三次函数性质总结.docx
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三次函数性质总结
三次函数性质的研究
我们已经学习了一次函数,知道图象是单一递加或单一递减,在整个定义域上不存在
最大值与最小值,在某一区间获得最大值与最小值.那么,是什么决定函数的单一性呢?
利用已学过的知识得出:
当k>0时函数单一递加;当k<0时函数单一递加;b决定函数与y轴订交的地点.
此中运用的许多的一次函数不等式性质是:
fx0在[m,n]上恒建立的充要条件
fm0
fn0
接着,我们相同学习了二次函数,图象大概以下:
图1图2
利用已学知识概括得出:
当时(如图1),在对称轴的左边单一递减、右边单一递加,
对称轴上获得最小值;
当时(图2),在对称轴的左边单一递加、右边单一递减,
对称轴上获得最大值.
在某一区间获得最大值与最小值.
此中a决定函数的张口方向,a、b同时决定对称轴,c决定函数与y轴订交的地点.
总结:
一次函数只有一个单一性,二次函数有两个单一性,那么三次函数能否就有三个单一性呢?
1
三次函数专题
一、定义:
定义1、形如yax3bx2cxd(a0)的函数,称为“三次函数”(从函数分析式的构造上命名)。
定义2、三次函数的导数y3ax22bxc(a0),把4b212ac叫做三次函数导函数的鉴别式。
因为三次函数的导函数是二次函数,而二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题,已经成为
高考命题的一个新的热门和亮点。
特别是文科。
系列研究1:
从最简单的三次函数
y
x3开始
y
反省1:
三次函数y
x3
1的有关性质呢?
反省2:
三次函数y
x
3
O
x
1的有关性质呢?
反省3:
三次函数y
x
3
1的有关性质呢?
1
(2012天津理)(4)函数
f
(
)2x
x
3
2在区间(0,1)内的零点个数是
B
x
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
系列研究2:
研究一般三次函数
f(x)
ax3
bx2
cxd(a0)的性质:
先求导f(x)3ax2
2bx
c(a
0)
1.单一性:
(1)若△(2b)2
12ac
0,此时函数
f(x)在R上是增函数;
(2)若△(2b)2
12ac
0,令f(x)
3ax2
2bx
c0两根为x1,x2且x1
x2,
则f(x)在(
x1),(x2
)上单一递加,在
(x1,x2)上单一递减。
a>0
a<0
导
函
>0
0
>0
0
数
图
象x1x2xx0xx1x2xx0x
2
2.极值点的个数:
若函数f(x)
在点x
的邻近恒有f(x
)≥f(x)(或f(x
)≤f(x)),则称函数f(x)
0
0
0
在点x0处获得极大值(或极小值),称点x0为极大值点(或极小值点)。
(1)若△0,此时函数无极值;三次函数
y
fx在
上不存在极值点。
(2)若△>0,三次函数y
fx在
上的极值点要么有两个。
且f(x)3ax2
2bxc
0两根为
x1,x2且x1
x2,
此时函数f(x)在xx1处取极大值f(x1),简言之:
波峰是为极大值
在xx2处取极小值f(x2),简言之:
波谷是为极小值
论证以下:
2
,y=f(x)的极值点就是方程
f
/
令f′(x)=3ax+2bx+c
(x)=0的实根。
①当
=4b2-12ac>0时,方程f/(x)=0有两个不等的实根,记为
x1、x2,
则x、x
是f(x)在(-
∞,+∞)上的两个极值点;
1
2
②当
2
时,该方程有两个等根:
x
=x=x,由下表可知
y=f(x)在(-∞,+∞)上单一增,
=4b-12ac=0
1
2
0
此时y=f(x)没有极值点;
x
(-∞,x)
x
0
(x,+∞)
0
0
f
/(x)+
0
+
f(x)
↗
↖
③当
=4b2-12ac<0时,f
/(x)=0无实根,f(x)
没有极值点,结论得证。
3.奇偶性:
函数当且仅当bd0时是奇函数。
b
b
))中心对称(认识)
4.对称性:
函数图象对于点(,f(
3a
3a
证明:
三次函数f
(
x
ax3
bx2
cx
d
对于点(m,n)对称的充要条件是f(mx)
f(mx)2n,
)
即
[a(mx)3
b(mx)2
c(mx)d]+[a(mx)3
b(mx)2
c(mx)d]2n,
整理得,(6ma2b)x2
(2am3
2bm2
2mc
2d)
2n
据多项式恒等对应系数相等
可得
m
b且nam3
bm2
mcd=f(m)
f(
b),
3a
b
3a
b));
进而三次函数是中心对称曲线,且对称中心是
(
f(
3a
3a
3
证明:
设函数的对称中心为(m,n)。
按向量将函数的图象平移,则所得函数是奇函数,所以
化简得:
上式对恒建立,故,得,。
所以,函数的对称中心是()。
实质上:
其导函数为
f(x)3ax
2bxc
0
对称轴为
b,
2
所以对称中心的横坐标也就是导函数的对
x
3a
称轴,可见,y=f(x)
图象的对称中心在导函数
y=
的对称轴上,且又是两个极值点的中点,同时也是二
阶导为零的点。
由上又可得以下结论:
y
f(x)是可导函数,若
y
f(x)的图象对于点(m,n)对称,则y
f'(x)图象对于直线xm对称.
