版高考数学文一轮复习全国经典版第3章 三角函数解三角形 37a.docx
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版高考数学文一轮复习全国经典版第3章三角函数解三角形37a
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1.已知A,B两地间的距离为10km,B,C两地间的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为( )
A.10kmB.10km
C.10kmD.10km
答案 D
解析 如图所示,由余弦定理可得:
AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700,
∴AC=10(km).
2.[2018·武汉模拟]海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10nmile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC=( )
A.10nmileB.nmile
C.5nmileD.5nmile
答案 D
解析 由题意可知,∠CAB=60°,∠CBA=75°,所以∠C=45°,由正弦定理得=,所以BC=5.
3.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A.akmB.akm
C.akmD.2akm
答案 B
解析 在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=a2+a2-2a2cos120°=3a2,故|AB|=a.
4.[2018·临沂质检]在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°、60°,则塔高为( )
A.mB.m
C.mD.m
答案 A
解析 如图,由已知可得∠BAC=30°,
∠CAD=30°,∴∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠ADC=120°,
又AB=200,∴AC=.
在△ACD中,由正弦定理,得
=,即DC==(m).
5.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km,水的流速为2km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min,则客船在静水中的速度为( )
A.8km/hB.6km/h
C.2km/hD.10km/h
答案 B
解析 设AB与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为vkm/h,由题意知,sinθ==,从而cosθ=,所以由余弦定理得2=2+12-2××2×1×,解得v=6.
6.如图,某工程中要将一长为100m,倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长________m.
答案 100
解析 设坡底需加长xm,由正弦定理得=,解得x=100.
7.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:
km):
AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为________km.
答案 7
解析 ∵82+52-2×8×5×cos(π-D)=32+52-2×3×5×cosD,∴cosD=-.∴AC==7(km).
8.[2018·河南调研]如图,在山底A点处测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为________米.
答案 1000
解析 由题图知∠BAS=45°-30°=15°,∠ABS=45°-(90°-∠DSB)=30°,∴∠ASB=135°,在△ABS中,由正弦定理可得=,∴AB=1000,∴BC==1000(米).
9.[2018·山西监测]如图,点A,B,C在同一水平面上,AC=4,CB=6.现要在点C处搭建一个观测站CD,点D在顶端.
(1)原计划CD为铅垂线方向,α=45°,求CD的长;
(2)搭建完成后,发现CD与铅垂线方向有偏差,并测得β=30°,α=53°,求CD2.(结果精确到1)
(本题参考数据:
sin97°≈1,cos53°≈0.6)
解
(1)∵CD为铅垂线方向,点D在顶端,∴CD⊥AB.
又∵α=45°,∴CD=AC=4.
(2)在△ABD中,α+β=53°+30°=83°,AB=AC+CB=
4+6=10,∴∠ADB=180°-83°=97°,
∴由=得AD===≈5.
在△ACD中,CD2=AD2+AC2-2AD·ACcosα=52+42-2×5×4×cos53°≈17.
10.如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.问:
缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?
并求出所需时间.
解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,则CD=10t海里,BD=10t海里,在△ABC中,由余弦定理,有
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC
=(-1)2+22-2(-1)×2×cos120°=6,
解得BC=.
又∵=,
∴sin∠ABC===,
∴∠ABC=45°,故B点在C点的正东方向上,
∴∠CBD=90°+30°=120°,
在△BCD中,由正弦定理,得=,
∴sin∠BCD===.
∴∠BCD=30°,∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,
∴∠D=30°,∴BD=BC,即10t=,解得t=小时≈15分钟.
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.
[B级 知能提升]
1.[2018·天津模拟]一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( )
A.10海里B.10海里
C.20海里D.20海里
答案 A
解析 如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=,解得BC=10(海里).
2.某观察站B在A城的南偏西20°的方向,由A出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B处测得此公路上距B处30km的C处有一人正沿此公路骑车以40km/h的速度向A城驶去,行驶了15min后到达D处,此时测得B与D之间的距离为8km,则此人到达A城还需要( )
A.40minB.42minC.48minD.60min
答案 C
解析 由题意可知,CD=40×=10.
cos∠BDC==-,
∴cos∠ADB=cos(π-∠BDC)=,
∴sin∠ABD=sin[π-(∠ADB+∠BAD)]=.
在△ABD中,由正弦定理得=,
∴=,
∴AD=32,∴所需时间t==0.8h,
∴此人还需要0.8h即48min到达A城.
3.[2014·全国卷Ⅰ]如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN=________m.
答案 150
解析 在Rt△ABC中,AC=100m,在△MAC中,由正弦定理得=,解得MA=100m,在Rt△MNA中,MN=MA·sin60°=150m.
即山高MN为150m.
4.如图所示,A,C两岛之间有一片暗礁.一艘小船于某日上午8时从A岛出发,以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行,下午1时到达B处.然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行,下午4时到达C岛.
(1)求A,C两岛之间的距离;
(2)求∠BAC的正弦值.
解
(1)在△ABC中,由已知,得AB=10×5=50(海里),BC=10×3=30(海里),∠ABC=180°-75°+15°=120°,
由余弦定理,得AC2=502+302-2×50×30cos120°=4900,所以AC=70(海里).
故A,C两岛之间的距离是70海里.
(2)在△ABC中,由正弦定理,得=,
sin∠BAC===.故∠BAC的正弦值是.
5.某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°,距离为10nmile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9nmile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.
解 如图所示,根据题意可知AC=10,∠ACB=120°,设舰艇靠近渔轮所需的时间为th,并在B处与渔轮相遇,则AB=21t,BC=9t,在△ABC中,根据余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°,所以212t2=102+81t2+2×10×9t×,即360t2-90t-100=0,解得t=或t=-(舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为h.
此时AB=14,BC=6.
在△ABC中,根据正弦定理,得=,
所以sin∠CAB==,
即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去),
即舰艇航行的方位角为45°+21.8°=66.8°.
所以舰艇以66.8°的方位角航行,需h才能靠近渔轮.
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