三角函数高考大题汇编一.docx
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三角函数高考大题汇编一.docx
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三角函数高考大题汇编一
三角函数恒等变换
【高考考情解读】1.从近几年的考情来看,对于三角恒等变换,高考命题以公式的基本运
用、计算为主,其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点2.分析近
年考情可知,命题模式一般为1~2题,其中,选择(填空)题多为低档题,主要考查三角函数的定
义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和差角与倍角公式等.解答题则主
要考查三角函数的图像与性质、三角函数的恒等变换、解三角形、向量与三角函数综合问题、三
角函数的实际应用,一般出现在前两个解答题的位置,难度中等.3.高考常设置必考1个解答题,
或者再加上1个客观题,约合12-17分。
【考查形式】1.三角恒等变换是高考的热点内容,在解答题中多作为一种化简工具考查,
其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重点。
2.三角函数的图像与性质是高考考查的另一个热点,侧重于对函数y=Asin(ωx+φ)的周期性、
单调性、对称性以及最值等的考查,常与其他知识交汇以解答题的形式考查,难度中等.
3.正弦定理、余弦定理以及解三角形的问题是高考的必考内容.在解答题中主要考查:
(1)边和角
的计算;
(2)面积的计算;(3)有关范围的问题.由于此内容应用性较强,解三角形的实际应用问题
也常出现在高考解答题中等.
1.同角三角函数的基本关系式
22
(1)平方关系:
sinα+cosα=1(α∈R).
sinαπ
α≠kπ+,k∈Z.
(2)商数关系:
tanα=
cosα2
2.六组诱导公式
函数
角
2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-α
π
-α
2
π
+α
2
正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα
余弦cosα-cosαcosα-cosαsinα-sinα
正切tanαtanα-tanα-tanα
对于角“
kπ
±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”
2
是指“当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”
是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时,原函数值的符号.”
3.常用角的弧度和正余弦、正切函数值
第1页共1页
0°30°45°60°90°120°135°150°180°
235
06432
346
123232222
1
sin02120
321321
cos12021
2222
tan0
3
313
3
3-130
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数y=sinxy=cosxy=tanx
图象
定义域RRxx∈R且x≠
π
+kπ,k∈Z
2
值域[-1,1][-1,1]R
2kπ-
ππ
,+
22
2kπk(∈Z)上递增;
单调性
[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
上递增;[2kπ,2kπ
kπ-
ππ
,+
22
2kπ+
π
3π
,+
22
+π](k∈Z)上递减
kπk(∈Z)上递增
2kπk(∈Z)上递减
x=
π
+2kπk(∈Z)时,
2
x=2kπ(k∈Z)时,ymax
最值
ymax=1;x=-
π
+2kπk(
2
=1;x=π+2kπ(k∈
Z)时,ymin=-1
∈Z)时,ymin=-1
奇偶性奇函数偶函数奇函数
对称
中心
(kπ,0)(k∈Z)
π
+kπ,0(k∈Z)kπ
,0(k∈Z)
22
对称轴
方程
π
+kπk(∈Z)x=kπk(∈Z)
x=
2
周期2π2ππ
研究三角函数图像与性质的常用方法
(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性,往往是在定义域内,先化
第2页共2页
简三角函数式,尽量化为y=Asin(ωx+φ)的形式,然后再求解.
(2)对于形如y=asinωx+bcosωx型的三角函数,要通过引入辅助角化为y=a
2+b2
sin(ωx+φ)cosφ=
a
2,sinφ=
2+b
a
b
2的形式来求.
2+b
a
1.求三角函数的最小正周期
(1)周期函数的定义:
一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的
每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么
这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.
(3)首先利用两角和差正余弦公式、二倍角公式、常用角函数值、辅助角公式等化简成形如y
2
=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式,则最小正周期T=
。
2、求三角函数的单调区间时应注意以下几点:
(1)形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间,基本思路是把ωx+φ看作是一个整体,
由-
π
+2kπ≤ωx+φ≤
2
π
+2kπk(∈Z)求得函数的增区间,由
2
π
+2kπ≤ωx+φ≤
2
3π
+2kπ(k∈Z)求得函
2
数的减区间.
(2)形如y=Asin(-ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数,可先利用诱导公式把x的系数变为正数,得到
y=-Asin(ωx-φ),由-
π
+2kπ≤ωx-φ≤
2
ππ
+2kπk(∈Z)得到函数的减区间,由+2kπ≤ωx-φ≤
22
3π
2
+2kπk(∈Z)得到函数的增区间.
(3)求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意ω的符号,只有当ω>0时,才能把ωx+
φ看作一个整体,代入y=sint的相应单调区间求解,否则将出现错误.
(4)对于y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)等,函数的单调区间求法与y=Asin(ωx+φ)类似.