证明
y
f(x)的图象对于(m,n)对称,则f(x)
f(2m
x)
2n,
f'(x)
f(x
x)
f(x)
lim
x
x
0
f'(2mx)
limf(2m
x
x)
f(2mx)
lim
2n
f(x
x)2nf(x)
x
0
x
x
0
x
lim
f(x)
f(x
x)
f'(x)
x
0
x
f'(x)图象对于直线xm对称.
若y
f
(x)图象对于直线x
m对称,则y
f'(x)图象对于点
(m,0)
对称.
证明
y
f(x)图象对于直线
xm对称,则
f(x)f(2m
x),
f'(x)
lim
f(x
x)
f(x)
f(x
x)
f(x)
x0
x
lim
f'(x),
f(2mx
x)f(2mx)
x
f'(2m
x)
x0
lim
x
x0
f'(2m
x)
f'(x)
0
,
yf'(x)图象对于点(m,0)
对称.
这是因为:
奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数仍是周期函数
4
系列研究3:
三次函数f(x)图象的切线条数
由三次函数的中心对称性可知:
过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条;而过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。
例.已知曲线y=x3/3+4/3,求曲线在点(2,4)处的切线方程
解:
f′(x)=x2,f′(2)=4,
曲线在点(2,4)处的切线斜率为k=f′(2)=4
∴代入直线方程的斜截式,得切线方程为:
y-4=4(x-2),
y=4x-4
变式:
已知曲线
y=x3/3+4/3,则曲线过点(2,4)的切线方程
——————。
错解:
依上题,直接填上答案4x-y-4=0
错因分析:
以以下图所示,在曲线上的点
A处的切线与该曲线还有一个交点。
这与圆的切线是有不一样的。
点(2,4)在曲线
y=x3/3+4/3
上,它能够是切点也能够不是。
正确解法:
设过点(2,4)的切线对应的切点为(
x0,x0
3/3+4/3),
斜率为k=x0
2
3
+4/3)
2
)
,切线方程为
y-(x0/3
=x0(x-x0
即y=x0
2x-2x
0
3/3+4/3
点(2,4)的坐标代入,得
2
3
,
4=2x0-2x
0/3+4/3
3
2
3
2
2x0-6x
0+8=0,∴x0-3x
0+4=0,
3
+1-(
3x
2
又∵x0
0-3)=0
(x
2
-x+1)-3(x
-1
)(x+1)=0
+1)(x
0
0
0
0
0
2
∴x0=-1或x0=2
∴(x0+1)(x0
-4x0+4)=0
∴切线的方程为
4x-4-y=0或x-y+2=0
评论:
一个是“在点(
2,4)”、一个是“过点(2,4)”,一字之差所得结果截然相反。
5
系列研究
4:
一般三次函数f(x)
ax3
bx2
cxd(a0)的图像:
a>0
a<0
导
函
>0
0
>0
0
数
图
象x1x2xx0xx1x2xx0x
从数形联合的视角看三次方程的实数根:
y
y
y
y
O
x
x1x2
x
O
x
O
x
O
x
xx1xx2
xx1xx2
xx1xx2
三次函数y=f(x)的图象与x轴交点个数
交点个数的实质是多项式ax3+bx2+cx+d在实数集上如何进行因式分解,
ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3),(ⅰ)若x1≠x2≠x3,则交点为3个;
(ⅱ)若x1、x2、x3中有两个相等,不如x1=x2≠x3,则交点为2个。
(ⅲ)若x1=x2=x3,则交点为1个;
(ⅳ)若f(x)=a(x-x0)(x2+dx+e),且有d2-4e<0,y=f(x)的图象与x轴只有一个交点。
(1)若△(2b)212ac0,方程有且只有一个实数解;
(2)若△(2b)212ac0,令f(x)3ax22bxc0两根为x1,x2且x1x2,
①若f(x1)f(x2)0,即函数yf(x)极大值点和极小值点在x轴同侧,图象均与x轴只有一个交点,
所以原方程有且只有一个实根。
则方程有且只有一个实数解,且x1或x2,
②若f(x1)f(x2)0,则方程有三个不一样的实数解,,(),且有x1x2,
③若f(x1)0或f(x2)0,则方程有两个不一样的实数解
6
由图像能够研究出在区间[m,n]的最大值与最小值吗?
函数若,且,则:
fmaxxfm,fx0,fn;
。
拉格朗日中值定理:
若函数f知足以下条件:
i)f在闭区间[a,b]上连续;
ii)f在开区间(a,b)内可导;
则在
a,b内起码存在一点
,使得f'
fb
fa
.
b
a
请你掌握:
三次函数分析式的形式
(1)一般形式:
f(x)ax3
bx2
cx
d(a
0)
2
(m,n),则
f
(
x
)
Axm
3
B
xmn
a
0)
()已知函数的对称中心为
(
)
(
)(
(3)已知函数图象与x轴的三个交点的横坐标
,
(
)
,则
f(x)a(x
)(x
)(x
)(a
0)
(4)已知函数图象与x轴的一个交点的横坐标
x0,则f(x)
(x
x0)(ax2
mxn)(a0)
7
(2012全国纲领版
10)已知函数yx3
3x
c的图像与x轴恰有两个公共点,则c
A.
