数学人教新课标A版圆锥曲线练习题库8总结教育文档.docx
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数学人教新课标A版圆锥曲线练习题库8总结教育文档
第二章圆锥曲线综合练习
求曲线方程
(一)
【例题精选】
例1:
求经过两圆的交点,圆心在上的圆的方程。
[分析]:
(1)从题设知:
两圆⊙O1:
⊙O2:
的交点可以通过解方程求出,记作Α、B,则Α、B两点在所求的圆上。
(2)所求圆的圆心若设为(Α,b),则有。
(3)可由待定系数法,设出所求圆的方程:
,这方程中含有三个待定系数得到三个方程,解方程组求出:
Α、b、R便可。
另外,所求圆是过两相交圆的交点,则可由“圆系”方程,设出过两圆交点的圆的方程,进而求出圆心坐标(含待定系数1个)再将圆心坐标代入方程上,得解,于是得出如下解法:
[解法一]:
两圆交于
由题设有
∴所求圆的方程为
即
[解法二]:
设过两个已知圆的交点的圆的方程为:
即:
圆心为
∵圆心在直线上
∴有
则所求的圆为:
即:
小结:
这两种方法虽然都是待定系数法,从待定系数个数看:
解法一中有Α,bR三个待定系数,而解法二中只有m一个待定第数,从计算量看,两解法都不繁琐。
例2:
求中心在原点,以坐标轴为对称轴,离心率为,且过点M(-4,)的椭圆方程。
分析:
由题意随圆为标准方程,但焦点不明确,故而要考虑焦点在x轴或y轴的两种可能;由离心率可得含Α、b的一个方程,再由点M的坐标满足椭圆方程得出Α、b的另一个方程,解方程组求出Α、b就可得到椭圆方程。
解:
若椭圆焦点在x轴上,则设方程为
将M点坐标代入方程得到:
解方程组:
解得:
因此椭圆方程为:
若椭圆焦点在y轴上,则设方程为:
同上可得:
将M点坐标代入这个椭圆方程中得到:
解方程组:
得到
因此椭圆方程为
例3:
求焦点是(0,),截直线所得弦的中点的横坐标是中心在原点的椭圆方程。
分析:
由题设知这是中心在原点,焦点在y轴的椭圆。
直线与椭圆相交所得弦的中点横坐标已知是建立含待定系数Α,b的一个方程,另一个是解方程组便可。
另外也可以先设出直线与椭圆相交结的端点的坐标,由于两点在椭圆上,故而坐标满足椭圆方程,然后两式相减,若则:
(直线的斜率)也可求出待定系数的值。
[解法一]:
设所求的椭圆为:
代入化简为:
解法二:
设直线与椭圆相义于两点
说明:
本题解法一是规范的待定系数法的解法。
解法二是利用曲线与方程的关系,化简得到这样两个“平方差”其中一个平方差这两个因式表示的分别是弦的中点横坐标的2倍,又因直线中斜率为2,因而直线与椭圆交点中,,为些用去除等式的两边时,便得到的式子,而这正是直线l的斜率是已知的,为此较容易的得到Α,b的一个方程,此法涉及到直线与圆锥曲线相交弦的中点有关问题时(若直线斜率未知也可以用此法求点)使用较简捷。
例4:
双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,过双曲线右焦点且斜率为的直线交于双曲线P,Q两点,若,求双曲线方程。
分析:
要求双曲线方程由于题设中焦点在x轴,因而方程为类型,其右焦点为F(c,o),需建立起Α,b为未知的两个方程,一个可利用,另一个利用通过图形关系完成向方程的转化。
解:
设所求的双曲线方程为,右焦点为F(c,0)
由题设过F点的直线l方程为:
整理消去y化为:
……(※)
现分析的取值
若=0,则有这显然与已知直线l的斜率相等而已知直线l平行于双曲线的渐近线,则直线l与双曲线只能交于一点与题设矛盾,
∴
因此若(※)方程两个根为则有:
则:
其中:
例5:
求下列抛物线的方程
(1)顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上点(3,Α)到焦点的距离是5;
(2)顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线所得的弦长为。
分析:
(1)由题设抛物线焦点在y轴上,但开口方向并不明确,仍有两种情况:
其焦点分别为:
,准线方程分别为由抛物线定义得到,再由点(3,Α)在抛物线上得到p,Α的另一方程,消去Α求得P.
