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1引言
函数的幕级数展开在高等数学中有着重耍的地位,在研究泵级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数,因为泰勒级数在幕级数的展开屮有着重要的地位。
一般情况,我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幕级数的展开,几乎不用积分型余项来讨论,今天我们的研究中就有着充分的体现。
2泰勒级数
泰勒定理指出:
若函数/在点兀。
的某个邻域内存在直至斤阶的连续导数,则
/(x)=/(x0)+/(x0)(x-x0)+/(xQ)^X
=广“+1)[兀+0(兀_观卄(]_0)〃(兀_观)
这里心(兀)=。
((兀-兀)〃)称为皮亚诺型余项。
如果增加条件“/(X)有H+1阶连续导数”,那么心(0还可以写成三种形式
(柯西余项)(积分型余项)
如果在
(1)中抹去余项心(X),那么在兀。
附近/可用
(1)式中右边的多项式来近似代替。
如果函数/在兀=兀0处有任意阶的导数,这吋称形式为:
的级数为函数/在x0的泰勒级数,对于级数
(2)是否能够在X。
附近确切地表达/,或说/在心泰勒级数在心附近的和函数是否就是/,这是我们现在耍讨论的问题。
下面我们先看一个例子:
例1山由于函数
/(%)=\八,心°,
〔0,x=0,
在x=x0处的任何阶导数都为0,即/叫0)=0/=1,2,…,所以/在x=0处的泰勒级数为:
CC02.0“
0+0•XHX+X+…,
2!
nl
显然,它在(-oo,+oo)上收敛,且其和函数S(X)=0,由此看到对一切*0都有
/(x)hS(x),
这说明具有任意阶导数的函数,其泰勒级数并不是都收敛于函数本身,只有
limRn(x)=0
HT8
时才能够。
在实际应用上主要讨论在勺=0的展开式。
这时
(2)也可以写成
刑)+以乩+皿宀…+创乩"+…,
1!
2!
/1!
称为麦克劳林级数。
3函数的幕级数展开与技巧
3.1-般的泰勒展开法(直接展开法)
我们主要通过例题來表现幕级数的展开与技巧:
首先用直接展开法讨论初等函数的幕级数展开形式。
通常有三种展开思路:
1、统--用柯西余项来估计余项R„(%);2、统一用积分余项来估计余项R”(x);3、柯西余项(或积分余项)结合拉格朗口余项來估计余项心(对。
本文采用第二种思路。
例2求k次多项式
f(x)=c()+cm+c2x2+—卜ckxk,(kwN)
的展开式。
解:
由于
(77T8);
=C()++•••+$•¥«,
即多项式函数的幕级数展开就是它本身。
例3求函数f(x)=ex的展开式。
解:
因为
严)&)=『,/叫0)=1(21,2,…),
Vxe(―汽+°°)有
从而
xe(一汽+8)o
—1121„
e=1—xH—x+•…—x+•••,
1!
2!
nl
例4求函数/(%)=sinx的展开式。
解:
由于
/叫x)=sin,n=1,2,••-,
<2>
Vxg
(—+°°)有
恥2丄Vf(n+i)(t)(x-t)ndt
<+£Vsin(f+兀)(%-t)"dt
所以/(x)=sinx在(-oo,+8)内能展开为麦克劳林级数:
r3r52〃-1
•儿儿/八〃+1久
sinX=X+—+…+(—1)77+•••
3!
5!
(2/7-1)!
同样可证(更简单的方法是对上面sinx的展开式逐项求导):
COSX=
例5川求函数/(x)=ln(l+x)的展开式。
解:
注意到,函数/(x)=ln(l+x)的各阶导数是
.严(曲廿絆
从而
/W(O)=(-lf1(n-l)!
&(珂=2[/网⑴(XT)"力
n\J°
1
exfT
exx—t
1
1(—1)"•〃!
(1+r)(x_t)ndt
=
(-—r
dt
n\
Jo
Jo1+x
1+(
注意到,当re[O,x]或[兀,0]时,口不变符号且关于变量/单调,因此|口|总是
1+/|l+r|
在1=0时取最大值卜从而
Rn(x)<[x"—^—dt=xnln(l+x)T0,(〃t8);
J()]+r
所以/的麦克劳林级数是
r2r34”
/(x)=ln(l+无)r-手+专-才+…+(-1)冷+…,(3)
用比式判断法容易求得⑶的收敛半径R=l,且当x=l吋收敛,x=-l吋发散,故级数域(-1,1]o
将⑶式屮兀换成兀-1就得到函数/(x)=lnx在x=1处的泰勒展开式:
1论)=(兀-1)-匕厶+匕丄+・・・+(-1「匕・+...,
它的收敛域为(0,2]o
例6讨论:
二项式函数y(x)=(i+xf展开式。
解:
当加为正整数时,有二项式定理直接展开得到/的展开式,这已经在前面例2中讨论过了。
下面讨论加不等于正整数时的情形,这时:
严)(兀)=加(用一1)…(加一n+l)(l+x)"L",〃=1,2,…,
广"(0)=+1),〃=1,2,•…;
于是/(兀)的麦克劳林级数是
n\
(1+兀)=1+加+'-*+・・•+——疋+….,⑷
2!
