运筹学课后习题二要点.docx
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运筹学课后习题二要点
习题二
2.1某人根据医嘱,每天需补充A、B、C三种营养,A不少于80单位,B不少于150单位,C不少于180单位.此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分.已知六种食物每百克
的营养成分含量及食物价格如表2-22所示.
(1)试建立此人在满足健康需要的基础上花费
最少的数学模型;
(2)假定有一个厂商计划生产一中药丸,售给此人服用,药丸中包含有
A,B,C三种营养成分•试为厂商制定一个药丸的合理价格,既使此人愿意购买,又使厂商能获得最大利益,建立数学模型.
表2-22
含量
营养成分
食物
*■
*
四
五
六
需要量
A
13
25
14
40
8
11
>80
B
24
9
30
25
12
15
>150
C
18
7
21
34
10
0
>180
食物单价(元/100g)
0.5
0.4
0.8
0.9
0.3
0.2
【解】
(1)设Xj为每天第j种食物的用量,数学模型为
minZ=05jl+Mx2+08z5+09巧+0+02^e
13xj+25xa+14也+4Q码+8码+llx6>80
24咼十+30z3+25z4+12心十15x6>150
1跖+7xa+21x3+34x4+10巧>180
町、孟旷毛、兀r>0
(2)设,y为第i种单位营养的价格,则数学模型为
maxw=SOjj4-150y3+180y5
13^+2472+18^<0.5
25^+9^+?
^<0.4
14”+30兀+21乃<0.8
=40^+25^+34y3<0.9
8^+12^2+10乃<0.3
llyL+15j5+^0.2
必必小工°
2.2写出下列线性规划的对偶问题
minxv-9”+6儿-纨+切+10兀
划1+6旳-些+凡+旳之弋
-2y^2y3=3
7i+»2—丹=6
_6”-旳+2乃二-7
对偶问题为:
2.3考虑线性规划
nunZ二12五+20x2
鼻1+4冷工4
Xj+5xa>2
2西+3xa>7
血,xa>0
(1)说明原问题与对偶问题都有最优解;
⑵通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解;⑶利用公式CbB「1求原问题的最优解;
(4)利用互补松弛条件求原问题的最优解.
【解】
(1)原问题的对偶问题为
”无约東:
儿刘,>0,几兰6^>0
maxvp=4y14-2y2+7”
乃+乃+2乃兰12
空伽+5旳+3必乞20
[yj^Qj=12,3
容易看出原问题和对偶问题都有可行解,女口X=(2,1)、Y=(1,0,1),由定理2.4知都有
最优解。
(2)
对偶问题最优单纯形表为
C(j)
4
2
7
0
0
R.H.S.
Basis
C(i)
y1
y2
A
y4
y5
y3
7
0
-1/5
1
4/5
-1/5
28/5
y1
4
1
7/5
0
-3/5
2/5
4/5
C(j)-Z(j)
0
-11/5
0
-16/5
-1/5
w=42.4
对偶问题的最优解Y=(4/5,0,28/5),由定理2.6,原问题的最优解为X=(16/5,1/5),Z=42.4
(4)由y1、y不等于零知原问题第
三个约束是紧的,解等式
珂+4亏=4
2x}+3x2=7
得到原问题的最优解为X=(16/5,1/5)。
2.4证明下列线性规划问题无最优解
minZ=xL-2x2-2x3
2码+冷一2心=3
证明:
首先看到该问题存在可行解,例如x=(2,1,1),而上述问题的对偶问题为
max神=物+6
2^+^2<1
-2”+3y2=-2
K之0J无约東
由约束条件①②知y1<0,由约束条件③当y2>0知y1>1,对偶问题无可行解,因此原问题也无最优解(无界解)。
2.5已知线性规划
+5x2+码<5
5旺+6心+西兰63&+10光+忌三7內20,花2Q西无约東
【解】其对偶问题是:
minm=5jj4-6y3+7ys
71+5^+3.73>15
羽+6兀+10j3>20
<
7i+ya+?
3=5
XH0由原问题的最优解知,原问题约束③的松弛变量不等于零(X」),X1、X3不等于零,
则对偶问题的约束①、约束③为等式,又由于•:
知y3=0;解方程
儿+”2=15川+乃二5
得到对偶问题的最优解Y=(5/2,5/2,0);w=55/2=27.5
2.6用对偶单纯形法求解下列线性规划
(1)minZ=3x1+4xa+5巧\L+2x2+3
«2xl*2乃+x310如%”為NO
【解】将模型化为
minZ=3xt+4xj+5x3
-x1-2^_3码+為二一2
£_2画_2冷_码+冷=-10丐W1234上
对偶单纯形表:
Cj
3
4
5
0
0
Cb
Xb
Xi
X2
X3
X4
X5
b
0
X4
-1
-2
-3
1
0
-8
0
X5
[-2]
-2
-1
0
1
-10
C(j)-Z(j)
3
4
5
0
0
0
0X4
0
[-1]
—5/2
1
—1/2
—3
3X
1
1
1/2
0
—1/2
5
C(j)-Z(j)
0
1
7/2
0
3/2
0
5X
0
1
5/2
—1
1/2
3
3Xi
1
0
—2
1
—1
2
C(j)-Z(j)
0
0
1
1
1
b列全为非负,
最优解为
x=(2,3,
0);Z=18
(2)minZ=+4叼
+^2>4«2iV]十殆童2
Xj>0,-0
【解】将模型化为
minZ-3码+4x3
_两_问+禺二一4
3
4
0
0
b
Xb
Cb
X1
X2
X3
X4
X3
0
[-1]
-1
1
0
-4
X4
0
2
1
0
1
2
Cj—Zj
3
4
0
0
X1
3
1
1
-1
0
4
X4
0
0
[-1]
2
1
-6
Cj—Zj
0
1
3
0
X1
3
1
0
1
1
-2
X2
4
0
1
-2
-1
6
Cj—Zj
0
0
5
1
出基行系数全部非负,最小比值失效,原问题无可行解。
⑶min7二2西+4x?
