高中数学第二章推理与证明21合情推理与演绎推理212演绎推理教学案人教2.docx
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高中数学第二章推理与证明21合情推理与演绎推理212演绎推理教学案人教2
2.1.2 演绎推理
预习课本P78~81,思考并完成下列问题
(1)什么是演绎推理?
它有什么特点?
(2)什么是三段论?
一般模式是什么?
(3)合情推理与演绎推理有什么区别与联系?
[新知初探]
1.演绎推理
(1)概念:
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.
(2)特点:
演绎推理是从一般到特殊的推理.
(3)模式:
三段论.
2.三段论
“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
“三段论”的结论
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断
“三段论”的表示
①大前提:
M是P;
②小前提:
S是M;
③结论:
S是P
[点睛] 用集合的观点理解三段论
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
[小试身手]
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“三段论”就是演绎推理.( )
(2)演绎推理的结论是一定正确的.( )
(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)×
2.平行于同一直线的两直线平行,因为a∥b,b∥c,所以a∥c,这个推理称为( )
A.合情推理 B.归纳推理
C.类比推理 D.演绎推理
答案:
D
3.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理中“三段论”中的
__________是错误的.
答案:
小前提
把演绎推理写成三段论的形式
[典例] 将下列推理写成“三段论”的形式:
(1)向量是既有大小又有方向的量,故零向量也有大小和方向;
(2)0.33
是有理数;
(3)y=sinx(x∈R)是周期函数.
[解]
(1)大前提:
向量是既有大小又有方向的量.
小前提:
零向量是向量.
结论:
零向量也有大小和方向.
(2)大前提:
所有的循环小数都是有理数.
小前提:
0.33
是循环小数.
结论:
0.33
是有理数.
(3)大前提:
三角函数是周期函数.
小前提:
y=sinx(x∈R)是三角函数.
结论:
y=sinx(x∈R)是周期函数.
用
三段论写推理过程的技巧
(1)关键:
用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中大前提提供了一个一般原理,小前提提供了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.
(2)何时省略:
有时可省略小前提,有时甚至也可将大前提、小前提都省略.
(3)如何寻找:
在寻找大前提时可找一个使结论成立的充分条件作大前提.
[活学活用]
下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A.大前提:
无限不循环小数是无理数;小前提:
π是无理数;结论:
π是无限不循环小数
B.大前提:
无限不循环小数是无理
数;小前提:
π是无限不循环小数;结论:
π是无理数
C.大前提:
π是无限不循环小数;小前提:
无限不循环小数是无理数;结论:
π是无理数
D.大前提:
π是无限不循环小数;小前提:
π是无理数;结论:
无限不循环小数是无理数
解析:
选B 对于A,小前提与大前提间逻辑错误,不符合演绎推理三段论形式;对于B,符合演绎推理三段论形式且推理正确;对于C,大小前提颠倒,不符合演绎推理三段论形式;对于D,大小前提及结论颠倒,不符合演绎推理三段论形式.
演绎推理在几何中的应用
[典例] 如图所示,D,E,F分别是BC,CA,AB边上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:
DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理.
[解]
(1)同位角相等,两直线平行,(大前提)
∠BFD和∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)
所以DF∥AE.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)
DE∥BA且DF∥EA,(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形.(结论)
(3)平行四边形的对边相等,(大前提)
DE和AF为平行四边形的对边,(小前提)
所以ED=AF.(结论)
几何证明中应用演绎推理的两个关注点
(1)大前提的正确性:
几何证明往往采用演绎推理,它往往不是经过一次推理就能完成的,常需要几次使用演绎推理,每一个推理都暗含着大、小前提,前一个推理的结论往往是下一个推理的前提,在使用时不仅要推理的形式正确,还要前提正确,才能得到正确的结论.
(2)大前提可省略:
在几何证明问题中,每一步都包含着一般原理,都可以分析出大前提和小前提,将一般原理应用于特殊情况,就能得出相应结论.
提醒:
在应用“三段论”进行推理的过程中,大前提、小前提或推理形式之一错误,都可能导致结论错误.
[活学活用]
如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求证:
EF∥平面BCD.
