平行四边形.docx

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平行四边形

平行四边形1

一．解答题（共11小题）

1．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：

MB∥CF；

（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；

（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：

BM=ME．

2．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1）在图1中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

3．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．

（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；

（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．

4．已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．

（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；

（2）求证：

∠CEG=

∠AGE．

5．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．

（1）求证：

四边形AMDN是平行四边形．

（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？

请说明理由．

6．

（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；

（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段的关系，并满足

（1）或

（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．

7．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：

cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

8．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．

（1）求证：

CE=CF；

（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：

CH=AH+AB．

9．已知：

如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．点P为矩形外一点且满足AP=PC，AP⊥PC．PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM⊥PD交AD于M．

（1）若AP=

，AB=

BC，求矩形ABCD的面积；

（2）若CD=PM，求证：

AC=AP+PN．

10．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．

（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；

（2）求EF的最大值与最小值．

11．如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．

（1）求证：

△AOE≌△COF；

（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．

2017年02月24日剑圣的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共11小题）

1．（2013•常德）已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：

MB∥CF；

（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；

（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：

BM=ME．

【解答】

（1）证法一：

如答图1a，延长AB交CF于点D，

则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，

∴点B为线段AD的中点，

又∵点M为线段AF的中点，

∴BM为△ADF的中位线，

∴BM∥CF．

证法二：

如答图1b，延长BM交EF于D，

∵∠ABC=∠CEF=90°，

∴AB⊥CE，EF⊥CE，

∴AB∥EF，

∴∠BAM=∠DFM，

∵M是AF的中点，

∴AM=MF，

在△ABM和△FDM中，

，

∴△ABM≌△FDM（ASA），

∴AB=DF，

∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，

∴BE=DE，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴∠EBM=45°，

∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，

∴∠EBM=∠ECF，

∴MB∥CF；

（2）解法一：

如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a，AC=CD=

a，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点，

∴BM=

DF．

分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=

a，

∴点E为FG中点，又点M为AF中点，

∴ME=

AG．

∵CG=CF=

a，CA=CD=

a，

∴AG=DF=

a，

∴BM=ME=

×

a=

a．

解法二：

如答图1b．

∵CB=a，CE=2a，

∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，

∵△ABM≌△FDM，

∴BM=DM，

又∵△BED是等腰直角三角形，

∴△BEM是等腰直角三角形，

∴BM=ME=

BE=

a；

（3）证法一：

如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，AC=CD，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=

DF．

延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=EG，CF=CG，

∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=

AG．

在△ACG与△DCF中，

，

∴△ACG≌△DCF（SAS），

∴DF=AG，

∴BM=ME．

证法二：

如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，

∵∠BCE=45°，

∴∠ACD=45°×2+45°=135°

∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，

∴AB∥CF，

∴∠BAM=∠DFM，

∵M是AF的中点，

∴AM=FM，

在△ABM和△FDM中，

，

∴△ABM≌△FDM（ASA），

∴AB=DF，BM=DM，

∴AB=BC=DF，

在△BCE和△DFE中，

，

∴△BCE≌△DFE（SAS），

∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，

∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，

∴△BDE是等腰直角三角形，

又∵BM=DM，

∴BM=ME=

BD，

故BM=ME．

2．（2011•北京）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1）在图1中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

