椭圆性质92条及其证明.docx
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椭圆性质92条及其证明
椭圆
x2y2PF
1.PF1PF22a2.标准方程x2y213.PF1e1
abd1
4.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
5.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
8.设A1、A2为椭圆的左、右顶点,则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆,必与A1A2所在的直线切于A2(或A1).x2y2
9.椭圆221(a>b>0)的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点ab
22
的轨迹方程是x2y21.
a2b2
22
10.若P0(x0,y0)在椭圆x2y21上,则过P0的椭圆的切线方程是x02xy02y1.
abab
22
xy
11.若P0(x0,y0)在椭圆221外,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是
ab
x0xy02y1b
12.
22
xy
AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则kOMkABab
22
x2y21内,则被Po所平分的中点弦的方程是ab
22
x2y21内,则过Po的弦中点的轨迹方程是ab
y21
PQ是椭圆221(a>b>0)上对中心张直角的弦,则2
a2b2r12
22xy
16.若椭圆221(a>b>0)上中心张直角的弦
a2b2
13.
14.
15.
P0(x0,y0)在椭圆
P0(x0,y0)在椭圆
x2
x0x
2
a
2ax22a
1
2
r2
2
y
b2
1
a2
L所在直线方程为
2a4A2b4B2L
2222a2A2b2B2
b2.
2.
a
22
x0y0
22
ab
y0y
b2
x0xy0y
a2b2.ab
1
2(r1|OP|,r2|OQ|).b
1122
AxBy1(AB0),则
(1)22A2B2;
(2)
ab
C2:
b2x2a2y2
17.给定椭圆C1:
b2x2a2y2a2b2(a>b>0),
22
ab2
(22ab)2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),
ab
a2b2
它的任一直角弦必须经过C2上一定点M(aa2bb2
x0,
22
aby)
22y0).ab
(ii)对C2上任一点P(x0,y0)在C1上存在唯一的点M',使得M'的任一直角弦都经过
22
18.设P(x0,y0)为椭圆(或圆)C:
x2y21(a>0,.b>0)上一点,P1P2为曲线
ab
P'点.
C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在,记为
1m
k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,my0)(m1)的充要条件是k1k21m
b2.
2.
a
22
xy
19.过椭圆221(a>0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定
ab
向且kBCb2x0(常数).
2ay0x220.椭圆22ab
y1(a>b>0)的左右焦点分别为
F1,F2,点P为椭圆上任意一点F1PF2,则椭圆的焦点三角形的
面积为SF1PF2b2tan,P(ac2b2tan2
F1PF22c2
1PF2
b2tan).
c2
21.若P为椭圆x2y21(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,PF1F2,PF2F1,则
ab
ac
tantan.
ac2222xy
22.椭圆221(a>b>0)的焦半径公式:
|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0),F2(c,0),M(x0,y0)).ab
22
23.若椭圆x2y21(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当a2b2
21e1时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
22
24.P为椭圆x2y21(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF2|,ab
当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立.
22222
椭圆x2y21(a>b>0)上存在两点关于直线l:
yk(xx0)对称的充要条件是x02(a2b2)2.
ababk
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直
xacos
P是椭圆(a>b>0)上一点,则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是
ybsin
22设A,B为椭圆x2y2k(k0,k1)上两点,其直线AB与椭圆ab
22xy
30.在椭圆221中,定长为2m
ab
25.
26.
27.
28.
29.
22
xy
2
a
21
e1sin2
o 21相交于P,Q,则APBQ.b 1(a2b2) a2b2 22 x2y2 2222 acosbsin,其中 bx tan,当y0时,90. ay 22 xy 31.设S为椭圆221(a>b>0) ab 的通径,定长线段L的两端点 A,B 在椭圆上移动,记|AB|=l,M(x0,y0)是AB 中点,则当l S时,有(x0)max c2le(c2a2b2,eca);当lS时,有(x0)max2ab4b2l2,(x0)min0. 2y21与直线AxByC0有公共点的充要条件是A2a2B2b2C2. ab2233.椭圆(x2x0)(y2y0)1与直线AxByC0有公共点的充要条件是A2a2B2b2(Ax0By0C)2.b 2 x32.椭圆2 2a22xy 34.设椭圆221(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记F1PF2a2b2 PF1F2,F1F2P,则有since. 1212sinsina 35.经过椭圆b2x2a2y2a2b2(a>b>0)的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于|P1A1||P2A2|b2. 22 xy 36.