相似三角形汇总5相似中的动点问题.docx
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相似三角形汇总5相似中的动点问题
相似三角形汇总5-相似中的动点问题
相似三角形提高
一、相似三角形动点问题
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;
(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.
2.如图,在△ABC中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.
(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;
②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;
(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.
3.如图1,在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分CDB交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.
(1)当AD=CD时,求证:
DE∥AC;
(2)探究:
AD为何值时,△BME与△CNE相似?
4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.
(1)当x为何值时,PQ∥BC?
(2)△APQ与△CQB能否相似?
若能,求出AP的长;若不能说明理由.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t<6)。
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)
10.已知,如图,直线y=﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点.以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD,使得矩形的两边之比为1﹕2。
求C、D两点的坐标。
三、构造相似辅助线——A、X字型
11.如图:
△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,BC边上的中线AE交CD于F。
求证:
AB:
AC=CF:
DF
12.四边形ABCD中,AC为AB、AD的比例中项,且AC平分∠DAB。
求证:
BE:
DE=BC:
CD
13.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=b,CD=a,E为AD边上的任意一点,EF∥AB,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时,发现如下事实:
(1)当时,EF=;
(2)当时,EF=;
(3)当时,EF=.当时,参照上述研究结论,请你猜想用、和表示EF的一般结论,并给出证明.
14.已知:
如图,在△ABC中,M是AC的中点,E、F是BC上的两点,且BE=EF=FC。
求BN:
NQ:
QM.
15.证明:
重心定理:
三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的.(注:
重心是三角形三条中线的交点)
四、相似类定值问题
16.如图,在等边△ABC中,M、N分别是边AB,AC的中点,D为MN上任意一点,BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F.
求证:
.
17.已知:
如图,梯形ABCD中,AB//DC,对角线AC、BD交于O,过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。
求证:
.
18.如图,在△ABC中,已知CD为边AB上的高,正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。
求证:
.
19.已知,在△ABC中作内接菱形CDEF,设菱形的边长为.求证:
.
五、相似之共线线段的比例问题
20.
(1)如图1,点P在平行四边形ABCD的对角线BD上,一直线过点P分别交BA,BC的延长线于点Q,S,交AD,CD于点R,T.求证:
PQ·PR=PS=PT
(2)如图2,图3,当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时,PQ·PR=PS=PT是否仍然成立?
若成立,试给出证明;若不成立,试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明);
21.已知:
如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F.求证:
BP=PE·PF.
22.如图,已知△ABC中,AD,BF分别为BC,AC边上的高,过D作AB的垂线交AB于E,交BF于G,交AC延长线于H。
求证:
DE=EG•EH
23.已知如图,P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点,过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证:
PE:
PF=PH:
PG
24.已知,如图,锐角△ABC中,AD⊥BC于D,H为垂心(三角形三条高线的交点);在AD上有一点P,且∠BPC为直角.求证:
PD=AD·DH。
六、相似之等积式类型综合
25.已知如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,E为BC的中点,ED的延长线交CA于F。
求证:
AC·CF=BC·DF
26.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,点M在CD上,DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.
求证:
(1)△AED∽△CBM;
(2)AE·CM=AC·CD
27.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F.
(1)求证:
FD=FB·FC.
(2)若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗?
并说明理由.
28.如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.求证:
AN·DN=CN·MN.
29.如图,BD、CE分别是△ABC的两边上的高,过D作DG⊥BC于G,分别交CE及BA的延长线于F、H。
求证:
(1)DG=BG·CG;
(2)BG·CG=GF·GH
七、相似基本模型应用
30.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.
(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:
△BEM∽△CNE;
(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除
(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.
31.如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC、CD于点P、Q.
(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);
(2)求BP:
PQ:
QR.
32.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
求证:
AE:
AF=AC:
AB
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