2014年全国数学建模b题论文创意平板折叠桌.docx
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题目:
B题
参赛队员:
队员1郑迪威队员2张瑜队员3单亚群
指导教师:
王卫东
单位:
南昌航空大学
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”,可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛章程和参赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会,可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写):
B
我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):
所属学校(请填写完整的全名):
南昌航空大学
参赛队员(打印并签名):
1.张瑜
2.郑迪威
3.单亚群
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):
王卫东
(论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对,提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误,论文可能被取消评奖资格。
)
日期:
2014年9月15日
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用):
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
创意平板折叠桌
摘要
创意平板折叠桌,折叠后桌面呈圆形,桌子两边呈对称,每一边的桌腿各由一根钢筋连接,钢筋两端分别固定在最长的外侧桌腿上,并且钢筋在空槽中自由移动,桌子外侧形状近似直纹曲面,折叠前为工整的有厚度的长方形木板。
针对这一特殊桌子,用数学模型的方法去解析其原理并进行拓展。
针对第一个问题,假设桌面为水平面且不动,利用木棍都通过一个定轴(钢筋)这一特性,建立数学模型,算出加工参数,插值和最小二乘法画出桌角边缘线,运用公式四取折叠过程的20个状态,用MATLAB制作出折叠桌的动态示意图。
针对第二个问题,根据不同种类材料的硬度,确定最优厚度。
建立其最长木棍与地面形成的角与厚度的关系,及最长木棍与地面形成的角与板长的关系,确定最优板长。
运用金字塔最稳角[12]的知识,建立模型编程,确定最优角度和木棍宽度和板厚的最优比例,确定最优木棍的数目。
在稳固性假设R=H-ttanθ+R2+R-d22前提下,由公式ln=w2-R2-R-dn+d22算出每根木棍的长度,根据最短木棍长度和角度确定钢筋位置,算出槽长。
算出满足题目要求最优加工参数。
统一的标准化的槽长和最少木棍数目,使得加工方便;最稳角度和钢筋位置,使得最稳结构;满足强度的最薄材料和满足高度的最短板长,使得用料最少。
针对第三个问题,已知桌高、桌面边缘线、桌脚边缘线,加上最稳角,可求得最长木棍的长度,及桌的侧面空间曲面,进而确定钢筋的位置,以及一系列最优加工参数,确定了桌子的最终形状。
关键词:
直纹曲面最稳角最优加工参数边缘线
一、问题的重述
一创意平板折叠桌,桌面呈圆形,桌子两边呈对称,每一边的桌腿各由一根钢筋连接,钢筋两端分别固定在最长的外侧桌腿上,并且钢筋在空槽中自由移动,桌子外侧形状近似直纹曲面,折叠前为工整的有厚度的长方形木板。
用数学的思想和方法建立模型来解决下列问题:
1.在规定的条件下,建立模型描述折叠桌的动态变化过程,并给出此折叠桌的桌腿木条开槽的长度等设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。
(条件长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm,每根木条宽2.5cm,钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置,折叠后桌子的高度为53cm。
)
2.对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径,在满足产品稳固性好、加工方便、用材最少的情况下,讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数(包括:
平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等)。
若桌高70cm,桌面直径80cm,确定最优设计加工参数。
3.若想设计一个软件,当任意设定折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状时,可得到平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数,建立出此软件数学模型,并根据所建立的模型设计几个创意平板折叠桌(要求给出相应的设计加工参数,画出至少8张动态变化过程的示意图)。
二、问题的分析
问题1:
第一步:
运用已知数据得出所能求出的直观量。