已知椭圆221(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OPOQ(.1)ab P1和P2,则 2)|OP|2+|OQ|2的最小值为42ab2;(3)SOPQ的最小值是 22 ab 22. ab a2b 37.MN是经过椭圆b2x2a2y2a2b2(a>b>0)焦点的任一弦,若|AB|22a|MN|. 38.MN是经过椭圆b2x2a2y2a2b2(a>b>0)焦点的任一弦,若过椭圆中心2111. a|MN||OP2|a22b AB是经过椭圆中心 11 22|OP|2|OQ|2 O且平行于MN O的半弦OP a12b12; 的弦,则 MN,则 39.设椭圆221(a>b>0),M(m,o)或(o,m)为其对称轴上除中心,顶点外的任一点,过M引一条直线与椭圆相交 ab a2b2 于P、Q两点,则直线A1P、A2Q(A1,A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线l: x(或y)上. mm AP和AQ分别交相应于焦点F的椭 40.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结圆准线于M、N两点,则MF⊥NF. 41.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,于点N,则MF⊥NF. 22 xy 42.设椭圆方程221,则斜率为k(k≠0的)平行弦的中点必在直线l: ykx的共轭直线ykx上,而且kkab A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交 b2 2.a 22 xy 43.设A、B、C、D为椭圆221上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为,,直线AB与CD相交于 a2b2 b2cos2a2sin2 2222. bcosasin P,且P不 PA PB PC PD 2 2 x y22 2a b2 在椭圆上,则 44.已知椭圆 1(a>b>0),点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点, F1PF2的外(内)角平分线为l ,作F1、 F2分别垂直l于R、S, 当P跑遍整个椭圆时,R、S形成的轨迹方程是x2y2 22a2y2b2xxc(c2y2 45.设△ABC内接于椭圆,且AB为的直径,l为AB的共轭直径所在的直线,为l上一点,则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点. 22 46.过椭圆x2y21 ab |PF|e. |MN|2. a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点, 47.设A(x1,y1)是椭圆 22 x2y21(a>b>0)上任一点,过A作一条斜率为ab a2y2b2xc l分别交直线AC、BC于E和F,又D 弦MN的垂直平分线交x轴于P,则 b2x1的直线 ay1 L,又设d是原点到直线L 的距离,r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离,则r1r2dab. 22 xy 和22(01),一直线顺次与它们相交于 ab 48.已知椭圆 2 x 2 a 2 b21 a>b>0) A、B、C、D四点,则 AB│=|CD│ 49.已知椭圆 2 x2y a2b2 2 1 22 ab 22 ab a>b>0) A、B、是椭圆上的两点,线段 AB的垂直平分线与 x轴相交于点P(x0,0),则 x0 a 2 x 50.设P点是椭圆2 a2 2b22 . (2)SPF1F2b2tan2. 2 by221( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2,则 (1)|PF1||PF2|1cos 51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点,A为椭圆长轴的左顶点,连结22 应于过H点的直线MN: xn于M,N两点,则MBN90amanm AP和AQ分别交相 am b2(na)2 22xy 52.L是经过椭圆221(a>b>0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线,ab 若EPF,则是锐角且sine或arcsine(当且仅当|PH|b时取等号). 22 xy 53.L是椭圆221(a>b>0)的准线,A、B是椭圆的长轴两顶点,点PL,e是离心率,a2b2 E、F是椭圆两个焦点, e是离心率,点PL, EPF,H是L 与X轴的交点c是半焦距,则是锐角且sine或arcsine(当且仅当|PH| ab 时取等号) 54.L是椭圆221(a>b>0)的准线,E、F是两个焦点,H是L与x轴的交点,点PL,EPF,离心率 ab 为e,半焦距为c,则为锐角且sine2或arcsine2(当且仅当|PH|ba2c2时取等号). c 22 xy 55.已知椭圆221(a>b>0),直线 ab L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点,将A、B与椭圆左焦点F1 连结起来,则b2|F1A||F1B| (2a2b2)2 a2 当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号,当且仅当A、F1、B三点共线时 左边不等式取等号) 22 56.设A、B是椭圆x2y21(ab a>b>0) 的长轴两端点,P是椭圆上的一点,PAB,PBA,BPA, c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有 222 2ab|cos|22ab (1)|PA|222. (2)tantan1e.(3)SPAB22cot.accosba 22 57.设A、B是椭圆x2y21(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点,且xA、xB的横坐标xAxBa,a2b2 (1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点,则PBAQBA; (2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点, 则PABQAB180. 22 58.设A、B是椭圆x2y21(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点),外部的两点, (1)若过A点引直线与ab 这椭圆相交于P、Q两点,(若BP交椭圆于两点,则P、Q不关于x轴对称),且PBAQBA,则点A、B的横坐标 2P、Q两点,且PABQAB180,则点A、B的横坐标满 xA、 xB满足xAxBa足xAxBa. ; (2)若过B点引直线与这椭圆相交于 59.