(2)由于焦点在x轴上,但不明确抛物线的开口方向,故而可设抛物线方程:
通过题设条件,求得m值,便于确定方程。
[解]:
(1)
由
(2)得
解得
(2)设所求的抛物线方程为
小结:
本题给出求抛物线方程的常用方法,主要是当题设只给出焦点所在的轴,而不明确开口方向时作为待定系数法的第一步:
“假设方程”时的两类不同设。
例6:
如图,在面积为1的
求出以M,N为交点且过点P的椭圆方程。
分析:
从图中和题设知所求椭圆的焦点在x轴上,而椭圆方程为形状,建立Α,b的方程组,求出Α,b
由题意可设
又∵P为椭圆上的点,由椭圆定义有
解法一:
设所求的椭圆方程为
焦点
直线
直线
解法二:
同解法一得
∵P点在椭圆上
∴椭圆方程为
[解法三]:
作
又已知:
tgM=,∴
[解法四]:
由余弦定理得:
即:
小结:
本题比较新颖,题目在开始便给出“如图”这无疑给出了坐标系,否则若去掉“如图”这个词。
则在解题开始便应该先建立适当的坐标系,难度显然加大了,解法也会随之发生变化。
在以此显然将M,N两定点所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴建立的坐标系。
如果改变坐标系的建立,如以M,N所在直线为y轴,线段MN的垂直平分线为x轴,那么又如何求P点所在的椭圆方程呢?
可以自己试试。
这里提供四种解法,解法一,解法二是单纯的典型的待定系数法通过解方程组求出两直线的交点,椭圆定义;弦长公式三角形面积公式等求出待定系数Α,b的值来。
解法规范,也是常用方法。
解法三,是数形结合的使用,充分使用平面几何的处理方法,由三角形面积公式,启发作出轴于H点,多次使用解直角三角形的方法,得到与的数值,由椭圆定义写出方程,此法比前两种解法简捷。
解法四是三角知识在解析法中的应用,主要因为题设给出的是△内角的三角形数的值,由此容易联想到解△中的正弦定理、余弦定理。
来出求△PMN的边的点来。
以上是用待定系数法求曲线方程的(标准方程)简介,下一讲是用轨迹法求曲方程。
【综合练习】:
1.求下列椭圆的标准方程
(1)与椭圆有相同的焦点,过点
(2)一个焦点为(0,1)长轴和短轴的长度之比为t.
(3)椭圆过点。
2.求下列双曲线的标准方程
(1)一个焦点是(-4,0),一条渐近线是。
(2)是渐近线与准线的交点。
(3)焦点在x轴上的等轴双曲线截直线。
3.求过直线的交点,关于坐标轴对称的抛物线方程。
4.过椭圆的一个焦点作垂直于x轴的直线,交椭圆于M,N两点,Α,B是长轴的两个端点,若。
求椭圆方程。
5.已知双曲线的离心率为2,点为左、右焦点,P为双曲线上的点,,求双曲线的标准方程。
【答案及提示】
1.
(1)
(2)
(3)
2.
(1)提示:
设双曲线方程为
求得:
(2)提示:
若双曲线方程为
则:
若双曲线方程为
则:
所求双曲线方程为
(3)
3.
4.简解:
如图F2(c,0),Α(-Α,0)B(Α,0)MN方程:
x=cM(c,),N(c,)
∠ΑMB可看成是直线ΑM到直线BM的角。
5.
简解:
如上图
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