3、求三角函数的对称轴、对称中心
(1)利用两角和差正余弦公式、二倍角公式、常用角函数值、辅助角公式等化简成形如y=
Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的对称轴、对称中心,基本思路是把ωx+φ看作是一个整体,y=
Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的对称轴的求法是,令ωx+φ=
π
+kπk(∈Z),然后求出x的对称轴;
2
对称中心令ωx+φ=kπk(∈Z),然后求出x的对称中心。
(2)对于y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)等,函数的单调区间求法与y=Asin(ωx+φ)类似.
4、三角函数形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像平移变换
(1)确定y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<π中)的参数的方法:
在由图象求解析式时,若最大值为M,最小值为m,则A=
M-mM+m
,k=,ω由周期T
22
确定,即由
2π
=T求出,φ由图像中的特殊点确定.
ω
第3页共3页
(2)由y=sinx的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换的区别:
先相位变换再周期变
换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是
|φ|
(ω>0)
ω
个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是于ωx加
减多少值.
(1)先平移后调频把y=sinx的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象
(2)先调频后平移把y=sinx的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象
两种平移变换的对比:
第4页共4页
5、求三角函数恒等变换的值域
第一步:
三角函数式的化简,一般化成形如y=Asin(ωx+φ)+h的形式或y=Acos(ωx+
φ)+k的形式.
第二步:
根据题设条件求出y=Asin(ωx+φ)+h中有关的参数.
第三步:
由x的取值范围确定ωx+φ的取值范围,再确定sin(ωx+φ)的取值范围.
第四步:
求出所求函数的值域(或最值).
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
-β):
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;
(1)C(α
+β):
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
(2)C(α
+β):
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;(3)S(α
-β):
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;(4)S(α
tanα+tanβ
+β):
tan(α+β)=
;(5)T(α
1-tanαtanβ
tanα-tanβ
-β):
tan(α-β)=
(6)T(α.
1+tanαtanβ
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α:
sin2α=2sinαcosα;
2222
(2)C2α:
cos2α=cos
α-sinα=2cosα-1=1-2sin
α;
(3)T2α:
tan2α=
2tanα
.
2
1-tanα
3.常用的公式变形
(1)tanα±tanβ=tan(α±β)(1?
tanαtanβ);
2
(2)cos
α=
1+cos2α1-cos2α
2
,sin
;
α=
22
2,(3)1+sin2α=(sinα+cosα)
2,1-sin2α=(sinα-cosα)
sinα±cosα=2sin(
)
4
第5页共5页
3.三角恒等变换的常见形式:
一是化简,二是求值,三是三角恒等式的证明.
(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍
角公式进行转化求解;
(2)三角函数求值分为条件求值与非条件求值,对条件求值问题要充分利用条件进行转化求
解;
(3)三角恒等式的证明,要看左右两侧函数名、角之间的关系,不同名则化同名,不同角则化
同角,利用公式求解变形即可.
注:
1.两角和与差的三角函数公式的理解:
(1)正弦公式概括为“正余、余正符号同”.“符号同”指的是前面是两角和,则后面中间为
“+”号;前面是两角差,则后面中间为“-”号.
(2)余弦公式概括为“余余、正正符号异”.
22
(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β=α所得.特别地,对于余弦:
cos2α=cosα-sin
α
22
=2cosα-1=1-2sin
α,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用即为“降幂公式”,在考
题中常有体现.
2.重视三角函数的“三变”:
“三变”是指“变角、变名、变式”,变角为:
对角的分拆要
尽可能化成已知角、同角、特殊角;变名:
尽可能减少函数名称;变式:
对式子变形一般要尽可
能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、
所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.
考点三角函数的化简与求值
[方法规律总结]
1.三角函数的化简求值题一般先将三角函数式化简,再求值.其中常用到两角和差正余弦公式、
二倍角公式、辅助角公式等,有时会考察同角三角函数恒等式、诱导公式。
2.讨论三角函数的性质(求周期、求单调区间、求最值等)的题目,一般先运用三角公式化(两角
和差正余弦公式、二倍角公式、辅助角公式)简函数表达式,再依据正弦型或余弦型函数的性质
进行讨论.
3.三角变换的基本策略:
(1)1的变换;
(2)切化弦;(3)升降次;(4)引入辅助角;(5)角的变换
与项的分拆.
[三角函数化简技巧]
1、凡是遇到sinx,cosx的二次项,都采用降次
2、凡是遇到两角和形如cos(2x+
π
),都是先拆项再组合的方式处理,如(2013·湖南高考)。
3
3、凡是遇到三角形的角的组合,多用两角和正余弦公式和三角形内角和公式。
已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx.
第6页共6页
(1)求f(x)的最小正周期;
ππ
(2)求f(x)在区间-
,上的最大值和最小值.
62
解:
(1)∵f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵-
π
≤x≤
6
π
,
2
∴-
π
≤2x≤π,则-
3
3
≤sin2x≤1.
2
所以f(x)在区间-
π
,
6
π
上的最大值为1,最小值为-3
.
