后,时针与分针第一次成了直线?
5时整时,分针指向正上方,时针指向右下方,此时两者之间间隔为25个小格(表面上每个数字之间为5个小格),如果要成直线,则分针要超过时针30个小格,所以在此时间段内,分针一共比时针多走了55个小格。
由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知,此段时间为55/(11/12)=60分钟,也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。
例2:
从6时整开始,经过多少分钟后,时针与分针第一次重合?
6时整时,分针指向正上方,时针指向正下方,两者之间间隔为30个小格。
如果要第一次重合,也就是两者之间间隔变为0,那么分针要比时针多走30个小格,此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。
例3:
在8时多少分,时针与分针垂直?
8时整时,分针指向正上方,时针指向左下方,两者之间间隔为40个小格。
如果要两者垂直,有两种情况,一个是第一次垂直,此时两者间隔为15个小格(分针落后时针),也就是分针比时针多走了25个小格,此段时间为25/(11/12)=300/11分钟;另一次是第二次垂直,此时两者间隔仍为15个小格(但分针超过时针),也就是分针比时针多走了55个小格,此段时间为55/(11/12)=60分钟,时间变为9时,超过了题意的8时多少分要求,所以在8时300/11分时,分针与时针垂直。
由上面三个例题可以看出,求解此类问题(经过多少时间,分针与时间成多少夹角)时,采用上述方法是非常方便、简单、快捷的,解题过程形象易懂,结果正确率高,是一种非常好的方法。
解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格,而不论两者分别走了多少个小格。
下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。
关于时钟的问题有:
求某一时刻时针与分针的夹角,两针重合,两针垂直,两针成直线等类型。
要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。
一个钟表一圈有60个小格,这里计算就以小格为单位。
1分钟时间,分针走1个小格,时针指走了1/60*5=1/12个小格,所以每分钟分针比时针多走11/12个小格,以此作为后续计算的基础,对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。
例4:
从9点整开始,经过多少分,在几点钟,时针与分针第一次成直线?
9时整时,分针指向正上方,时针指向正右方,两者之间间隔为45个小格。
如果要第一次成直线,也就是两者之间间隔变为30个小格,那么分针要比时针多走15个小格,此段时间为15/(11/12)=180/11分钟。
例5:
一个指在九点钟的时钟,分针追上时针需要多少分钟?
9时整时,分针指向正上方,时针指向正右方,两者之间间隔为45个小格。
如果要分针追上时针,也就是两者之间间隔变为0个小格,那么分针要比时针多走45个小格,此段时间为45/(11/12)=540/11分钟。
例6:
时钟的分针和时针现在恰好重合,那么经过多少分钟可以成一条直线?
时针和分针重合,也就是两者间隔为0个小格,如果要成一条直线,也就是两者间隔变为30个小格,那么分针要比时针多走30个小格,此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。
1.设时钟一圈分成了12格,则时针每小时转1格,分针每小时转12格。
2.时针一昼夜(24小时)转2圈,分针一昼夜转24圈。
3.钟面上每两格之间为30°,时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。
4.时针与分针一昼夜重合22次,垂直44次,成180°也是22次。
【例1】清晨5点时,时钟的时针和分针的夹角是多少度?
()
A.30度B.60度C.90度D.150度[答案]D
[解析]清晨5点时,时针和分针相差5格,则5×30°=150°。
【例2】中午12点整时,钟面上时针与分针完全重合。
那么到当晚12点时,时针与分针还要重合了多少次?
()A.10B.11C.12D.13[答案]B
[解一]从中午12点到晚上12点,时针走了1圈,分针走了12圈,比时针多走了11圈。
因此,时针与分针重合了11次。
选择B。
[解二]根据基本知识点:
由于时针和分针24小时内重合22次,所以12小时内重合11次。
【例3】小李开了一个多小时会议,会议开始时看了手表,会议结束时又看了手表,发现时针和分针恰好互换了位置。
问这次会议大约开了1小时多少分?
