江苏省泰州市届高三数学第一次模拟考试试题.docx
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江苏省泰州市届高三数学第一次模拟考试试题
2020届高三年级第一次模拟考试
数学
(满分160分,考试时间120分钟)
参考公式:
柱体的体积V=Sh,锥体的体积V=
Sh
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.函数f(x)=sin2x的最小正周期为________.
2.已知集合A={4,a2},B={-1,16},若A∩B≠∅,则实数a=________.
3.复数z满足zi=4+3i(i是虚数单位),则|z|=________.
4.函数y=
的定义域是________.
5.从1,2,3,4,5这五个数中随机取两个数,则这两个数的和为6的概率为________.
6.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的T的值是________.
7.已知数列{an}满足log2an+1-log2an=1,则
=________.
8.若抛物线y2=2px(p>0)的准线与双曲线x2-y2=1的一条准线重合,则p=________.
9.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,M为棱AA1的中点,记三棱锥A1MBC的体积为V1,四棱锥A1BB1C1C的体积为V2,则
的值是________.
10.已知函数f(x)=2x4+4x2,若f(a+3)>f(a-1),则实数a的取值范围为________.
11.在平面直角坐标系xOy中,过圆C1:
(x-k)2+(y+k-4)2=1上任一点P作圆C2:
x2+y2=1的一条切线,切点为Q,则当线段PQ的长最小时,k=________.
12.已知P为平行四边形ABCD所在平面上任一点,且满足
+
+2
=0,λ
+μ
+
=0,则λμ=________.
13.已知函数f(x)=
若存在x0<0,使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是________.
14.在△ABC中,已知sinAsinBsin(C-θ)=λsin2C,其中tanθ=
,若
+
+
为定值,则实数λ=________.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知向量a=(sinx,1),b=
,其中x∈(0,π).
(1)若a∥b,求x的值;
(2)若tanx=-2,求|a+b|的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,O为对角线BD的中点,E,F分别为棱PC,PD的中点,已知PA⊥AB,PA⊥AD.求证:
(1)直线PB∥平面OEF;
(2)平面OEF⊥平面ABCD.
17.(本小题满分14分)
如图,三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上,Q是弧AB的中点,现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O,Q重合),为小区铺设三条地下电缆管线PO,PA,PB,已知OA=2千米,∠AOB=
,记∠APQ=θrad,地下电缆管线的总长度为y千米.
(1)将y表示成θ的函数,并写出θ的范围;
(2)请确定工作坑P的位置,使地下电缆管线的总长度最小.
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左顶点为A,B是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点,P是AB的中点,过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q,已知椭圆C的离心率为
,点A到右准线的距离为6.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设点Q的横坐标为x0,求x0的取值范围.
19.(本小题满分16分)
设A,B为函数y=f(x)图象上相异两点,且点A,B的横坐标互为倒数,过点A,B分别作函数y=f(x)的切线,若这两条切线存在交点,则称这个交点为函数f(x)的“优点”.
(1)若函数f(x)=
不存在“优点”,求实数a的值;
(2)求函数f(x)=x2的“优点”的横坐标的取值范围;
(3)求证:
函数f(x)=lnx的“优点”一定落在第一象限.
20.(本小题满分16分)
已知首项不为0的数列{an}的前n项和为Sn,2a1+a2=a3,且对任意的n∈N,n≥2都有2nSn+1-(2n+5)Sn+Sn-1=ra1.
(1)若a2=3a1,求r的值;
(2)数列{an}能否是等比数列?
说明理由;
(3)当r=1时,求证:
数列{an}是等差数列.
2020届高三年级第一次模拟考试
数学附加题
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修42:
矩阵与变换](本小题满分10分)
B.[选修44:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为
(t为参数),曲线C的参数方程为
(θ为参数).若直线l与曲线C相交于A,B两点,求线段AB的长.
C.[选修45:
不等式选讲](本小题满分10分)
设正数a,b,c满足3a+2b+c=1,求
+
+
的最小值.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=3,AB=1.
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;
(2)求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值.
23.(本小题满分10分)
已知函数f(x)=1-|2x-1|,0≤x≤1,设fn(x)=fn-1(f1(x)),其中f1(x)=f(x),方程
fn(x)=0和方程fn(x)=1根的个数分别为gn(0),gn
(1).
(1)求g2
(1)的值;
(2)证明:
gn(0)=gn
(1)+1.
2020届高三年级第一次模拟考试(七)(泰州)
数学参考答案
1.π2.±43.54.[-1,1]5.156.8
7.48.9.1410.(-1,+∞)11.2
12.-3413.[-1,0)14.510
15.
(1)因为a∥b,
所以sinxcosx=12,即sin2x=1.
