历届全国大学生数学竞赛真题与答案非数学类.docx
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历届全国大学生数学竞赛真题与答案非数学类
高数竞赛预赛试题(非数学类)
(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。
)
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题(每小题
5分,共20分)
(xy)ln(1y)
1.计算xdxdy____________,其中区域D由直线xy1与两
D1xy
坐标轴所围成三角形区域.
0
1
解:
令x
yu,xv,则x
xy
dudvdudv,
v,yuv,
dddet
1
1
(xy)ln(1
y)
D
xdxdy
1x
y
ulnuulnvdudv
D1u
1
ulnu
u
u
u
(
u
dv
lnvdv)du
0
1
0
1
u0
1
u2lnu
u(ulnu
u)
0
1
u
1u
du
1u2
du(*)
01u
令t
1u,则
u
1t2
du
2tdt,u2
1
2t2
t4,u(1
u)t2(1t)(1t),
(*)
0
(1
2t2
t
4)dt
2
1
1
2t
31t5
1
2
t4)dt
2t
2(12t
0
0
3
5
2.设f(x)是连续函数,且满足
f(x)
3x2
2
0
f(x)dx
16
15
2,则f(x)____________.
令A
2
3x2
A2,
解:
f(x)dx,则f(x)
0
A
2
A2)dx8
2(A2)4
2A,
(3x2
0
解得A
4
。
因此f(x)3x2
10
。
3
3
.曲面z
x2
y2
2
平行平面
2x2y
z
0
的切平面方程是
__________.
3
2
解:
因平面
2x
2y
z
0
的法向量为(2,2,
1)
,而曲面z
x2
y2
2在
2
(x0,y0)
处的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0,y0),1)
,故
(zx(x0,y0),zy(x0,y0),
1)与(2,2,
1)平行,因此,由zx
x,zy
2y知
2zx(x0,y0)
x0,2zy(x0,y0)
2y0,
即x0
2,y0
1,又z(x0,y0)
z(2,1)
5
,于是曲面2x
2y
z
0在
(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是
2(x
2)
2(y
1)(z
5)
0,即曲面
z
x2
y2
2
平行平面
2
2x
2y
z
0
的切平面方程是
2x2y
z
1
0
。
4.设函数y
y(x)由方程xef(y)
eyln29确定,其中
f具有二阶导数,且
f
1,则
d2y
________________.
dx2
解:
方程xef(y)
ey
ln29的两边对x求导,得
ef(y)
xf(y)yef(y)
eyyln29
因eyln29
xef(y),故
1
f
(y)y
y,即y
1
,因此
x
(y))
x(1
f
d
2y
y
1
f
(y)y
dx2
x2(1
f
(y))
x[1
f(y)]2
f
(y)
1
f
(y)
[1
f(y)]2
x2[1
f(y)]3
x2(1
f(y))
x2[1
f
(y)]3
二、(5分)求极限lim(ex
e2x
enx
e
)x,其中n是给定的正整数.
x
0
n
解:
因
lim(ex
e2x
enx
e
ex
e2x
enx
e
)x
lim(1
n)x
x
0
n
x0
n
故
A
limex
e2x
enx
ne
x
0
n
x
elimex
e2x
nx
enx
n
x0
elimex
2e2x
nenx
e12
n
n1e
x0
n
n
2
因此
lim(e
x
e
2x
e
nxe
eA
n1
e
)x
e2
n
x
0
三、(15分)设函数f(x)连续,g(x)
f(xt)dt,且lim
f(x)
A,A为常数,求g(x)
1
x
0
x
0
并讨论g(x)在x
0处的连续性.
解:
由lim
f(x)
A和函数f(x)连续知,f(0)
limf(x)
lim
xlimf(x)
0
x
0
x
x
0
x0
x0
x
因g(x)
1
g(0)
1
0,
f(xt)dt,故
f(0)dtf(0)
0
0
因此,当x
0
时,
1
x
g(x)
f(u)du,故
x
0
x
f(u)du
f(x)
limg(x)
lim
0
lim
f(0)
0
x0
x
0
x
x0
1
当x0时,
g(x)
1
x
f(x)
2
0
f(u)du
,
x
x
1
x
x
f(t)dt
g(0)limg(x)
g(0)
limx
f(t)dt
limf(x)
A
0
lim
0
x2
x0
lim[
x
x0
x
x0
x02x
2
A
A
limg(x)
1
x
f(u)du
f(x)]
limf(x)
lim1
f(u)du
A
x
x0
x0
x2
0
x
x0
x
x0x2
0
2
2
这表明g(x)在x
0
处连续.
