必修2第二章 点线面之间的关系.docx
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必修2第二章点线面之间的关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面
1.平面
描述
几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的,是无限__延展__的
画法
通常把水平的平面画成一个__平行四边形__,并且其锐角画成45°,且横边长等于其邻边长的__2__倍,如图1所示;如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体感,被遮挡部分用__虚线__画出来,如图2所示
记法
(1)
用一个__希腊字母__α,β,γ等来表示,如上图1中的平面记为平面α
(2)
用两个大写的__英文字母__(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示,如上图1中平面记为平面AC或平面BD
(3)
用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示,如上图1中的平面记为平面ABC或平面__BCD__等
(4)
用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形__顶点__)来表示,如上图1中的平面可记为平面ABCD
[归纳总结] 习惯上,用平行四边形表示平面;在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面.
2.点、线、面的位置关系的表示
A是点,l,m是直线,α,β是平面.
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
__A∈l__
A在l外
__A∉l__
A在α内
__A∈α__
A在α外
__A∉α__
l在α内
__l⊂α__
l在α外
__l⊄α__
或
l,m相交于A
__l∩m=A__
l,α相交于A
__l∩α=A__
α,β相交于l
__α∩β=l__
[归纳总结] 从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系
(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示.
(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示.
(3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“⊂”或“⊄”表示.
3.公理1
文字
语言
如果一条直线上的__两点__在一个平面内,那么这条直线在此平面内
图形
语言
符号
语言
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒__l⊂α__
作用
判断点在平面内
判断直线在平面内
用直线检验平面
4.公理2
文字
语言
过__不共线__的三点,有且只有一个平面
图形
语言
符号
语言
A,B,C三点__不共线__⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α
作用
确定平面
证明点共面
[归纳总结]
(1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”,结论是“有且只有一个平面”.
(2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解,这里的“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形惟一,强调的是存在和惟一两个方面,因此“有且只有一个”必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替,否则就没有表达出存在性.确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词,也是指存在性和惟一性这两个方面,这个术语今后也会常常出现.
5.公理3
文字
语言
如果两个不重合的平面有一个__公共点__,那么它们有且只有一条过该点的公共__直线__
图形
语言
符号
语言
P∈α∩β⇒α∩β=l且__P∈l__
作用
(1)
判定平面相交
(2)
证明点共线
(3)
证明线共点
[归纳总结] 公理3反映了两个平面的位置关系,条件可简记为“两面共一点”,结论是“两面共一线,且线过点,线唯一”.
公理3强调的是两个不重合的平面,只要它们有一个公共点,其交集就是一条直线.以后若无特别说明,“两个平面”是指不重合的两个平面.
1.下列命题:
(1)书桌面是平面;
(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚;(3)有一个平面的长是50m,宽是20m;(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确命题的个数为( A )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为平面是无限延展的,故
(1)错;平面是无厚度的,故
(2)错;平面是无限延展的,不可度量,故(3)错;平面是平滑、无厚度、无限延展的,故(4)正确.
2.(2016·寿光市现代中学高一月考)下列说法正确的是( C )
A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点
[解析] ∵两条平行直线确定一个平面,∴梯形一定是平面图形.
3.已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( D )
A.P∉α,Q∈α B.P∈α,Q∉αC.P∉α,Q∉α D.Q∈α
[解析] ∵Q∈m,m⊂α,∴Q∈α.∵P∉m,∴有可能P∈α,也可能有P∉α.
4.空间5点,其中有4点共面,它们没有任何3点共线,这5个点最多可以确定__7__个平面.
[解析] 可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定7个平面.
命题方向1 ⇨文字、图形、符号三种语言的转化
例题1用符号语言表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α、β、γ相交于一点P,且平面α与平面β交于PA,平面α与平面γ交于PB,平面β与平面γ交于PC;
(2)平面ABD与平面BCD交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC.
[解析]
(1)符号语言表示:
α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.
图形表示:
如图1所示.
(2)符号语言表示:
平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.
图形表示:
如图2所示.
『规律方法』 学习几何问题,三种语言间的互相转换是一种基本技能.要注意符号语言的意义,如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.由图形语言表示点、线、面的位置关系时,要注意实线和虚线的区别.
〔跟踪练习1〕
(1)若点M在直线a上,a在平面α内,则M、a、α间的关系可记为__M∈a,a⊂α,M∈α__;
(2)根据右图,填入相应的符号:
A__∈__平面ABC,A__∉__平面BCD,BD__⊄__平面ABC,平面ABC∩平面ACD=__AC__;
(3)根据下列条件画出图形:
平面α∩平面β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,B∉MN,C∈β,C∉MN.