因为x∈(0,π),所以x=π4.
(2)因为tanx=sinxcosx=-2,
所以sinx=-2cosx.
因为a+b=1,1+cosx,
所以|a+b|=1+(1+cosx)2=9+sinx+2cosx=32.
16.
(1)O为BD的中点,F为PD的中点,
所以PB∥FO.
因为PB⊄平面OEF,FO⊂平面OEF,
所以PB∥平面OEF.
(2)连结AC,因为四边形ABCD为平行四边形,
所以AC与BD交于点O,O为AC的中点.
因为E为PC的中点,
所以PA∥OE.
因为PA⊥AB,PA⊥AD,AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD,
所以PA⊥平面ABCD,
所以OE⊥平面ABCD.
因为OE⊂平面OEF,
所以平面OEF⊥平面ABCD.
17.
(1)因为Q为弧AB的中点,由对称性,知PA=PB,∠AOP=∠BOP=π6,
又∠APO=π-θ,∠OAP=θ-π6,
由正弦定理,得π6=OAsin(π-θ)=π6,又OA=2,
所以PA=1sinθ,OP=6,
所以y=PA+PB+OP=2PA+OP=6=3sinθ-cosθ+2sinθ,
因为∠APQ>∠AOP,
所以θ>π6,∠OAQ=∠OQA=12(π-π6)=5π12,
所以θ∈5π12.
(2)令f(θ)=3sinθ-cosθ+2sinθ,θ∈5π12,
f′(θ)=1-2cosθsin2θ=0,得θ=π3,
f(θ)在区间π3上单调递减,在区间(π3,5π12)上单调递增,
所以当θ=π3,即OP=33千米时,f(θ)有唯一的极小值,即是最小值,则f(θ)min=2.
答:
当工作坑P与O的距离为33千米时,地下电缆管线的总长度最小.
18.
(1)依题意,得a2=6,解得a=2,c=1,
所以b==,
所以椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)由
(1)知,A(-2,0),设AB:
x=my-2,m≠0,
联立x=my-2,3x2+4y2=12,
解得12m3m2+4或x=-2,y=0,
即B(6m2-83m2+4,12m3m2+4),则P(-83m2+4,6m3m2+4),
所以kOP=-3m4,OP:
y=-3m4x.
因为AB⊥BQ,所以kBQ=-m,所以直线BQ的方程为BQ:
y=-mx+6m3+4m3m2+4,
联立6m3+4m,得x0=8(3m2+2)3m2+4=8-163m2+4∈(4,8).
19.
(1)由题意可知,f′(x)=f′1x对x∈(0,1)∪(1,+∞)恒成立,
不妨取x∈(0,1),则f′(x)=1x=2ax=f′1x恒成立,即a=12,
经验证,a=12符合题意.
(2)设A(t,t2),B1t2(t≠0且t≠±1),
因为f′(x)=2x,
所以A,B两点处的切线方程分别为y=2tx-t2,y=2tx-1t2,
令2tx-t2=2tx-1t2,解得x=121t∈(-∞,-1)∪(1,+∞),
所以“优点”的横坐标取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(3)设A(t,lnt),b1,-lnt,t∈(0,1),
因为f′(x)=1x,
所以A,B两点处的切线方程分别为y=1tx+lnt-1,y=tx-lnt-1,
令1tx+lnt-1=tx-lnt-1,
解得x=1t>0,
所以y=1t·1t+lnt-1=t2+1t2-1(lnt-t2-1t2+1),
设h(m)=lnm-m2-1m2+1,m∈(0,1),
则h′(m)=(m2-1)2m(m2+1)2>0,
所以h(m)单调递增,
所以h(m) (1)=0, 即lnt-t2-1t2+1<0. 因为t2+1t2-1<0, 所以y=1t·1t+lnt-1>0, 所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数,在第一象限. 20. (1)令n=2,得4S3-9S2+S1=ra1, 即4(a3+a2+a1)-9(a2+a1)+a1=ra1, 化简,得4a3-5a2-4a1=ra1. 因为2a1+a2=a3,a2=3a1, 所以4×5a1-5×3a1-4a1=ra1, 解得r=1. (2)假设数列{an}是等比数列,公比为q,则由2a1+a2=a3得2a1+a1q=a1q2,且a1≠0,解得q=2或q=-1, 由2nSn+1-(2n+5)Sn+Sn-1=ra1, 得4Sn=2nan+1-an-ra1(n≥2), 所以4Sn-1=2(n-1)an-an-1-ra1(n≥3),两式相减,整理得2nan+1+an-1=(2n+3)an, 两边同除以an-1,可得2n(q2-q)=3q-1. 