高考数学二轮复习专题12函数与导数教学案文.docx

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高考数学二轮复习专题12函数与导数教学案文

2019-2020年高考数学二轮复习专题1.2函数与导数教学案文

命题观察高考定位

一．考场传真

1.【xx课标1，文8】函数的部分图像大致为

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，排除D；当时，，排除A．故选C．

2．【xx课标1，文9】已知函数，则

A．在（0，2）单调递增B．在（0，2）单调递减

C．y=的图像关于直线x=1对称D．y=的图像关于点（1，0）对称

【答案】C

误，故选C．

3．【xx山东，文9】设,若,则

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则

故选C.

4．【xx课标II，文8】函数的单调递增区间是

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】函数有意义，则：

，解得：

或，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为.故选D.

5．【xx课标1，文14】曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．

【答案】

【解析】设,则，所以,所以在处的切线方程为，即.

6．【xx课标1，文21】已知函数=ex（ex﹣a）﹣a2x．

（1）讨论的单调性；

（2）若，求a的取值范围．

，故在单调递减，在单调递增．

（2）①若，则，所以．②若，则由

（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时，．

③若，则由

（1）得，当时，取得最小值，最小值为

．从而当且仅当，即时．综上，的取值范围为．

7．【xx课标II，文21】设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围.

8．【xx课标3，文21】已知函数=lnx+ax2+（2a+1）x．

（1）讨论的单调性；

（2）当a﹤0时，证明．

二．高考研究

【考纲解读】

1.考纲要求

1．函数：

（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.（5）会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.

2．指数函数：

（1）了解指数函数模型的实际背景.

（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.

（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.

3．对数函数：

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.

（2）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，1/2的对数函数的图像．（3）体会对数函数是一类重要的函数模型；（4）了解指数函数与对数函数（）互为反函数.

4．幂函数：

（1）了解幂函数的概念.

（2）结合函数

的图像，了解它们的变化情况.

5．函数与方程：

结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.

6．函数模型及其应用：

（1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.

（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.

7．导数及其应用：

（1）了解导数概念的实际背景.

（2）通过函数图像直观理解导数的几何意义.

（3）根据导数的定义求函数

（c为常数）的导数.

（4）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数.常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：

（C为常数）；,n∈N+；；;;（a>0,且a≠1）;;（a>0,且a≠1）.

常用的导数运算法则：

法则1　

.法则2

.法则3

.

（5）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

（6）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

（7）会用导数解决某些实际问题..

（8）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.

（9）了解微积分基本定理的含义.

2.命题规律

高考对函数的考查以选择或填空题形式呈现，考查对数函数、含无理式的函数的定义域；以二次函数的图象与性质为主，结合函数的性质综合考查分析与解决问题的能力，函数的图象与性质历来是高考的重点，也是热点，对于函数图象的考查体现在两个方面：

一是识图；二是用图，即通过函数的图象，利用数形结合的思想方法解决问题；对于函数的性质，主要考查函数单调性、奇偶性、周期性；函数的奇偶性、周期性往往与分段函数、函数与方程结合，考查函数的求值与计算；考查数形结合解决问题的能力等．每年都有函数试题，而且常考常新．以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．

高考对导数的考查，主要是考查导数的概念、计算、几何意义以及导数在研究函数中的应用；从考查形式上看，基本上是以一道小题和一道大题形式出现，其中导数的几何意义考查，试题难度较低，有选择题、填空题，有时作为解答题中的关键一步,常常与直线的斜率、倾斜角、直线的方程、三角函数等相结合.

导数的应用涉及的知识点多，综合性强，要么直接求极值或最值，要么利用极值或最值求参数的取值范围，常与函数的单调性，函数的零点，不等式及实际问题，形成知识的交汇问题．选择题、填空题往往侧重于利用导数确定函数的单调性和极值，一般属于低档题目；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用，一般难度较大，属于中高档题，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力.

3．学法导航

1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.

2.

（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.

（2）图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.

3.指数函数、对数函数的图象和性质受底数的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数的范围.

4.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.

5．函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解.

