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知识讲解空间直角坐标系提高
空间直角坐标系
【学习目标】
通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置•通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式•
【要点梳理】
要点一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
从空间某一定点0引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,这样就建立了空间直角坐标系Oxyz,点
0叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别是xOy平
面、yOz平面、zOx平面•
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的
正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系
3.空间点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组(x,y,z)来表示,有序数组(x,y,z)叫做点A的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.
要点二、空间直角坐标系中点的坐标
1.空间直角坐标系中点的坐标的求法
通过该点,作两条轴所确定平面的平行平面,此平面交另一轴于一点,交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.
特殊点的坐标:
原点0,0,0;x,y,z轴上的点的坐标分别为x,0,0,0,y,0,0,0,z;坐标平面
xOy,yOz,xOz上的点的坐标分别为x,y,0,0,y,z,x,0,z.
2.空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中,点Px,y,z,则有
点P关于原点的对称点是p(―x,-y,—z);
点P关于横轴(x轴)的对称点是p,x,-y,-z;
点P关于纵轴(y轴)的对称点是F3-x,y,-z;
点P关于竖轴(z轴)的对称点是r(_x,—y,z);
点P关于坐标平面xOy的对称点是P-x,y,-z;
点P关于坐标平面yOz的对称点是P6-x,y,z;
点P关于坐标平面xOz的对称点是P7x,-y,z.
要点三、空间两点间距离公式
1.空间两点间距离公式
空间中有两点Axi,yi,Zi,BX2,y2,Z2,则此两点间的距离
d=|AB\=.(X1~X2)(yi~■y2)(Z1~'Z2)•
特别地,点Ax,y,z与原点间的距离公式为OA=xy-z.
2.空间线段中点坐标
空间中有两点
Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2,则线段AB的中点C的坐标为
%+y2乙+Z2■
2,2_
【典型例题】
类型一:
空间坐标系
例1.画一个正方体ABCD—A1B1C1D1,以A为坐标原点,以棱AB、AD、AA1所在直线为坐标轴,取正方体的棱长为单位长度,建立空间直角坐标系。
(1)求各顶点的坐标;
(2)求棱C1C中点的坐标;
(3)求平面AA1B1B对角线交点的坐标。
【答案】
(1)略
(2)1,1,丄(3)丄,0,丄
I2丿辽2丿
【解析】如图所示,由棱长为1,可得
(1)
■E
各顶点坐标分别是A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0)、D(0,1,0)、A1(0,0,1)、B1(1,0,1)、C1(1,1,1)、D1(0,1,1);
(1)
(2)棱CC1中点为M1,1-;
I2丿
…、、『11)
(3)平面AA1B1B对角线交点为N—,0,-
122丿
p&+x24+Z2]
.2,2,2。
(2)
X
熟记坐标轴上点的坐标和坐标平面上点的坐标表示的特征。
举一反三:
【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中,OABC—D1A1B1C1是单位正方体,N
是BB1的中点,求这个单位正方体各顶点和点N的坐标.
【答案】O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,
1
1),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),N(1,1,)。
2
例2.在平面直角坐标系中,点P(x,y)的几种特殊的对称点的坐标如下:
(1)关于原点的对称点是p/(—x,—y);
(2)关于x轴的对称点是P"(x,—y);
(3)关于y轴的对称点是P'''(—x,y).
那么,在空间直角坐标系内,点P(x,y,z)的几种特殊的对称点坐标为:
1关于原点的对称点是P1;
2关于横轴(x轴)的对称点是P2;
③关于纵轴(y轴)的对称点是
P3
;
④关于竖轴(z轴)的对称点是
P4
;
⑤关于xOy坐标平面的对称点是
P5
;
⑥关于yOz坐标平面的对称点是
P6
;
⑦关于zOx坐标平面的对称点是
P7
【答案】①(—X,—y,—z)x,—y,—z)③(—x,y,—z)④(—x,-y,z)
⑤(x,y,—z)⑥(一x,y,z)炉(x,—y,z)
【解析】类比平面直角坐标系,在空间直角坐标系有如下
结论:
①Pi(—x,—y,—z尢②P2(x,—y,—z);③P3(—x,y,—z兀④P4(—x,—y,z);⑤P5(x,y,—z);⑥P6(—x,y,z);⑦P7(x,—y,z).
【总结升华】上述结论的证明,可类比平面直角坐标系的方法加以证明:
如P点关于原点的对称点Pi,
则有PPi的中点为原点。
由中点坐标公式即可求出Pi点坐标.
上述结论的记忆方法:
“关于谁对称谁不变,其余的相反”,如关于x轴对称的点,横坐标不变,纵、竖坐标变为原来的相反数;关于xoy坐标平面对称的点,横、纵坐标不变,竖坐标相反.