()#中国公务员考试信息网A.51B.47C.45D.43[答案]A
[解析]根据题意,会议开了1个多小时,那么分针应该转了1圈多不到2圈,时针转了1格多不到2格。
由于“时针和分针恰好互换了位置”,所以时针和分针所转角度之和应该是整整两圈。
假设这个过程经过了T小时,时针12小时转一圈,那么T小时应该转了T/12圈;分针1小时转一圈,T小时应该转了T圈,那么T+T/12=2,得到T=24/13小时,约合1小时51分。
【例4】某时刻钟表时针在10点到11点之间,此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上,则此时刻为几点几分?
()
A.10点15分B.10点19分
C.10点20分D.10点25分[答案]A
[解析]代入B、C、D,很明显,这三个时刻的3分钟之前都还是10点多,因此时针在钟面上的“10”与“11”之间,而这三个时刻6分钟之后已经至少是25分了,即分针已经在钟面上的“5”上或者之后了。
我们知道,钟面上的“10”与“11”之间反过来对应的是“4”与“5”之间,所以这三个选项对应的时间与条件不符,所以选择A。
核心提示
钟面问题很多本质上是追及问题,可选用公式T=T0+111T0,其中:
T为追及时间,即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间。
T0为静态时间,即假设时针不动,分针和时针“达到条件要求”的时间。
例5从钟表的12点整开始,时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是()。
A.43分钟B.45分钟C.49分钟D.61分钟[答案]C
[解析]从12点整往后,时针与分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间T0=45(分钟),根据公式,其间隔时间T=T0+T0/11≈49(分钟)。
【例6】(国家2006一类-45、国家2006二类-45)从12时到13时,钟的时针与分针可成直角的机会有多少次?
()A.1次B.2次C.3次D.4次[答案]B
[解一]从12时到13时,时针旋转了30°;分针旋转了360°。
分针与时针所成的角度从0°变化到330°(其中包括90°和270°),因此有2次成直角的机会。
选择B。
[解二]根据公式:
从12点开始算,时针与分针成直角的“静态时间”为15分钟或45分钟,追及时间为15+1511=16411、45+4511=49111分钟,所以垂直两次。
【例7】(广东2008年)时针与分针在5点多少分第一次垂直?
()
A.5点10分B.5点101011分C.5点11分D.5点12分[答案]B
[解析]根据公式:
时针与分针5点后第一次成直角的“静态时间”为10分钟,追及时间为10+1011=101011分钟,所以选择B。
强华公务员
【例8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间?
()
A.32B.32811分C.33分D.34分[答案]B
[解一]根据公式:
时针与分针两次垂直间隔的“静态时间”为30分钟,代入公式算得追及时间为30+3011=32811分钟,所以选择B。
[解二]根据基本知识点:
时针与分针24小时内垂直44次,所以垂直间隔为:
24×6044=32811分钟。
核心提示当时钟问题涉及“坏表”时,其本质是“比例问题”。
解题的关键是抓住“标准比”,按比例计算。
【例9】(国家2005二类-46)有一只钟,每小时慢3分钟,早晨4点30分的时候,把钟对准了标准时间,则钟走到当天上午10点50分的时候,标准时间是多少?
()
A.11点整B.11点5分C.11点10分D.11点15分[答案]C
[解析]标准比:
标准时间走60分钟时,慢钟走57分钟。
此时,慢钟从4点30分走到10点50分,一共走了6小时20分,合380分钟,假设标准时间走了x分钟,那么:
x∶380=60∶57,可得:
x=400(分钟)。
说明标准时间比慢钟快400-380=20分钟,慢钟走到了10点50分,实际上应该是11点10分了。
【例10】(国家2005一类-46)一个快钟每小时比标准时间快1分钟,一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。
如将两个钟同时调到标准时间,结果在24小时内,快钟显示10点整时,慢钟恰好显示9点整。
则此时的标准时间是多少?