主干整合归纳扩展

一．基础知识整合

基础知识：

1．函数及其图象

（1）定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必遵循“定义域优先”的原则．

（2）对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：

一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．

2．函数的性质

（1）单调性：

单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；

（2）奇偶性：

奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；

（3）周期性：

周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f（a＋x）＝f（x）（a不等于0），则其周期T＝ka（k∈Z）．

3．函数的零点与方程的根：

（1）函数的零点与方程根的关系：

函数F（x）＝f（x）－g（x）的零点就是方程f（x）＝g（x）的根，即函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象交点的横坐标．

（2）零点存在性定理：

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b）使得f（c）＝0,这个c也就是方程f（x）＝0的根．

注意以下两点：

①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.

4．导数的几何意义：

（1）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f′（x0）就是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率，即k＝f′（x0）．

（2）曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．

5．函数的单调性与导数：

如果已知函数在某个区间上单调递增（减），则这个函数的导数在这个区间上大（小）于或等于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y＝x＋sinx.

6．函数的导数与极值：

对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f（x）＝x3，虽有f′（0）＝0，但x＝0不是极值点，因为f′（x）≥0恒成立，f（x）＝x3在（－∞，＋∞）上是单调递增函数，无极值．

7．闭区间上函数的最值

在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者.

8．利用定积分求曲边梯形的面积

（1）由直线，，轴及一条曲线围成的曲边梯形的面积

，若，则.

（2）推广：

由直线，，和（）围成的平面图形的面积为

二．高频考点突破

考点1函数的定义及其表示

【例1】函数

的定义域为（）

A．B．C.D．

【分析】的定义域就是函数解析式有意义的自变量的取值范围.

【答案】D

【例2】【xx陕西西安长安区质检】已知且，则

A.-1B.2C.3D.-3

【分析】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.．

【答案】A

【解析】∵且且，，解得∴

，

故选：

A．

【例3】已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）

A．B．C．D．

【分析】本题紧扣图像，可排除不符合图像的选择支，从而可得答案．

【答案】A

【规律方法】

1、求解函数的定义域一般应遵循以下原则：

①是整式时，定义域是全体实数；②是分式时，定义域是使分母不为零的一切实数；③为偶次根式时，定义域是使被开方数为非负值时的实数的集合；④对数函数的真数大于零，且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数需大于且不等于；⑤零指数幂的底数不能为零；⑥若是由有限个基本初等函数运算合成的函数，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集；

⑦对于求复合函数定义域的问题，一般步骤是：

若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出；⑧对于含字母参数的函数求其定义域，根据具体情况需对字母参数进行分类讨论；⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．

2、函数值域的求法:

利用函数的单调性:

若是上的单调增（减）函数,则,分别是在区间上取得最小（大）值,最大（小）值.

利用配方法:

形如型,用此种方法,注意自变量x的范围.

利用三角函数的有界性,如.

利用“分离常数”法:

形如y=或（至少有一个不为零）的函数,求其值域可用此法.

利用换元法:

形如型,可用此法求其值域.

利用基本不等式法:

导数法:

利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域

3、分段函数题型的求解策略

（1）根据分段函数解析式求函数值：

首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．

（2）已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围：

应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．

（3）分类讨论时要遵循分类的原则．

4、求函数的解析式的常用方法：

（1）.代入法：

如已知求时，有.

（2）.待定系数法：

已知的函数类型，要求的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.

（3）.拼凑法：

已知的解析式，要求的解析式时，可从的解析式中拼凑出“”，即用来表示，，再将解析式的两边的用代替即可.

（4）.换元法：

令，在求出的解析式，然后用代替解析式中所有的即可.

（5）.方程组法：

已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边的所有的，得到关于的方程组，解之即可得出.

（6）.赋值法：

给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式.

（7）.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．

（8）.应用题求解析式可用待定系数法求解．

注意：

求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错．

【举一反三】

1.已知函数是上的单调函数，且对任意实数都有，则（）

A．1B．C.D．0

【答案】C

【解析】由于函数为单调函数，故设

，即，即，所以，.

2.【xx湖南株洲两校联考】已知函数

，若0＜a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），则的范围为__．

【答案】（1，2）

考点2函数的图象

【例4】函数

的图像大致为（）

A．

B．

C．

D．

【分析】识图时应从函数性质方面（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性），函数的极值或者特殊点考虑.