设A,A'是椭圆 22 xy'' 21的长轴的两个端点,QQ'是与AA'垂直的弦,b2 a2 则直线AQ与AQ''的交点P的轨迹是双曲线 22 x22y221 22ab 22 60.过椭圆x2y a 2 b21 261.到椭圆x2y21(abx2y262.到椭圆x2ya a>b>0)的左焦点F作互相垂直的两条弦 AB、 222 CD则82ab2|AB||CD|2(ab) aba ac a>b>0)两焦点的距离之比等于(c为半焦距) b 的动点M的轨迹是姊妹圆(xa)2y2b2. a>b>0)的长轴两端点的距离之比等于 ac(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆b b21a22b2 (xa)2y2(b)2.eex2y263.到椭圆x2y21ab (xa2)2y2(b2)2(e为离心率). ee 22 xy''' 64.已知P是椭圆221(a>b>0)上一个动点,A',A是它长轴的两个端点,且AQAP,AQ'A'P,则Q点的 a2b2 x2b2y2 轨迹方程是x2by41. a2a4 65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项. 222 xy'bx1' 66.设椭圆221(a>b>0)长轴的端点为A,A',P(x1,y1)是椭圆上的点过P作斜率为21的直线l,过A,A'分 abay1 '''2'' 别作垂直于长轴的直线交l于M,M',则 (1)|AM||A'M'|b2. (2)四边形MAA'M'面积的最小值是2ab.22 67.已知椭圆x2y21(a>b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,ab ac a>b>0)的两准线和x轴的交点的距离之比为(c为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆 b 点C在右准线l上,且BC//x轴,则直线AC经过线段EF的中点.68.OA、OB是椭圆(x2a) a 2y 21(a>0,b>0)的两条互相垂直的弦,b2 O为坐标原点,则 (1)直线AB必经过一个 定点(22ab2,0). (2)以OA、ab ab2ab2 OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是(x2ab2)2y2(2ab2)2(x0). abab 2y 221(a>b>0)上一个定点,PA、PB是互相垂直的弦,则 (1)直线AB必经过一个定ab n(b2a2)). (2)以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是 ab 224222bn2a[bn(ab)]22)222(xm且yn). a2b2(a2b2)2 70.如果一个椭圆短半轴长为b,焦点F1、F2到直线L的距离分别为d1、d2,那么 (1)d1d2b2,且F1、F2在L同侧直线L和椭圆相切. (2)d1d2b2,且F1、F2在L同侧直线L和椭圆相离,(3)d1d2b2,或F1、F2在L异侧直 线L和椭圆相交. 22xy 71.AB是椭圆221(a>b>0)的长轴,N是椭圆上的动点,过N的切线与过A、B的切线交于C、D两点,则ab (xa)2 69.P(m,n)是椭圆 点2ab2m(a2b2) 点( 22 ab ab2a2m2 (x22)2(y ab x24y2 梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x24y21(y0).a2b2 2222 xyxy 72.设点P(x0,y0)为椭圆221(a>b>0)的内部一定点,AB是椭圆22 abab 222222ab(ay0bx0).当弦AB垂直于长轴所在直线时 1过定点P(x0,y0)的任一弦,当 弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时(|PA||PB|)max b2 (|PA||PB|)minab(ay0bx0) 2 a 73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c. 76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 78.椭圆焦三角形中 79.椭圆焦三角形中 80.椭圆焦三角形中 81.椭圆焦三角形中 82.椭圆焦三角形中 83.椭圆焦三角形中 84.椭圆焦三角形中圆的切点. 85.椭圆焦三角形中 86.椭圆焦三角形中 87.椭圆焦三角形中 88.椭圆焦三角形中 2 xy e(离心率).(注: 在椭圆焦三角形中,非焦顶 .) 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长. 垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的 非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线. 过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点. 2bb )上有一点P,过点P分别作直线ybx及ybx的平行线,与x轴 aa 222222 |OM|2|ON|22a2; (2)|OQ|2|OR|22b2. b bx的平行线,分别交x轴于M,N,交y轴于R,Q. (1)若a 2 y21(a0,b0). (2)若|OQ|2|OR|22b2,则P的轨迹方程是b 89.已知椭圆221(a0,b0)(包括圆在内 ab 于M,N,与y轴交于R,Q.,O为原点,则: b 90.过平面上的P点作直线l1: ybx及 a 1) l2: y e. |OM|2|ON|22a2,则P的轨迹方程是 2 x 2 a 22xy 221(a0,b0).a2b2 91.点P为椭圆x2y21(a0,b0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过P引x轴、y轴的平行线,交y轴、ab bab x轴于M,N,交直线ybx于Q,R,记OMQ与ONR的面积为S1,S2,则: S1S2ab. a2 92.点P为第一象限内一点,过P引x轴、y轴的平行线,交y轴、x轴于M,N,交直线ybx于Q,R,记OMQ 22 a abxy 与ONR的面积为S1,S2,已知S1S2,则P的轨迹方程是221(a0,b0). 2ab 椭圆性质92条证明 1.椭圆第一定义。 2.由定义即可得椭圆标准方程。 3.椭圆第二定义。 y0 22222bx0ay0bx0c 22x0y0acy0bx0y0 2a 的斜率为k,PF1所在直线l1斜率为k1, a2b2b
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- 椭圆 性质 92 及其 证明