2aj+3乜<24
可+2x3>10
Tx+3xj>15
九乃王°
【解】将模型化为
mixkZ二2尊+4巫
I2xl+3x2+x3=24
2奄+些=_1Q
_X]—3花+阳=-15
x.>0J=172,3t<5
Cj
2
4
0
0
0
b
Xb
Cb
Xi
X2
X3
X4
X5
X3
0
2
3
1
0
0
24
X4
0
-1
-2
0
1
0
-10
X5
0
-1
[-3]
0
0
1
-15
Cj—Zj
2
4
0
0
0
X3
0
1
0
1
0
1
9
X4
0
-1/3
0
0
1
—2/3
0
X2
4
1/3
1
0
0
—1/3
5
Cj—Zj
2/3
0
0
0
4/3
最优解X=(0,5);Z=20
(4)minZ-2^+3z2+5^+6z4
xL+2x:
+3陆+x4>2
*_2珂+x2-x3+3x4<-3
x;>OJ=1/-X
【解】将模型化为
minZ=2xl+3x2+5码+6兀
~2x、—3兀3-兀彳+Xj=^2
I-2xj+%-x3+3盂*+坷-_乡亏>0,八1.…,6
Cj
2
3
5
6
0
0
b
Xb
Cb
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X5
0
-1
[-2]
-3
-4
1
0
-2
X6
0
-2
1
-1
3
0
1
-3
Cj—Zj
2
3
5
6
0
0
X2
3
1/2
1
3/2
2
-1/2
0
1
X6
0
-5/2
0
[-5/2]
1
1/2
1
-4
Cj—Zj
1/2
0
1/2
0
3/2
0
X2
3
[-1]
1
0
13/5
-1/5
3/5
-7/5
X3
5
1
0
1
-2/5
-1/5
-2/5
8/5
Cj—Zj
0
0
0
1/5
8/5
1/5
X1
2
1
-1
0
-13/5
1/5
-3/5
7/5
X3
5
0
[1]
1
11/5
-2/5
1/5
1/5
Cj
2
3
5
6
0
0
b
Xb
Cb
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X5
0
-1
-2
-3
-4
1
0
-2
X6
0
[-2]
1
-1
3
0
1
-3
Cj-Zj
2
3
5
6
0
0
X5
0
0
[-5/2]
-5/2
-11/2
1
-1/2
-1/2
X1
2
1
-1/2
1/2
-3/2
0
-1/2
3/2
Cj-Zj
0
2
4
9
0
1
X2
3
0
1
1
11/5
-2/5
1/5
1/5
X1
2
1
0
1
-7/5
-1/5
-2/5
8/5
Cj-Zj
0
0
2
23/5
4/5
3/5
7•某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品A、B、C,有关资料见表2-23.
表2-23
每月可供原材料
(Kg)
A
B
C
产
品
材料消耗
原材料
甲
2
1
1
200
乙
1
2
3
500
丙
2
2
1
600
每件产品利润
4
1
3
(1)怎样安排生产,使利润最大.
(2)若增加1kg原材料甲,总利润增加多少.
(3)设原材料乙的市场价格为1.2元/Kg,若要转卖原材料乙,工厂应至少叫价多少,为什么?
(4)单位产品利润分别在什么范围内变化时,原生产计划不变.
(5)原材料分别单独在什么范围内波动时,仍只生产A和C两种产品.
(6)由于市场的变化,产品B、C的单件利润变为3元和2元,这时应如何调整生产计划.
(7)工厂计划生产新产品D,每件产品D消耗原材料甲、乙、丙分别为2kg,2kg及1kg,
每件产品D应获利多少时才有利于投产.
【解】
(1)设X1、X2、X3分别为产品A、B、C的月生产量,数学模型为
maxZ=4x}+x2+?
也
2码+1心+码<200
+2xa+3xs<500
2两+心+两<600
>0,^>0,^>0
最优单纯形表:
C(j)
4
1
3
0
0
0
R.H.S.
Ratio
Xb
Cb
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X1
4
1
1/5
0
3/5
-1/5
0
20
X3
3
0
3/5
1
-1/5
2/5
0
160
X6
0
0
0
0
-1
0
1
400
C(j)-Z(j)
0
-8/5
0
-9/5
-2/5
0
Z=560
最优解X=(20,0,160),Z=560。
工厂应生产产品A20件,产品C160种,总利润为560丿元。
92n
(2)由最优表可知,影子价格为_■j,故增加利润1.8元。
因为y2=o.4,所以叫价应不少于依据最优表计算得
8
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