()
A.9点15分B.9点30分C.9点35分D.9点45分[答案]D
[解析]快钟、慢钟与标准时间的差的标准比为1∶3。
假设现在是9点x分(快钟显示10点整,慢钟显示9点整),那么(60-x)∶(x-0)=1∶3,解得:
x=45。
所以标准时间是9点45分。
时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具,生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。
关于时钟的问题有:
求时间差:
例:
从上午五点十五分到下午两点四十五分之间,共有多少时间?
A.8小时B.8小时30分C.9小时30分D.9小时50分
解析:
这种属于最简单的时钟问题。
答案是14.45-5.15=9.30C
求慢(快)表在几小时后显示什么时间?
例:
有一只钟,每小时慢3分钟,早晨4点30分的时候,把钟对准了标准时间,则钟走到当天上午10点50分的时候,标准时间是()。
A.11点整B.11点5分c.1l点1O分D.11点15分
解析:
慢表显示经过的时间是:
10:
50-4:
30=6小时20分钟=380分钟,实际经过的时间应该是:
380÷[(60-3)/60]=400分钟=6小时40分钟,答案为C:
4:
30+6:
40=11:
10。
例:
一个快钟每小时比标准时间快1分钟,一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。
如将两个钟同时调到标准时间,结果在24小时内,快钟显示10点整时,慢钟恰好显示9点整。
则此时的标准时间是()。
A.9点15分B9点30分c.9点35分D9点45分
解析:
这是2个不准确的时钟问题,也是这种问题的一个延伸。
我们可以看到,在一个小时内,快钟与慢钟有4分钟的差距,而4分钟里面,1分钟时快走造成的,3分钟时慢走造成的。
所以当它们(快慢钟)的差距有60分钟时,那么一样,1/4的时间=15分钟时快走造成的,3/4的时间(45分钟)时慢走造成的。
所以标准时间为9点45分,答案为D。
总结:
其实这种类型题是较为简单的,关键把握一点,就是不准确的时钟与标准时间的比例关系,也就是常说的一小时慢(快)多少,然后再推广到几个小时后,而这种比例是不变的。
延伸:
通过第二道例题,大家可以多少感觉到,有点像路程问题,其实这正是解决时钟问题中较困难问题的一个核心思想。
下面,我们继续往下看,来看看时钟问题中较为困难的类型。
求某一时刻时针与分针的夹角,两针重合,两针垂直,两针成直线等类型。
例:
中午12点,时针与分针完全重合,那么到下次12点,时针与分针重合多少次?
一个钟表一圈有60个小格,这里计算就以小格为单位。
1小时时间,分针走60个小格,时针只走了5个小格,所以每小时分针比时针多走55个小格。
解析:
就此题而言,可以看作是跑道同向相遇问题:
时针:
v1=5格/小时分针:
v2=60格/小时
n*60=(v2-v1)*12即:
重合一次,多走60个格,假设重合了N次,所以多走了n*60;再有,一小时多走(60-5)个格,总共走了12小时,所以多走了(60-5)*12个格。
解出:
n=11
例:
从6时整开始,经过多少分钟后,时针与分针第一次重合?
解析:
6时整时,分针指向正上方,时针指向正下方,两者之间间隔为30个小格。
如果要第一次重合,也就是两者之间间隔变为0,那么分针要比时针多走30个小格,此段时间为30/55=6/11小时=360/11分钟。
例:
一个指在九点钟的时钟,多少分钟后时针与分针第一次重合?
解析:
9时整时,分针指向正上方,时针指向正右方,两者之间间隔为45个小格。
如果要分针与时针重合,也就是两者之间间隔变为0个小格,那么分针要比时针多走45个小格,此段时间为45/55小时=540/11分钟。
总结:
这类题型其本质就是追击问题。
我们知道在追击问题中,关键是要知道路程差,速度差。
而在时针与分针重合问题中,路程差就是时针分针之间有多少个小格,速度差就是一小时差55格(前面已经分析过)。
所以本着这两点,这类问题可以迎刃而解。
大家可以看看下面这两个问题:
供大家思考,也是对这类问题的延伸。
例:
爷爷家的老式钟的时针与分针每隔66分钟重合一次,这只钟每昼夜慢多少分钟?