证明:
三角形的中位线平行于底边,大前提
点E,F分别是AB,AD的中点,小前提
所以EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线,
则这条直线与此平面平行,大前提
EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,EF∥BD,小前提
所以EF∥平面BCD.结论
演绎推理在代数中的应用
[典例] 已知函数f(x)=ax+
(a>1),求证:
函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
[证明] 对于任意x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2,若f(x1)<f(x2),则y=f(x)在(-1,+∞)上是增函数.(大前提)
设x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=ax1+
-ax2-
=ax1-ax2+
-
=ax1-ax2+
,
∵a>1,且x1<x2,∴ax1<ax2,x1-x2<0.
又∵x1>-1,x2>-1,∴(x1+1)(x2+1)>0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).(小前提)
∴函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(结论)
应用演绎推理解决的代数问题
(1)函数类问题:
比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.
(2)导数的应用:
利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和最值,证明与函数有关的不等式等.
(3)三角函数的图象与性质.
(4)数列的通项公式、递推公式以及求和,数列的性质.
(5)不等式的证明.
[活学活用]
已知函数f(x)=x2-alnx在区间[1,2]内是增函数,g(x)=x-a
在区间(0,1]内是减函数,则a=______.
解析:
f′(x)=2x-
,依题意f′(x)≥0,x∈[1,2],
即a≤2x2,x∈[1,2].
因为上式恒成立,所以a≤2.①
又g′(x)=1-
,
依题意g′(x)≤0,x∈(0,1],
即a≥2
,x∈(0,1].
因为上式恒成立,所以a≥2.②
由①②得a=2.
答案:
2
层级一 学
业水平达标
1.下面说法:
①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到
的结论一定是正确的;③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式;④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关;⑤运用三段论推理时,大前提和小前提都不可以省略.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
解析:
选C ①③④都正确.
2.若三角形两边相等,则该两边所对的内角相等,在△ABC中,AB=AC,所以在△ABC中,∠B=∠C,以上推理运用的规则是( )
A.三段论推理B.假言推理
C.关系推理D.完全归纳推理
解析:
选A ∵三角形两边相等,则该两边所对的内角相等(大前提),在△ABC中,AB=AC,(小前提),∴在△ABC中,∠B=∠C(结论),符合三段论推理规则,故选A.
3.推理过程“大前提:
__________,小前提:
四边形ABCD是矩形.结论:
四边形ABCD的对角线相等.”应补充的大前提是( )
A.正方形的对角线相等
B.矩形的对角线相等
C.等腰梯形的对角线相等
D.矩形的对边平行且相等
解析:
选B 由三段论的一般模式知应选B.
4.若大前提是:
任何实数的平方都大于0,小前提是:
a∈R,结论是:
a2>0,那么这个演绎推理出错在( )
A.大前提B.小前提
C.推理过程D.没有出错
解析:
选A 要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确,若这几个方面都正确,才能得到这个演绎推理正确.因为任何实数的平方都大于0,又因为a是实数,所以a2>0,其中大前提是:
任何实数的平方都大于0,它是不正确的.
5.在证明f(x)=2x+1为增函数的过程中,有下列四个命题:
①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是大前提;④函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是( )
A.①④B.②④
C.①③D.②③
解析:
选A 根据三段论特点,过程应为:
大前提是增函数的定义;小前提是f(x)=2x+1满足增函数的定义;结论是f(x)=2x+1为增函数,故①④正确.
6.求函数y=
的定义域时,第一步推理中大前提是
有意义时,a≥0,小前提是
有意义,结论是____________.
解析:
由三段论方法知应为log2x-2≥0.
答案:
log2x-2≥0
7.某一三段论推理,其前提之一为肯定判断,结论为否定判断,由此可以推断,该三段论的另一前提必为________判断.
解析:
根据三段论的特点,三段论的另一前提必为否定判断.
答案:
否定
8.函数y=2x+5的图象是一条直线,用三段论表示为:
大前提:
_______________________________________________________________.
小前提:
___________________________________________________________________.
结论:
_____________________________________________________________.
解析:
本题忽略了大前提和小前提.大前提为:
一次函数的图象是一条直线.小
前提为:
函数y=2x+5为一次函数.结论为:
函数y=2x+5的图象是一条直线.
答案:
①一次函数的图象是一条直线 ②y=2x+5是一次函数 ③函数y=2x+5的图象是一条直线
9.将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)菱形的对角线互相平分.
(2)奇数不能被2整除,75是奇数,所以75不能被2整除.
解:
(1)平行四边形的对角线互相平分(大前提);
菱形是平行四边形(小前提);
菱形的对角线互相平分(结论).
(2)一切奇数都不能被2整除(大前提);
75是奇数(小前提);
75不能被2整除(结论).