条件已知长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm,每根木条宽2.5cm,可确定木条数量为20条,由于折叠后桌子的高度为53cm。
所以,最长木条与地面的垂直高度为50cm和轴的垂直高度,利用垂直高度和最长桌腿求出最大偏角。
第二步:
深度剖析桌子相关数据,用数学方法分析,计算,求解,画图。
所有木棍都通过钢筋这一定轴,转过的角度各不相同,使得侧面形成近似直纹曲面。
桌子折叠后,桌腿相对于直径分别对称,所以只需考虑四分之一个整体即可,从而得出侧简图1:
由此,可算出第一条和第n条桌腿的直线距离,由公式一得出n条桌腿的长度,木棍上顶点不动,下顶点转动,利用水平距离求角度,得出公式二,求得角度后,结合桌腿长度
得出最后位置,用MATLAB以角度为自变量画出桌腿到最大偏角的2n的状态图。
问题2:
题中说对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求,讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数,例如,平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
情景设定为桌高70cm,桌面直径80cm,保证桌子达到稳固性好、加工方便、用材最少的要求。
第一步:
不同种类材料有不同的硬度,从而确定不同种类材料的最佳厚度,确定木棍的角度和已知的高度确定板的最小长度,确定用材的最小体积,达到用材最少的要求。
通过计算木棍横截面的长宽比,找到最佳宽度,进而确定最少木棍数目,加上空槽统一规格,达到标准化,从而达到加工方便的要求。
通过确定钢筋位置和最稳角达到稳固性好的要求。
第二步:
搜集不同材料的硬度对照表(见附录一),选定木材,金属,塑料三个种类的材料进行硬度分析和计算,确定材料的三组最佳厚度进行对比计算,做出同一侧两根最长木棍的梯形,向上延伸腰长,得到三角形,分析此三角形的稳定性,又通过金字塔最稳角这一概念确定三角形顶角的范围,从而确定板长。
根据题一的侧视图图1-1角和长度的关系,建立模型编程,确定最佳角度和木棍宽度和板厚的最佳比例。
从而得出木棍的数量。
根据第一题的模型可确定槽长和各个木棍的长度以及钢筋的位置。
问题3:
给定任意桌面高度、桌面边缘线、桌脚边缘线,求得桌子的整体形状。
运用最稳角和桌高可算出最长木棍的长度,结合已知桌面边缘线和桌脚边缘线可形成一个三维曲面,若桌面边缘线为圆形,那么此曲面为直纹曲面。
从而确定钢筋位置,确定桌子的整体形状。
三、模型的假设
1、假设在桌子动态变化过程中,忽略摩擦力的影响。
忽略木条间的缝隙距离及桌面折叠前铰链接间的缝隙距离。
2、假设槽宽与钢筋横截面直径相等,且钢筋滑动无障碍。
3、假设桌面边缘线过各个木条折叠前铰链处宽度中点。
四、符号的说明
板长:
w
圆的半径:
R
第n条木棍与桌面的角度:
θn
板面到地面的垂直高度:
H
木棍的宽度:
d
板的厚度:
t
第n条木棍与第一根木棍的水平距离:
sn1
第n条木棍的长度:
ln
钢筋的位置:
c
第n条木棍顶点的位置xn
厚宽比:
n
五、模型的建立与求解
模型一:
俯视图:
R
O
l
由已知条件可算出最长木条与地面的垂直高度为50cm和轴的垂直高度25cm,侧面为近似直纹曲面,所以,图形为对称的,只需研究四分之一的结构,利用垂直高度和最长桌腿求出最大偏角。
假设桌面水平且不动,则木棍的上端点是不动的,又根据所有木棍都通过一个定轴(钢筋)这一特性,建立起木棍的长度方程和各个木棍移动的角度方程,如下:
公式一:
θn>1=sin-1l1sinθ1l1cosθ1-2R2-R-dn+d22
公式二:
sn1=R2-R-dn+d22-R2-R-dn-1+d22
公式三
ln=w2-R2-R-dn+d22
各木棍顶点x位置:
公式四:
xn=R2-R2-R-nd+d22
由模型方程进行算法编程(见附录2),用MATLAB运算,
求得桌腿长度如下表:
1
52.1938
11
35.0313
2
46.8304
12
35.2829
3
43.4641
13
35.7939
4
41.0016
14
36.5813
5
39.1209
15
37.6743
6
37.6743
16
39.1209
7
36.5813
17
41.0016
8
35.7939
18
43.4641
9
35.2829
19
46.8304
10
35.0313
20
52.1938
求得角度为73.3292
求得最长空槽长度为34.1749
根据所求的数据及其关系方程,用MATLAB编程制作,在桌面不动的情况下桌子折叠动态图(见图1-2),又通过拟合相关的模拟动态点,得到桌角边缘线的三维图形(见图1-3)。
图1-2
对应数据见表1-3
x
y
z
23.75
29.4734
48.6957
21.25
25.0503
47.6811
18.75
22.0306
46.2446
16.25
19.9331
44.7288
13.75
18.4911
43.3103
11.25
17.5195
42.0853
8.75
16.8848
41.1046
6.25
16.4927
40.3937
3.75
16.2811
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