解析:
正常的钟每隔(12/11)小时=(720/11)分钟重合一次,
爷爷家的老式钟是726/11分钟重合一次,慢了6/11分钟。
每小时这个钟就会慢【(6/11)/(720/11)】*60=1/2分钟。
一昼夜共慢了1/2*24=12分钟。
时针分针讨论了不少,我们稍微换一换,看看分针和秒针的问题。
例:
1个小时内分针和秒针共重叠()次。
A.60B.59C.61D.55
这个题目很多人认为是61次,我们来讨论一下:
首先,从一个理想状态来研究,因为理想状态也是其中的符合条件的情况,比如正点时刻
分针和秒针都是在12上
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,。
。
。
。
。
。
。
58,59,60
我们来仔细分析
当0分钟时刻,分针秒针都是在一起,算1次重叠。
但是在0~1之间却是没有重合的,因为当秒针从12转一圈之后回到12,此时的分针已经偏离12,1格子的角度了。
从1~2分钟时刻开始,秒针和分针就开始在其每分钟的间隙之间重叠了。
当到了59~60分钟之间,最后是分针和秒针同时到达12上,形成了最后一次重复。
在59~60间隙里面也是没有重合的。
这样我们就可以把开始0位置上的重合看作是0~1上的重合,60上的重合看作是59~60之间的重合,整个过程就发现就是60次。
其次:
如果不是理想状态。
这个题目就出现了2个结果。
就是看间隔。
59个间隔至少有59次相遇。
第一次的间隔没有。
这里有一个问题,很多人认为当出现整点到整点时刻是不是不包含两端的端点时刻。
如果题目没有交代的情况下是包涵的,跟植树问题是样的。
如果交代了,自然按照题目交代的情况来做。
时钟问题经典例题详解
例:
现在是2点,什么时候时针与分针第一次重合?
析:
2点时候,时针处在第10格位置,分针处于第0格,相差10格,则需经过10/11/12
分钟的时间。
例:
中午12点,时针与分针完全重合,那么到下次12点时,时针与分针重合多少次?
析:
时针与分针重合后再追随上,只可能分针追及了60格,则分针追赶时针一次,耗时60/11/12=720/11分钟,而12小时能追随及12*60分钟/720/11分钟/次=11次,第11次时,
时针与分针又完全重合在12点。
如果不算中午12点第一次重合的次数,应为11次。
如果题目是到下次12点之前,重合几次,应为11-1次,因为不算最后一次重合的次数。
2.分针与秒针秒针每秒钟走一格,分针每60秒钟走一格,则分针每秒钟走1/60格,每秒钟秒针比分针多走59/60格
3.例:
中午12点,秒针与分针完全重合,那么到下午1点时,两针重合多少次?
析:
秒针与分针重合,秒针走比分针快,重合后再追上,只可能秒针追赶了60格,则秒针
追分针一次耗时,60格/59/60格/秒=3600/59秒。
而到1点时,总共有时间3600秒,则能追赶,3600秒/3600/59秒/次=59次。
第59次时,共追赶了,59次*3600/59秒/次=3600秒,分针走了60格,即经过1小时后,两针又重合在12点。
则重合了59次。
3.时针与秒针
秒针每秒走一格,时针3600秒走5格,则时针每秒走1/720格,每秒钟秒针比时针多走719/720格。
例:
中午12点,秒针与时针完全重合,那么到下次12点时,时针与秒针重合了多少次?
析:
重合后再追上,只可能是秒针追赶了时针60格,每秒钟追719/720格,则要一次要追60/719/7
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