10.下面给出判断函数f(x)=
的奇偶性的解题过程:
解:
由于x∈R,且
=
·
=
=
=-1.
∴f(-x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数.
试用三段论加以分析.
解:
判断奇偶性的大前提“若x∈R,且f(-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数;若x∈R,且f(-x)=f(x),则函数f(x)是偶函数”.在解题过程中往往不用写出来,上述证明过程就省略了大前提.解答过程就是验证小前提成立,即所给的具体函数f(x)满足f(-x)=-f(x).层级二 应试能力达标
1.《论语·学路》篇中说:
“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则
民无所措手足.”上述推理用的是( )
A.类比推理 B.归纳推理
C.演绎推理D.一次三段论
解析:
选C 这是一个复合三段论,从“名不正”推
出“民无所措手足”,连续运用五次三段论,属演绎推理形式.
2.有这样一段演绎推理:
“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然是错误的,这是因为( )
A.大前提错误B.小前提错误
C.推理形式错误D.非以上错误
解析:
选C 用小前提“S是M”,判断得到结论“S是P”时,大前提
“
M是P”必须是所有的M,而不是部分,因此此推理不符合演绎推理规则.
3.如图,设平面α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别是点B,D,如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF,这个条件不可能是下面四个选项中的( )
A.AC⊥β
B.AC⊥E
F
C.AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D.AC与α,β所成的角相等
解析:
选D 只要能推出EF⊥AC即可说明BD⊥EF.当AC与α,β所成的角相等时,推不出EF⊥AC,故选D.
4.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)<0.对任意正数a,b,若a<b,则必有( )
A.bf(a)<af(b)B.af(b)<bf(a)
C.af(a)<f(b)D.bf(b)<f(a)
解析:
选B 构造函数F(x)=xf(x),
则F′(x)=xf′(x)+f(x).
由题设条件知F(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递减.
若a<b,则F(a)>F(b),即af(a)>bf(b).
又f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,
所以bf(a)>af(a)>bf(b)>af(b).故选B.
5.已知函数f(x)=a-
,若f(x)为奇函数,则a=________.
解析:
因为奇函数f(x)在x=0处有定义且f(0)=0(大前提),而奇函数f(x)=a-
的定义域为R(小前提),所以f(0)=a-
=0(结论).解得a=
.
答案:
6.已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任意m,n∈N*都有:
①f(m,n
+1)=f(m,n)+2;②f(m+1,1)=2f(m,1)给出以下三个结论:
(1)f(1,5)=9;
(2)f(5,1)=16;(3)f(5,6)=26.
其中正确结论为________.
解析:
由条件可知,
因为f(m,n+1)=f(m,n)+2,且f(1,1)=1,
所以f(1,5)=f(1,4)+2=f(1,3)+4=f(1,2)+6=
f(1,1)+8=9.
又因为f(m+1,
1)=2f(m,1),
所以f(5,1)=2f(4,1)=22f(3,1)=23f(2,1)
=24f(1,1)=16,
所以f(5,6)=f(5,1)+10=24f(1,1)+10=26.
故
(1)
(2)(3)均正确.
答案:
(1)
(2)(3)
7.已知y=f(x)在(0,+∞)上有意义、单调递增且满足f
(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求证:
f(x2)=2f(x);
(2)求f
(1)的值;
(3)若f(x)+f(x+3)≤2,求x的取值范围.
解:
(1)证明:
∵f(xy)=f(x)+f(y),(大前提)
∴f(x2)=f(x·x)=f(x)+f(x)=2f(x).(结论)
(2)∵f
(1)=f(12)=2f
(1),(小前提)
∴f
(1)=0.(结论)
(3)∵f(x)+f(x+3)=f(x(x+3))≤2=2f
(2)
=f(4),(小前提)
函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,(大前提)
∴
解得0<x≤1.(结论)
8.已知a,b,m均为正实数,b<a,用三段论形式证明
<
.
证明:
因为不等式(两边)同乘以一个正数,不等
号不改变方向,(大前提)
b<a,m>0,(小前提)
所以mb<ma.(结论)
因为不等式两边同加上一个数,不等号不改变方向,(大前提)
mb<ma,(小前提)
所以mb+ab<ma+ab,即b(a+m)<a(b+m).(结论)
因为不等式两边同除以一个正数,不等号不改变方向,(大前提)
b(a+m)<a(b+m),a(a+m)>0,(小前提)
所以
<
,即
<
.(结论)
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