22
12.(2012·北京高考)已知函数f(x)=
sinx-cosxsin2x
.
sinx
(1)求f(x)的定义域及最小正周期;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解:
(1)由sinx≠0得x≠kπk(∈Z),
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.
因为f(x)=
sinx-cosxsin2x
sinx
=2cosx(sinx-cosx)
=sin2x-cos2x-1
π
=2sin2x-
-1,
4
所以f(x)的最小正周期T=
2π
=π.
2
ππ
,2kπ+
(2)函数y=sinx的单调递增区间为2kπ-
2(k∈Z).2
π
由2kπ-≤2x-
2
ππ
≤2kπ+,x≠kπk(∈Z),
42
得kπ-
π
≤x≤kπ+
8
3π
,x≠kπk(∈Z).
8
π
3π
所以f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ和kπ,kπ+(k∈Z).
88
π
2x.设函数f(x)=cos2x++sin
3
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;
1
3
,f
(2)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB=
C
2
=-
1
4
,且C为锐角,求sinA.
ππ
1-cos2x
【解】
(1)f(x)=cos2xcos-sin2xsin
+=
332
1
2
cos2x-
3
sin2x+
2
1
2
-
1
2
cos2x
1
=-
2
3
2sin2x.
第7页共7页
所以,当2x=-
π
+2kπ,即x=-
2
1+3
π
+kπk(∈Z)时,f(x)取得最大值,f(x)最大值=,
42
2π1+3
=π,故函数f(x)的最大值为f(x)的最小正周期T=
,最小正周期为π.
22
(2)f
C
2
=-
1
4
,即
1
2
-
3
sinC=-
2
1
4
,解得sinC=
3
,
2
由cosB=1得sinB=22
.因此sinA=sin[-π(B+C)]=sin(B+C)
33
=sinBcosC+cosBsinC=
221
×+
32
1
3
×
3
=
2
22+3
.
6
(2010广东理数)16、(本小题满分14分)
已知函数f(x)Asin(3x)(A0,x(,),0在
x时取得最大值4.
12
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的解析式;
(3)若f(
2
3
α+
12
)=
12
5
求sinα.
3
sin
(2)
25
,
cos2
3
5
,
12sin
23
5
,
21
sin
5
,
sin
5
5
.
[例1](2013·北京高考)已知函数f(x)=(2cos
2x-1)sin2x+
1
2
cos4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值;
(2)若α∈
π
,π,且f(α)=
2
2
,求α的值.
2
[解答]
(1)因为f(x)=(2cos
1
2x-1)sin2x+
cos4x
2
第8页共8页
=cos2xsin2x+
1
2
cos4x=
1
2
(sin4x+cos4x)=
2
sin4x+
2
π
4
,
π
所以f(x)的最小正周期为
2
2
,最大值为
.
2
(2)因为f(α)=
2π
,所以sin4α+
24
=1.
因为α∈
ππ
,π,所以4α+
24
∈
9π
,
4
17π
4
,
即4α+
π
=
4
5π
2
.故α=
9π
16
.
2x
2.(2010重庆理数)设函数xR
f(x)cos(x)2cos,32
(Ⅰ)求f(x)的值域;
(Ⅱ)记ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,若f(B)1,b1,c3,求a的
值.
22
解:
(Ⅰ)cos1
f(x)cosxcossinxsinx
33
1
2
cos
3135
xsinxcoscossin1sin(x,
x1xx)1
2226
因此f(x)的值域为[0,2].
55
(Ⅱ)由f(B)1得sin(B)11,即sin(B)0,又因0B,故
66
B.
6
222
由余弦定理bac2accosB
2a
,得a320,解得a1或2.
(2010天津理数)(17)(本小题满分12分)
已知函数
2
f(x)23sinxcosx2cosx1(xR)
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及在区间0,
上的最大值和最小值;
2
【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数yAsin(x)的性质、
同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力,满分12分。
(1)解:
由
2
f(x)23sinxcosx2cosx1,得
2
f(x)3(2sinxcosx)(2cosx1)3sin2xcos2x2sin(2x)
6
所以函数f(x)的最小正周期为
第9页共9页
因为f(x)2sin2x在区间0,
6
6
上为增函数,在区间,
62
上为减函数,又
fff,所以函数f(x)在区间0,
(0)1,2,1
62
2
上的最大值为2,最小值为-1
(2009山东)(17)(本小题满分12分)设函数
2
fxcos(2x)sinx。
3
(Ⅰ)求函数fx的最大值和最小正周期;
(Ⅱ)设A,B,C为ABC的三个内角,若
1c1
cosB,f(),且C为锐角,求sinA。
324
解:
(1)f(x)=cos(2x+)+sin
3
2x.
=
1cos2x13
cos2xcossin2xsinsin2x
33222
所以函数f(x)的最大值为
13
2
最小正周期.
c
(2)f()=
2
13
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