运用比式判别法可得(4)的收敛半径R"
设血gN*(由二项式定理易证meN*的情形),Vxg(-1,1)有
BI
j{n+x\t\x-tydt
n\
n\
[(1+0心力
=+『(:
m(m-!
)•••(/?
?
-/?
)(!
+丫卄'(x一/)"dt
(7
2!
2⑵o”一1)…(加一h+1)〃
x"+x+…,
n\
对于收敛区间端点的情形,它与加的取值有关,其结果如下:
当加51时,收敛域为(-1,1);当-l
mm
7=7=i+r24v44xlv6+-'(-u]
(9)
趋于0,因此
limRn(x)=0o
"T8
收敛域为[-1,1];在(5)式中,令m=-l就得到
——=l-x+x12+•••+(—1)X+•••,(—1,1),
1+兀
当—吋,得到
例7以孫与-辟分别代入⑹⑺得到
—1^=1兀2“口),(8)
1+JC
对于⑻(9)分别逐项可积,可得函数arctanx与arcsin兀的展开式
Ldt
arctanx=7
Jo1+r
[一1川,
十兰+兰+…+(_1)"兰
35v72川+1
arcsinx
=[x^L=
Jo
(2/7-1)!
!
严
+…+(2町!
!
2卄1十…
这说明,熟悉某些初等函数的展开式,对于一些函数的幕级数展开是极为方便的,
、/?
+i
x
n+1^3>
特别是上面介绍的基本初等函数的结果,对于用间接方法求幕级数展开式特别有用。
3.2通过变形、转换、利用已知的展开式
例8将函数f(x)=ln(x+4兀+3)展开式兀的幕级数并指出收敛半径。
分析:
将卅)变为ln(l+兀)的形式。
解:
因为
/(x)=In(%2+4x+3)
=ln(3+x)(l+x)=ln(3+x)+ln(l+x)
yY
=ln31+—+In(l+x)=ln3+ln1+—+ln(l+x)
g1
=ln3+£(-l)〃
n=0
8111
」3+歌-1)"荷•亍宀R"
例9求y=4^的麦克劳林展开式(至含{的项)。
解:
由于
(3)“+*¥『+•••+—宀…'
y=y/1—x2
=1+*(-疋)+黑(*-1)(-扌『+拮Gj)(*-2)(一砂+…十丄兀J宀丄八…
2816
解:
由COSX的展开式得
3.3利用逐项积分方法
例11⑵将函数/(x)=ln(x+7i77)展开成兀的幕级数,并求其收敛区间。
分析:
该题可化为ln(l+x)的形式展开,但这样的展开式中变成』7丁的幕次,而不是兀的幕次,我们知道:
ln(x+J1+兀2)=,,
L'丿」
将展开再积分就方便了。
Vi?
?
解:
因为
f(x)=I"ln[x+V1+%]=/",
L'丿」Vl+x2
而
宀=(1+"戶,
(无+Jl+X")=兀一
In
UI+jt
显然有un>un+i且limwn=0,依莱布尼茨判别法知:
当兀=±1时,级数收敛,
9HT8
因此收敛区间为[-1,1]。
3.4逐项微分法
分析:
先展开,再逐项微分。
解:
因为
n\
2!
注意到/(0)=1,所以
cosx-l_W/1\〃
)(2^!
XE(一8,+8),
解:
因为
d
dx
12〃—12n-2
2(2a?
)!
cosx-1
2x
8
n-1
所以
注:
值得注意的是逐项积分法或逐项微分法,常常在区间内部进行,但并不是绝对的,这里就不再证明了。
3.5待定系数法
例14国求下列函数的幕级数展开。
ln(x+a/I+x2)
(1)J—
(2)
xsina
1-2xcos6Z+x2
解:
⑴设
In(x+Vl+x*|8
y二厂u》anx,},
\1+Xn=0
因为
]
l+x2
lnlx+Vl+x2)
1一兀一L
a/1+x2
所以(l+x2)y=l-xy,故
(1+F)£antvcn-]=1-送anxnAJ=I?
