小学奥数434 任意四边形梯形与相似模型二教师版.docx
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小学奥数434任意四边形梯形与相似模型二教师版
例题精讲
板块二梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
①
②;
③的对应份数为.
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道,通过构造模型,直接应用结论,往往在题目中有事半功倍的效果.(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)
【例1】如图,,,求梯形的面积.
【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答
【解析】设为份,为份,根据梯形蝴蝶定理,,所以;又因为,所以;那么,,所以梯形面积,或者根据梯形蝴蝶定理,.
【答案】9
【巩固】如下图,梯形的平行于,对角线,交于,已知与的面积分别为平方厘米与平方厘米,那么梯形的面积是________平方厘米.
【考点】梯形模型【难度】2星【题型】填空
【解析】根据梯形蝴蝶定理,,可得,再根据梯形蝴蝶定理,,所以(平方厘米).那么梯形的面积为(平方厘米).
【答案】144
【巩固】如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O。
已知AB=5,CD=3,且梯形ABCD的面积为4,求三角形OAB的面积。
【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答
【关键词】华杯赛,决赛,15分,第3大题第,1题
【解析】根据题意,AB=5,CD=3,CD:
AB=3:
5,
则根据蝴蝶模型,令=25份,
则梯形ABCD共有:
9+15+25+15=64份。
所以1份为:
4÷64=,则三角形OAB的面积为×25=。
【答案】
【例2】梯形的对角线与交于点,已知梯形上底为2,且三角形的面积等于三角形面积的,求三角形与三角形的面积之比.
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答
【解析】根据梯形蝴蝶定理,,可以求出,
再根据梯形蝴蝶定理,.
通过利用已有几何模型,我们轻松解决了这个问题,而没有像以前一样,为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设,所以,请同学们一定要牢记几何模型的结论.
【答案】
【例3】如下图,四边形中,对角线和交于点,已知,并且,那么的长是多少?
【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答
【关键词】华杯赛
【解析】根据蝴蝶定理,,所以,又,所以.
【答案】
【例4】梯形的下底是上底的倍,三角形的面积是,问三角形的面积是多少?
【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答
【解析】根据梯形蝴蝶定理,,,
所以.
【答案】4
【巩固】如图,梯形中,、的面积分别为和,求梯形的面积.
【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答
【解析】根据梯形蝴蝶定理,,所以,
,,
.
【答案】7.5
【例5】在梯形ABCD中,上底长5厘米,下底长10厘米,平方厘米,则梯形ABCD的面积是平方厘米。
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答
【关键词】华杯赛,决赛,第4题,10分
【解析】因为AD∥BC,故又,故
在与中,因其高相等,且BO:
DO=2:
1,故:
=2:
1
而,故。
同理,在与中,
因CO:
AO=2:
1,且在相应边上的高相等,故:
=2:
1即.
在中,因AO:
CO=1:
2,且其在相应边上的高相等,故:
=1:
2。
即综上,=10+20+10+5=45
【答案】45
【例6】如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形的面积是,三角形的面积是,求四边形的面积.
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答
【解析】如图,连结EF,显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形,于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积;三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积,所以四边形EGFH的面积是.
【答案】34
【巩固】如图,长方形中,若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2的面积为36,则三角形1的面积为________.
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空
【关键词】人大附中,入学测试题
【解析】做辅助线如下:
利用梯形模型,这样发现四边形2分成左右两边,其面积正好等于三角形1和三角形3,所以1的面积就是,3的面积就是.
【答案】20
【例7】如图,正方形面积为平方厘米,是边上的中点.求图中阴影部分的面积.
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答
【解析】因为是边上的中点,所以,根据梯形蝴蝶定理可以知道
,设份,则份,所以正方形的面积为份,份,所以,所以平方厘米.
【答案】1
【巩固】在下图的正方形中,是边的中点,与相交于点,三角形的面积为1平方厘米,那么正方形面积是平方厘米.
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空
【解析】连接,根据题意可知,根据蝴蝶定理得(平方厘米),(平方厘米),那么(平方厘米).
【答案】12
【例8】如图面积为平方厘米的正方形中,是边上的三等分点,求阴影部分的面积.
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答
【解析】因为是边上的三等分点,所以,设份,根据梯形蝴蝶定理可以知道份,份,份,因此正方形的面积为份,,所以,所以平方厘米.
【答案】3
【例9】如图,在长方形中,厘米,厘米,,求阴影部分的面积.
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答
【解析】方法一:
如图,连接,将阴影部分的面积分为两个部分,其中三角形的面积为平方厘米.
由于,根据梯形蝴蝶定理,,所以,而平方厘米,所以平方厘米,阴影部分的面积为平方厘米.
方法二:
如图,连接,,由于,设份,根据梯形蝴蝶定理,份,份,份,因此份,份,而平方厘米,所以平方厘米
【答案】3.5
【例10】已知是平行四边形,,三角形的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是平方厘米.
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空
【关键词】学而思杯,六年级
【解析】连接.