举一反三:
【变式11
(1)在空间直角坐标系中,点P(—2,1,4)关于x轴对称的点的坐标是().
A.(—2,1,—4)B.(—2,—1,—4)
(2)在空间直角坐标系中,点P(—2,1,4)
A.(—2,1,—4)B.(—2,—I,—4)
【答案】
(1)B
(2)A
类型二:
两点间的距离公式
例3•如图所示,在长方体OABC—O1A1B1C1中过点O作OD丄AC于D,求点01到点D的距离。
【答案】亠286
C.(2,—1,4)D.(2,1,—4)关于xOy平面对称的点的坐标是().
C.(2,—1,4)D.(2,1,—4)
13
设D(x,y,0)。
在Rt△AOC中,
如右图,过点D分别作DM丄OA于M,DN丄OC于N,贝URt△ODA与Rt△OMD
相似,
36
可得|OM|
-||,T|OM|-x,•••|OD|2=x•|OA|,•
18
|OD|
|OA|
2
13
同样的,利用RtAODC与Rt△ODN相似,
【总结升华】若原题目中没有建立坐标系,要注意根据几何图形建立合适的坐标系,原则是尽可能多
的点在坐标轴或坐标平面上。
举一反三:
【变式1】在长方体ABCD—AiBiCiDi中,AB=AD=6,AA!
=4,点M在AiCi上,|MC!
|=2|AiMi|,N在CiD上且为CiD的中点,求M、N两点间的距离.
【答案】
M、N两点间的距离为,2io
【变式2】
已知两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2),点P在z轴上,若|PA|=|PB|,求点P的坐标.
例4.在正方体ABCD—AiBiCiDi中,P为平面AiBiCiDi的中心,求证:
PA丄PBi.
【解析】如图,建立空间直角坐标系D-xyz,设棱长为1,则A(1,0,0),Bi(1,1,1),P〕」,1j,
122丿
由两点间的距离公式得
分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、
0),
M、N
b2
AM,2a2b2c2
|AN|二
2,|AB1^-'12-12^-;2
2
222
•/|AP|+|PBi|=|ABi|=2,•••AP丄PBi.
【总结升华】本例的求解方法尽管很多,但利用坐标法求解,应该说是既简捷又易行,方法的对照
比较,也更体现出了坐标法解题的优越性.
依据题中的垂直关系,建立恰当的坐标系,禾U用空间中两点问的距离公式可以求距离、证垂直、求举一反三:
【变式1】如右图所示,已知PA丄平面ABCD,平面ABCD为矩形,分别是AB、PC的中点,求证:
MN丄AB。
【答案】如图所示,以A为坐标原点,
y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),设B(a,0,0),D(0,b,
aabc
P(0,0,c),因为M、N分别是AB、PC的中点,所以MJ0),N窕,c
2
方法一:
连接AN,在△AMN中,有|AM|2二邑,|MN|2
4
,所以|AN|2=|MN|2+|AM|2,所以MN丄AB。
MN丄AB。
ABEF,点M在AC上移动,点N
|AN|=|BN|,所以△ABN为等腰三角形,又M为底边AB的中点,所以例5.正方形ABCD,ABEF的边长都是1,并且平面ABCD丄平面
在BF上移动。
若|CM|=|BN|=a(0:
a•2)。
(1)求MN的长度;
(2)当a为何值时,MN的长度最短。
【答案】
(1)■.a2-•一2a1
(2)
【解析】因为平面ABCD丄平面ABEF,且交线为AB,BE丄AB,所以BE丄平面ABCD,所以BA,BC,BE两两垂直。
取B为坐标原点,过BA,BE,BC的直线分别为x轴,y轴和z轴,建立如图4-3-12所示的空间直角坐标系。
因为|BC|=1,|CM|=a,且点M在坐标平面xBz内且在正方形ABCD的对角线上,所以点
|BN|=a,所以点N—a^-a,0。
I22丿
(1)由空间两点间的距离公式,得
即MN的长度为.a-.2a1。
(2)由
(1)得|MN;a2-•2a1二
(满足0:
:
:
a:
:
:
)时,
\(42^1、一一、血
ja+—取得最小值,即MN的长度最短,最短为—。
叽2丿22
【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线,因此采用了建立空间直角坐标系,把几何问题
转化为代数问题的方法求解,利用空间两点间的距离公式求得MN的长度,并利用二次函数求MN的最小
值。
举一反三:
【变式1】正方体ABCD-ABCD的棱长为1,M为AC的中点,点N在DD上运动,求|MN|的最小值.
-11
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系•由题意可知点M的坐标为(丄,,0),由于点N在z轴上,
22
故设N的坐标为(0,0,z),由两点间的距离公式可得:
|MN|=11z2
\44
.要使|MN|最小,只需
z=0,
|MN|有最小值为
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