[解析] 如图所示
命题方向2 ⇨点共线问题
例题2已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:
P、Q、R三点共线.
[思路分析]
(1)P、Q、R三点分别在哪几个平面上?
(2)在两个相交平面上的点,有什么特点?
[解析] 证法一:
∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知:
点P在平面ABC与平面α的交线上,
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P、Q、R三点共线.
证法二:
∵AP∩AR=A,∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α=P,AC∩α=R,
∴平面APR∩平面α=PR.∵B∈面APR,C∈面APR,∴BC⊂面APR.
又∵Q∈面APR,Q∈α,∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线.
『规律方法』 证明多点共线的方法:
(一)选择两点确定一条直线,然后证明其它点在这条直线上;
(二)证明这些点都在两个平面内,而两平面相交,因此这些点都在两平面的交线上.
〔跟踪练习2〕如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:
C1、O、M三点共线.
[解析] 由AA1∥CC1,则AA1与CC1确定一个平面A1C.
∵A1C⊂平面A1C,而O∈A1C,∴O∈平面A1C.
又A1C∩平面BC1D=O,∴O∈平面BC1D.∴O点在平面BC1D与平面A1C的交线上.
又AC∩BD=M,∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C,
∴平面A1C∩平面BC1D=C1M,∴O∈C1M,即C1、O、M三点共线.
命题方向3 ⇨点线共面问题
例题3求证:
如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面.
[解析] 已知:
a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.
求证:
直线a、b、c和l共面.
证明:
如图所示,因为a∥b,由公理2可知直线a与b确定一个平面,设为α.
因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.又因为A∈l,B∈l,所以由公理1可知l⊂α.因为b∥c,所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β,同理可知l⊂β.
因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由公理2知:
经过两条相交直线,有且只有一个平面,所以平面α与平面β重合,所以直线a,b,c和l共面.
『规律方法』
(1)证明点线共面的主要依据:
公理1、公理2.
(2)证明点线共面的常用方法
①纳入平面法:
先由公理2或其推论确定一个平面,再由公理1证明有关点线在此平面内.
②辅助平面法:
先证明有关的点线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
〔跟踪练习3〕已知E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC的中点.求证:
A1、C1、E、F四点共面.
[证明] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1綊CC1,∴四边形ACC1A1为平行四边形,∴A1C1∥AC.
∵E、F分别为AB、BC的中点,∴EF∥AC.∴A1C1∥EF.
∴直线A1C1与EF确定一个平面α,∴A1、C1、E、F四点共面于平面α.
命题方向4 ⇨线共点问题
例题4已知:
如图,空间四边形ABCD中,E、H分别为BC、AB的中点,F在CD上,G在AD上,且有DF︰FC=DG︰GA=1︰2.
求证:
直线EF、BD、HG交于一点.
[思路分析] 先证EF、HG一定相交于一点,再证这一点在直线BD上.
[解析] 连接EH、AC、FG.∵E、H分别为BC、AB的中点,∴EH綊AC.
∵DF︰FC=1︰2,DG︰GA=1︰2,∴FG∥AC,FG=AC,∴EH∥FG且EH≠FG,
∴E、F、G,H四点共面且EF∥GH.∴EF与GH相交.
设EF∩GH=O,则O∈GH,O∈EF.∵GH⊂平面ABD,EF⊂平面BCD,∴O∈平面ABD,O∈平面BCD.
∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD,即直线EF、BD、HG交于一点.
『规律方法』 证明三线共点时,首先证明两条直线相交于一点,再证这一点在另一条直线上.要证这一点在另一条直线上,可证这一点在以这条直线为交线的两个平面上.
〔跟踪练习4〕三个平面α、β、γ两两相交,交于三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,已知直线a和b不平行.
求证:
a、b、c三条直线必过同一点.
[解析] ∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a⊂γ,b⊂γ,∵a、b不平行,
∴a、b必相交,设a∩b=P,∵P∈a,a⊂β,∴P∈β,同理P∈α,
而α∩β=c,∴P∈c.∴a、b、c相交于一点P,即a、b、c三条直线过同一点.
对于条件所给的点的位置关系考虑不全面
例题5已知A、B、C、D、E五点中,A、B、C、D共面,B、C、D、E共面,则A、B、C、D、E五点一定共面吗?
[错解] 因为A、B、C、D共面,所以点A在B、C、D所确定的平面内,因为B、C、D、E共面,所以点E也在B、C、D所确定的平面内,所以点A、E都在B、C、D所确定的平面内,即A、B、C、D、E五点一定共面.
[错因分析] 错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件,实际上B、C、D三点还可能共线.
[正解]
(1)如果B、C、D三点不共线,则它们确
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