四、(15分)已知平面区域D
{(
x,y)|0
x
0y
},L为D的正向边界,试证:
(1)
xesinydy
yesinxdx
xesinydy
yesinxdx;
L
L
(2)
xesinydy
yesinydx
5
2.
L
2
证:
因被积函数的偏导数连续在
D上连续,故由格林公式知
(1)
siny
sinx
siny
ye
sinx
xy
xe
dy
ye
dx
x
(xe
)
(
)dd
L
D
y
(esiny
esinx)dxdy
D
xesinydy
yesinxdx
L
(xesiny)
(
yesinx)dxdy
D
x
y
(esiny
esinx)dxdy
D
而D关于x和y是对称的,即知
(esiny
esinx)dxdy
(esiny
esinx)dxdy
D
D
因此
xesinydy
yesinxdx
xesinydy
yesinxdx
L
L
(2)因
et
et
2(1
t2
t4
)
2(1t2)
2!
4!
故
esinx
esinx
2
sin2x
2
1
cos2x
5
cos2x
2
2
由
xesinydy
yesinydx
(esiny
esinx)dxdy
(esiny
esinx)dxdy
L
D
D
知
xesinydy
yesinydx
1
(esiny
esinx)dxdy
1
(esiny
esinx)dxdy
L
2D
2D
1
(esiny
esiny)dxdy
1
(esinx
esinx)dxdy
(esinx
esinx)dxdy
2D
2D
D
(esinx
esinx)dx
5
cos2xdx
5
2
0
0
2
2
即
xesiyndyyesiyndx
52
L
2
五、(10分)已知y
xex
e2x,y
2
xex
ex
,
y3
xe
x
e
2x
e
x
是某二阶常系数
1
线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.
解设y1
xex
e2x,y2
xex
ex,y3
xex
e2x
ex是二阶常系数线性非齐
次微分方程
ybycyf(x)
的三个解,则y2y1
ex
e2x和y3
y1
ex都是二阶常系数线性齐次微分方程
y
by
cy
0
的解,因此y
by
cy
0的特征多项式是(
2)(
1)0,而y
by
cy0的特
征多项式是
2
b
c
0
因此二阶常系数线性齐次微分方程为
y
y
2y
0,由y
y
1
2y
1
f(x)和
1
y1
ex
xex
2e2x,y1
2ex
xex
4e2x
知,f(x)y1
y1
2y1
xex
2ex
4e2x
(xex
ex
2e2x)2(xex
e2x)
(1
2x)ex
二阶常系数线性非齐次微分方程为
yy2yex2xex
六、(10
分)设抛物线y
ax2
bx
2lnc过原点.当0x
1时,y
0,又已知该抛物线
与x轴及直线x
1所围图形的面积为
1
x轴旋转一周而成的旋
.试确定a,b,c,使此图形绕
3
转体的体积最小.
解因抛物线yax2
bx
2lnc过原点,故c1,于是
1
1
1
bx)dt
ax3
bx2
a
b
(ax2
3
0
3
2
0
3
2
即
b2(1a)
3
而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积
V(a)
1
2
bx)2dt
1
2
2(1
a)x)2dt
(ax
(ax
0
0
3
a
2
1
4
dt
4
a(1
1
3
dt
4
a)
2
1
2
dt
x
3
a)x
(1
x
0
0
9
0
1
a2
1a(1
a)
4
(1
a)2
5
3
27
即
V(a)
1
a2
1a(1a)
4(1a)2
5
3
27
令
V(a)
2
a
1(12a)
8(1a)0,
5
3
27
得
54a4590a4040a0
即
4a50
因此
a
5
b
3
c1.
4
2
七、(15
分)已知un(x)满足un(x)un(x)
xn1ex(n1,2,),且un
(1)
e,求函数项
n
级数
un(x)之和.
n1
解
un(x)un(x)xn1ex,
即
yyxn1ex
由一阶线性非齐次微分方程公式知
yex(Cxn1dx)
即
n
xx
ye(C)
因此
un(x)
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