由于是平行四边形,,所以,
根据梯形蝴蝶定理,,所以(平方厘米),(平方厘米),又(平方厘米),阴影部分面积为(平方厘米).
【答案】21
【巩固】右图中是梯形,是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:
平方厘米),阴影部分的面积是平方厘米.
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空
【解析】连接.
由于与是平行的,所以也是梯形,那么.
根据蝴蝶定理,,故,
所以(平方厘米).
【答案】6
【巩固】右图中是梯形,是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:
平方厘米),阴影部分的面积是平方厘米.
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空
【关键词】三帆中学
【解析】连接.
由于与是平行的,所以也是梯形,那么.
根据蝴蝶定理,,故,所以(平方厘米).
另解:
在平行四边形中,(平方厘米),
所以(平方厘米),
根据蝴蝶定理,阴影部分的面积为(平方厘米).
【答案】4
【巩固】E是平行四边形ABCD的CD边上的一点,BD、AE相交于点F,已知三角形AFD的面积是6,三角形DEF的面积是4,求四边形BCEF的面积为多少?
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答
【关键词】希望杯,5年级,复赛,第15题
【解析】如图,在平行线中的蝴蝶中,蝴蝶翅膀相等都为6,而顶上的三角形为6×6÷4=9,“?
”处的三角形面积为9+6-6-4=5从而所求四边形面积为5=6=11.
【答案】11
【例11】如图所示,、将长方形分成4块,的面积是5平方厘米,的面积是10平方厘米.问:
四边形的面积是多少平方厘米?
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答
【解析】连接,根据梯形模型,可知三角形的面积和三角形的面积相等,即其面积也是10平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形的面积为(平方厘米),所以长方形的面积为(平方厘米).四边形的面积为(平方厘米).
【答案】25
【巩固】如图所示,、将长方形分成4块,的面积是4平方厘米,的面积是6平方厘米.问:
四边形的面积是多少平方厘米?
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答
【解析】(法1)连接,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理,可知三角形的面积和三角形的面积相等,即其面积也是6平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形的面积为(平方厘米),所以长方形的面积为(平方厘米).四边形的面积为(平方厘米).
(法2)由题意可知,,根据相似三角形性质,,所以三角形的面积为:
(平方厘米).则三角形面积为15平方厘米,长方形面积为(平方厘米).四边形的面积为(平方厘米).
【答案】11
【巩固】如图,长方形被、分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形的面积为___________平方厘米.
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空
【关键词】迎春杯,高年级组,初赛,4题
【解析】连接、.四边形为梯形,所以,又根据蝴蝶定理,,所以,所以(平方厘米),(平方厘米).那么长方形的面积为平方厘米,四边形的面积为(平方厘米).
【答案】9
【巩固】正方形的边长为,是的中点(如图)。
四边形的面积为。
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空
【关键词】走美杯,4年级,决赛,第4题,8分
【解析】连结,,即,,所以。
【答案】15
【巩固】如图,长方形中,是直角三角形且面积为54,的长是16,的长是9.那么四边形的面积是.
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空
【关键词】迎春杯,初赛
【解析】解法一:
连接,依题意,所以,
则.
又因为,所以,
得,
所以.
解法二:
由于,所以,而,根据蝴蝶定理,,所以,
所以.
【答案】
【例12】如图所示,长方形内的阴影部分的面积之和为70,AB=8,AD=15四边形的面积为______.
【考点】梯形模型【难度】4星【题型】填空
【关键词】走美杯,六年级,初赛,第5题
【解析】根据容斥关系:
四边形的面积=三角形AFC+三角形DBF-白色部分的面积
三角形AFC+三角形DBF=长方形面积的一半即60,
白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积,即120-70=50
所以四边形的面积=60-50=10
【答案】10
【巩固】如图5所示,矩形ABCD的面积是24平方厘米,、三角形ADM与三角形BCN的面积之和是7.8平方厘米,则四边形PMON的面积是平方厘米。
【考点】梯形模型【难度】4星【题型】填空
【关键词】华杯赛,初赛,第9题
【解析】1.8
【答案】1.8
【例13】如图,是等腰直角三角形,是正方形,线段与相交于点.已知正方形的面积48,,则的面积是多少?
【考点】梯形模型【难度】4星【题型】解答
【解析】由于是正方形,所以与平行,那么四边形是梯形.在梯形中,和的面积是相等的.而,所以的面积是面积的,那么的面积也是面积的.
由于是等腰直角三角形,如果过作的垂线,为垂足,那么是的中点,而且,可见和的面积都等于正方形面积的一半,所以的面积与正方形的面积相等,为48.
那么的面积为.
【答案】12
【例14】如图所示,是梯形,面积是,的面积是9,的面积是27.那么阴影面积是多少?
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答
【解析】根据梯形蝴蝶定理,可以得到,而(等积变换),所以可得,
并且,而,
所以阴影的面积是:
.
【答案】
【例15】如图,正六边形面积为,那么阴影部分面积为多少?
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答
【解析】连接阴影图形的长对角线,此时六边形被平分为两半,根据六边形的特殊性质,和梯形蝴蝶定理把六边形
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