2
或2
B.
9
或3
1
D.
3
或1
C.或1
【分析】因为三次函数的图像与
x轴恰有两个公共点,联合该函数的图像,可得极大值或许极小值为零即可知足要求。
而
f(x)
3x2
3
3(x
)(x1),当x
1时获得极值
由f
(1)
0或f(
1)
0可得c
20或c
20,即c2。
答案A
(2012福建文)12.已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出以下结论:
①f(0)f
(1)>0;②f
(0)f
(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0.此中正确结论的序号是
A.①③B.①④C.②③D.②④
【分析】
f(x)
3x2
12x
9
3(x
1)(x
3),(
1)单一递
增,(1,3)单一递减,(3,
)单一递加,又因为
f(a)
f(b)
f(c)
0,所以a(
1)
b
(1,3),c
(3,
),
【法一】
f
(1)
4abc
0,f(3)
abc
0,f(0)
abc
0.
【法二】又因为
f(b)b3
6b
2
9b
abc
b(b2
6b
9)
abc
b[(b3)2
ac]0,所以ac为正数,所以a为
正数,又因为f(0)
abc
0
,f
(1)
0,f(3)
0.
【评论】此题考察运用导数分析函数的能力,数形联合及代入转变的能力.
【答案】A
8
(2012重庆理卷)(8)设函数在
上可导,其导函数为
,且函数的图象如题
(8)图所示,则以下结论中必定建立的是
9
(A)函数有极大值
和极小值
(B)函数有极大值
10
和极小值
(C)函数有极大值
和极小值
11
(D)函数有极大值
和极小值
(2012?
重庆文)
设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处获得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是()
12
A.BcD
高考含参三次函数题型分析
我们知道导数是研究函数的重要工具,
三次函数的导数是二次函数,
正因这样,三次函数问题的解决常常关
键转变为二次函数问题,如二次函数方程根的问题,二次不等式解集问题等常有题型。
第一,回首一下三次函数
f(x)ax3
bx2
cxd(a
0)图象
a>0
a<0
导
>0
0
>0
0
函
数
图
象x1x2xx0xx1x2xx0x
【题型1】含参三次函数单一性问题
例一(08全国文21)
已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,aR.
(Ⅰ)议论函数
f(x)的单一区间;
(Ⅱ)设函数
f(x)在区间(-2,
1
)内是减函数,求
a的取值范围.
3
3
解法分析:
对于问题(Ⅰ)我们常常采纳的解题思路是:
求函数f
x
ax3
bx2
cxd
的导数为
()
13
f(x)3ax22bxc而后常常按以下步骤进行议论分析。
1)议论导数二次项系数能否为零
2)议论导数鉴别式
(3)
0
则原函数为单一增(减)函数
(4)
0
求导函数等于
0时的根,并比较根的大小
(5)
联合到导函数图象,得出三次函数单一性
下边我们依据这个思路解决一下
f(x)
x3
ax2x
1则f
(x)3x2
2ax1
(1)议论导数二次项系数能否为零
(2)议论鉴别式
=4a2
12
(3)
0
,则原函数为单一增(减)函数
即
0时,
3
a
3,f(x)
0恒建立,则
f(x)为单一增函数,单一增区间为(,
)
(4)
0
求导函数等于
0时的根,并比较根的大小
0时,a
3或a
3时,f(x)
0存在零解,
此时x1
a
a2
3
x2
a
a2
3
x1,
3
3
明显x2
5)联合到导函数图象,得出三次函数单一性所以此时函数f(x)的单一递加区间为
(,
aa
2
3)和(
a
2
aa2
3a
a2
3
a3,)单一递减区间为(
3
3
)
3
3
对于问题(Ⅱ)设函数f(x)在区间(-2,1)内是减函数,求a的取值范围.
33
常常转变为二次函数不等式问题,采纳根的散布数形联合、主参分别求最值、求根公式三种方法解决。
f(x)在区间(-
2,
1
)内是减函数,则f(x)3x2
2ax10对x(
2,
1)恒建立。
3
3
3
3
方法一:
根的散布,数形联合
由
f
(
x
)
3
2
2
ax
1
0
的两根在区间外则有
x
f(
2)
0
建立,能够解得a2
f
(1)0
3
方法二:
主参分别,求最值
14
f(x)
3x
2
2ax
1
0对x
2
1
3x2
1
3x2
1
(
)恒建立。
则有a
则a(
)max,由“对勾函数”
3
3
2x
2x
x(
2,
3x2
1
2,则a
2
1)(
2x
)max
3
3
方法三:
求根公式
由
f
(
x
)
3
2
2
ax
1
0
的两根在区间外
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