J=()
oo
4+2吋+E[色+lS+1)+an-lS-1)]兀"
n=2
co
=\-a{}x-^an_xxH,
w=0
比较系数得:
3如+%=-aA,4a4+2a2=-a2,..
由y(0)=0=>a()=0‘得:
2_24_/1V(2/t)!
!
3,分亍丁…,%严(7
^Z(-T
n=0
(2町!
!
严
(2/2+1)!
!
-1 从而 ⑵设 xsina l-2xcos(^+x2 二E, /? =() 8 xsina=(1-2xcosa+x2)" n=0 23 =d。 十axx+a2x十他才H—— 一(2勺・cosa)x-(2®cos^z)x2~(2a2cos^z)%3+••• 2.3 +d()X+Cl^X+…, 比较等式两边同次幕系数得: 6Z0=0,d]=sina,…,an=sinna,… 这里利用了三角恒等式 sin(斤+1)况=2sinqcosG—sin(斤一1)a,n=2,3,… 所以 xsinx l-2xcosx+x2 =xsina+兀$sin2a+•••+xnsinna。 8 =工xnsinna /: =i 3.6微分方程法 ln(x+71+^2| 例15⑷求'丿的幕级数展开形式。 J1+兀2 计算/⑷(0),从而得到工戶(叭" ±nn\ oo 注: 在前面例14中用待定系数法已求出幕级数展开式,现在用微分方程法 解: 设 ln(x+Jl+F vr+j 因此 令兀=0,矢口y=-y0=0, 得: 1- 兀一ln(x+J1+/ 由〈1〉两边同吋求〃阶导数得: 这儿下标“0”表示在x=0处的值,在〈1〉式中令x=0得: 在<3)式两边微商一次得, 2xy+(1+兀$)『"=_),_xy, (2卄1) %丿 代入公式〈3〉得: ln(x+J1+F) (-1)"[(2〃)! ! ],("=1,2,…), Vf-iV[(")"]宀+1 7177〜幺I丿(2/7+1)! ! 这里表示右边的级数为左边函数的泰勒级数,容易证明右边的级数的收敛半径R=1,利用逐项微分法可以验证级数的和函数y=S(x)是〈1〉给定的微分 方程的解,且S(0)=0,而函数 ln(x+Vl+x2 J1+兀$ 在x=±l处连续,故<4)式中改为“二”对兀=±1也成立。 3.7利用级数的运算 例16利用函数的幕级数展开,求下列极限。 XT8 limx•[in(x4-1)-Inxj 所以 =limx XT8 <1 1 1 x2 1d 3 1 x3 、 ■••• z (兀 2 < 1 1 1 1 、 =lim 1- +一 —• =1, -V—»oo 2 JT 3 X 丿 (2)由基本初等函数的幕级数展开式得 In-^―=-ln(l-x)=x4- x2x3 一+一+… 23 X<1, 代入工一恥讪",即得 sinx 故级数在|.Y| 当兀vl时有 f'ln—J/=—+—+—+ Jo1-t1-22-33-4 而当兀=1吋有 XX ++… 1x22x3 111 11 1x22x33x4 + 1+ <11、 、 +… 12丿 <2 3 <3~4> / limIIn XT1-0J() x +——+ 2-3 3・4 \—t11一0(]・2 由阿贝尔定理得 4结论 我们是在泰勒级数基础上研究幕级数的展开式,利用以上几种方法可以对 “幕级数的展开式”这一块内容有深刻的认识,且利用这些展开式解决问题,为我们在今后研究幕级数中提供了工具。 致谢 对在研究及撰写论文过程中给予帮助的组织或个人表示衷心感谢! 参考文献: [1]数学分析•第三版.华东师范大学数学系,2002,52-5& [2]高等数学试题精选题解.华屮理工大学出版社,2000,492-498. [3]数学分析内容方法与技巧•华中科技大学出版社,2003,164-178. [4]裴礼文.数学分析中的典型问题与解法.第二版.高等教育出版,2003,447-453. [5]刘玉琏,傅沛仁•数学分析讲.北京: 高等教育出版社,1982,125-162. [6]数学分析.复旦大学数学系编.第二版(下册)•高等教育出版社,2002,324-336. [7]钱吉林.数学分析题解精粹.武汉: 崇文书局,2003,213-238. [8]吴良森,毛羽铭•数学分析习题精解.北京: 科学出版社,2004,58-127. 1X313X5135 =兀卜1 23245246
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