【解答】

（1）证明：

如图1，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，

∴∠CEF=∠F．

∴CE=CF．

（2）解：

连接GC、BG，

∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，

∴四边形ABCD为矩形，

∵AF平分∠BAD，

∴∠DAF=∠BAF=45°，

∵∠DCB=90°，DF∥AB，

∴∠DFA=45°，∠ECF=90°

∴△ECF为等腰直角三角形，

∵G为EF中点，

∴EG=CG=FG，CG⊥EF，

∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，

∴BE=DC，

∵∠CEF=∠GCF=45°，

∴∠BEG=∠DCG=135°

在△BEG与△DCG中，

∵

，

∴△BEG≌△DCG，

∴BG=DG，

∵CG⊥EF，

∴∠DGC+∠DGA=90°，

又∵∠DGC=∠BGA，

∴∠BGA+∠DGA=90°，

∴△DGB为等腰直角三角形，

∴∠BDG=45°．

（3）解：

延长AB、FG交于H，连接HD．

∵AD∥GF，AB∥DF，

∴四边形AHFD为平行四边形

∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD

∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°

∴△DAF为等腰三角形

∴AD=DF，

∴CE=CF，

∴平行四边形AHFD为菱形

∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形

∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°

∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，

∴BH=GF

在△BHD与△GFD中，

∵

，

∴△BHD≌△GFD，

∴∠BDH=∠GDF

∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°

3．（2015•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．

（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；

（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．

【解答】解：

（1）∵△CDQ≌△CPQ，

∴DQ=PQ，PC=DC，

∵AB=DC=5，AD=BC=3，

∴PC=5，

在Rt△PBC中，PB=

=4，

∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，

设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，

在Rt△PAQ中，（3﹣x）2=x2+12，

解得x=

，

∴AQ=

．

（2）如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，

∵MD⊥MP，

∴∠PMD=90°，

∴∠PME+∠DMF=90°，

∵∠FDM+∠DMF=90°，

∴∠MDF=∠PME，

∵M是QC的中点，

∴DM=

QC，PM=

QC，

∴DM=PM，

在△MDF和△PME中，

，

∴△MDF≌△PME（AAS），

∴ME=DF，PE=MF，

∵EF⊥CD，AD⊥CD，

∴EF∥AD，

∵QM=MC，

∴DF=CF=

DC=

，

∴ME=

，

∵ME是梯形ABCQ的中位线，

∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，

∴AQ=2．

4．（2013•重庆）已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．

（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；

（2）求证：

∠CEG=

∠AGE．

【解答】

（1）解：

∵CE=CD，点F为CE的中点，CF=2，

∴DC=CE=2CF=4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=4，

∵AE⊥BC，

∴∠AEB=90°，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：

BE=

=

；

（2）证明：

过G作GM⊥AE于M，

∵AE⊥BE，GM⊥AE，

∴GM∥BC∥AD，

∵在△DCF和△ECG中，

，

∴△DCF≌△ECG（AAS），

∴CG=CF，CE=CD，

∵CE=2CF，

∴CD=2CG，

即G为CD中点，

∵AD∥GM∥BC，

∴M为AE中点，

∴AM=EM（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等），

∵GM⊥AE，

∴AG=EG，

∴∠AGM=∠EGM，

∴∠AGE=2∠MGE，

∵GM∥BC，

∴∠EGM=∠CEG，

∴∠CEG=

∠AGE．

5．（2013•昭通）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．

（1）求证：

四边形AMDN是平行四边形．

（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？

请说明理由．

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴ND∥AM，

∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，

∵点E是AD中点，

∴DE=AE，

在△NDE和△MAE中，

，

∴△NDE≌△MAE（AAS），

∴ND=MA，

∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）AM=1．

理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB=2，

∵平行四边形AMDN是矩形，

∴DM⊥AB，

即∠DMA=90°，

∵∠DAB=60°，

∴∠ADM=30°，

∴AM=

AD=1．

6．（2013•郑州模拟）

（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；

（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段的关系，并满足

（1）或

（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．

【解答】

（1）证明：

过E点作EN⊥CH于N．

∵EF⊥BD，CH⊥BD，

∴四边形EFHN是矩形．

∴EF=NH，FH∥EN．

∴∠DBC=∠NEC．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，且互相平分

∴∠DBC=∠ACB

∴∠NEC=∠ACB

∵EG⊥AC，EN⊥CH，

∴∠EGC=∠CNE=90°，

又∵EC=CE，

∴△EGC≌△CNE．

∴EG=CN

∴CH=CN+NH=EG+EF；

（2）解：

猜想CH=EF﹣EG；

（3）解：

EF+EG=

BD；

（4）解：

点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．如图①，有CG=PF﹣PN．

7．（2011•福州）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：

cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

【解答】解：

（1）①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足为O，

∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE为菱形，

②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，

由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，

解得x=5，

∴AF=5cm．

（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=5t，QA=CD+AD﹣4t=12﹣4t，即QA=12﹣4t，