因为q=2或-1, 所以q2-q≠0, 所以上式不可能对任意n≥3恒成立, 故数列{an}不可能是等比数列. (3)r=1时,令n=2, 整理得-4a1-5a2+4a3=a1, 又由2a1+a2=a3可知a2=3a1,a3=5a1, 令n=3,可得6S4-11S3+S2=a1, 解得a4=7a1, 由 (2)可知4Sn=2nan+1-an-a1(n≥2), 所以4Sn-1=2(n-1)an-an-1-a1(n≥3), 两式相减,整理得2nan+1+an-1=(2n+3)an(n≥3), 所以2(n-1)an+an-2=(2n+1)an-1(n≥4), 两式相减,可得2n[(an+1-an)-(an-an-1)]=(an-an-1)-(an-1-an-2)(n≥4). 因为(a4-a3)-(a3-a2)=0, 所以(an-an-1)-(an-1-an-2)=0(n≥4), 即an-an-1=an-1-an-2(n≥4), 又因为a3-a2=a2-a1=2a1, 所以数列{an}是以a1为首项,2a1为公差的等差数列. 21.A.将λ=-2代入2=λ2-(x-1)λ-(x+5)=0,得x=3, B.由题意得曲线C的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. 将直线l的参数方程1+t代入(x+1)2+y2=4得 1-t+1+1+t=4, 即4t2-4t-3=0, 解得t1=-12,t2=32, 则AB=|t1-t2|=32=2. C.因为3a+2b+c=1, 所以1a+1a+b+1b+c =(2a+a+b+b+c)·1b+c ≥(×1a+×1a+b+×1b+c)2 =(+1+1)2 =6+4, 当且仅当a=a+b=b+c时,等号成立, 所以1a+1a+b+1b+c的最小值为6+4. 22. (1)以AB,AD,AA1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,则A1(0,0,3),B(1,0,0),C1(1,1,3), 所以BA1→=(-1,0,3),AC1→=(1,1,3), 所以cos〈BA1→,AC1→〉=-1+911=11055. (2)由题意得C(1,1,0),D(0,1,0), 所以A1B→=(1,0,-3),A1C→=(1,1,-3),AC1→=(1,1,3),AD→=(0,1,0), 设平面A1BC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则 A1C·n1=0,即x1-3z1=0,x1+y1-3z1=0, 令z1=1,则n1=(3,0,1). 设平面AC1D的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则 AD·n2=0,即x2+y2+3z2=0,y2=0, 令z2=1,则n2=(-3,0,1), 所以cos〈n1,n2〉=n1·n2|n1||n2|=-9+110=-45, 所以平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值为35. 23. (1)当n=2时,f2(x)=f1(1-|2x-1|)=f(1-|2x-1|)=1-|2(1-|2x-1|)-1|=1, 所以2(1-|2x-1|)=1, 所以1-|2x-1|=12, 所以2x-1=±12, 所以x=14或x=34, 所以g2 (1)=2. (2)因为f(0)=f (1)=0, 所以fn(0)=fn (1)=0. 因为f1(x)=1-|2x-1|∈[0,1], 当x∈12时,f1(x)单调递增,且f1(x)∈(0,1], 当x∈1,1时,f1(x)单调递减,且f1(x)∈[0,1). 下面用数学归纳法证明: 方程fn(x)=0(x∈(0,1])、方程fn(x)=1(x∈(0,1])、方程fn(x)=0(x∈[0,1))、方程fn(x)=1(x∈[0,1))的根的个数都相等,且为gn (1). (ⅰ)当n=1时,方程f1(x)=0(x∈(0,1])、方程f1(x)=1(x∈(0,1])、方程f1(x)=0(x∈[0,1))、方程f1(x)=1(x∈[0,1))的根的个数都相等,且为1,上述命题成立. (ⅱ)假设n=k时,方程fk(x)=0(x∈(0,1])、方程fk(x)=1(x∈(0,1])、方程fk(x)=0(x∈[0,1))、方程fk(x)=1(x∈[0,1))的根的个数都相等,且为gk (1), 则当n=k+1时,有fk+1(x)=fk(f1(x)). 当x∈12时,f1(x)∈(0,1],方程fk+1(x)=0的根的个数为gk (1). 当x∈1,1时,f1(x)∈[0,1),方程fk+1(x)=0的根的个数也为gk (1). 所以方程fk+1(x)=0(x∈(0,1])的根的个数为gk+1(0)=2gk (1), 同理可证: 方程fk+1(x)=1(x∈(0,1])、方程fk+1(x)=0(x∈[0,1))、方程fk+1(x)=1(x∈[0,1))的根的个数都相等,且为2gk (1), 由(ⅰ)(ⅱ)可知,命题成立, 又因为fn(0)=fn (1)=0, 所以gn(0)=gn (1)+1.
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