∴5t=12﹣4t，

解得

，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，

秒．

②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．

分三种情况：

i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；

ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；

iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．

8．（2013•万盛区校级模拟）如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．

（1）求证：

CE=CF；

（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：

CH=AH+AB．

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，

∵点E、F分别为AB、AD的中点，

∴BE=

AB，DF=

AD，

∴BE=DF，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴CE=CF；

（2）证明：

延长BA与CF，交于点G，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF∥BC，AB∥CD，

∴∠G=∠FCD，

∵点F分别为AD的中点，且AG∥CD，

∴AG=AB，

∵△BCE≌△DCF，

∴∠ECB=∠DCF，

∵∠CHB=2∠ECB，

∴∠CHB=2∠G，

∵∠CHB=∠G+∠HCG，

∴∠G=∠HCG，

∴GH=CH，

∴CH=AH+AG=AH+AB．

9．（2012•沙坪坝区校级模拟）已知：

如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．点P为矩形外一点且满足AP=PC，AP⊥PC．PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM⊥PD交AD于M．

（1）若AP=

，AB=

BC，求矩形ABCD的面积；

（2）若CD=PM，求证：

AC=AP+PN．

【解答】

（1）解：

∵AP⊥CP且AP=CP，

∴△APC为等腰直角三角形，

∵AP=

，

∴AC=

，

∵AB=

BC，

∴设AB=x，BC=3x，

∴在Rt△ABC中，

x2+（3x）2=10，

10x2=10，

x=1，

∴SABCD=AB•BC=1×3=3；

（2）解：

延长AP，CD交于Q，

∵∠1+∠CND=∠2+∠PNA=90°，

且∠CND=∠ANP，

∴∠1=∠2，

又∠3+∠5=∠4+∠5=90°，

∴∠3=∠4，

在△APM和△CPD中

∵

，

∴△APM≌△CPD（ASA），

∴DP=PM，

又∵CD=PM，

∴CD=PD，

∴∠1=∠4=∠3，

∵∠1+∠Q=∠3+∠6=90°

∴∠Q=∠6

∴DQ=DP=CD

∴D为CQ中点，

又∵AD⊥CQ

∴AC=AQ=AP+PQ，

在△APN和△CPQ中

∵

，

∴△APN≌△CPQ（ASA），

∴PQ=PN

∴AC=AP+PQ=AP+PN．

10．（2016•黄埔区模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．

（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；

（2）求EF的最大值与最小值．

【解答】解：

（1）BE=BF，证明如下：

∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4，

∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，

∵AE+CF=4，

∴CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE，

又∵BD=BC=4，∠BDE=∠C=60°，

在△BDE和△BCF中，

，

∴△BDE≌△BCF（SAS），

∴BE=BF；

（2）∵△BDE≌△BCF，

∴∠EBD=∠FBC，

∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，

∴∠EBF=∠DBC=60°，

又∵BE=BF，

∴△BEF是正三角形，

∴EF=BE=BF，

当动点E运动到点D或点A时，BE的最大值为4，

当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为

，

∵EF=BE，

∴EF的最大值为4，最小值为

．

11．（2013•新疆）如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．

（1）求证：

△AOE≌△COF；

（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=OC，AB∥CD．

∴∠E=∠F．

∵在△AOE与△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS）；

（2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，

理由如下：

由

（1）可知△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∵AO=CO，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵EF=AC，

∴四边形AECF是矩形．