【答案】A

【规律方法】

（1）根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．

（2）研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．

（3）作图、识图、用图技巧

（）作图：

常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．

描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点（图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等）和对称性进行．

（）识图：

从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．

（）用图：

图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究．

【举一反三】

【xx江西南昌摸底】已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】不等式即：

恒成立，作出函数的图象，则正比例函数恒在函数的图象下方，考查函数：

经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为，由此可得：

实数的取值范围为，故答案为．

考点3函数的性质

【例5】【xx辽宁两校联考】设是定义在上的奇函数，且其图象关于对称，当时，，则的值为（）

A.-1,B.0C.1D.不能确定

【分析】利用奇偶性和周期性，结合函数求值即可解出．

【答案】C

【例6】可导函数的导函数为，且满足：

①；②，记，，则的大小顺序为（）

A．B．C.D．

【分析】本题利用函数的单调性.比较的大小,想到利用函数的单调性,由和想到构造函数,求导,根据利用积商符号法则判断函数的单调性,并对根据进行等价变形为,根据函数的单调性即可得出的大小.

【答案】C

【规律方法】1．函数的单调性：

（1）判断函数的单调性应先求定义域；

（2）用定义法判断（或证明）函数单调性的一般步骤为：

取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；（3）用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视．（4）如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．（5）单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意一是函数定义域的限制，二是函数单调性的判定，三是等价转化思想与数形结合思想的运用．如若已知为偶函数且在内单调递增，那么对于形如的不等式中符号不确定，可转化为

，可避免分类讨论．

2．函数的周期性：

（1）判断函数的周期只需证明便可证明函数是周期函数，且周期为，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：

若是函数的周期，则且也是函数的周期．

2．函数的奇偶性：

（1）判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称，然后检验对任意的x是否有f（－x）＝f（x）或f（－x）＝－f（x）成立，必要时，可对上式作变形处理：

f（－x）±f（x）＝0.

（2）分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f（x）与f（－x）的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．

【举一反三】

已知定义在上的奇函数满足:

当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）

A．B．C.D．

【答案】A

考点4指数函数、对数函数、幂函数

【例7】【xx湖南株洲两校联考】设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：

存在[a，b]⊆D（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称为“优美函数”，若函数为“优美函数”，则t的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

【分析】定义新函数的定义域与值域相同，先判定函数的单调性，然后转化为函数方程根的情况，本题的关键也是能否转化为函数根的问题，然后求解.

【答案】D

【解析】为增函数，存在,使在上的值域也为，则，即，是方程的两个不等的根，设，有两个不等的实根，且两根都大于，，解得，故答案选

【例8】已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程

的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

【分析】

（1）由，利用得求解．

（2）转化得到

，讨论当、时，以及且时的情况．（3）讨论在上单调递减．确定函数在区间上的最大值与最小值之差.得到，对任意成立．

（3）当时，，

，所以在上单调递减．函数在区间上的最大值与最小值分别为，．

即，对任意成立．

因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得．故的取值范围为．

【规律方法】1.对数函数的定义域为，指数函数的值域.

2．熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化；熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质，当底数的范围不确定时要分类讨论.

3.注意利用指数函数、对数函数、幂函数的图像灵活运用数形结合思想解题.

【举一反三】

【xx河南漯河三模】已知函数

，若，且

，则（）

A.B.C.D.随值变化

【答案】A

考点5函数的零点

【例9】【xx南宁摸底联考】设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

【分析】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为f（x）=g（x），然后根据y=f（x）与y=g（x）的两个图像交点个数来判断原方程根的个数.如本题把方程变形为，再画出两个函数的图像，根据两个图像有4个交点，求出参数a的范围.

【答案】D

【规律方法】1．求的零点值时，直接令解方程，当为分段函数时，要分段列方程组求解；

2．已知在区间上单调且有零点时，利用讨论；

3．求的零点个数时，一般用数形结合法；讨论函数与的图象交点个数，即方程的解的个数，一般用数形结合法．

4．已知零点存在情况求参数的值或取值范围时，利用方程思想和数形结合思想，构造关于参数的方程或不等式求解．

【举一反三】设是函数为常数）的两个零点，则的值为（）

A．B．C．D．与常数有关

【答案】A

【解析】本题转化为求函数与的图象的交点的横坐标的和等于多少,画出图象,显然,所以,选A．

考点6函数模型及其应用

【例10】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高的四倍.

（1）若则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当为多少时，仓库的容积最大？

【分析】

（1）几何体体积为柱与锥体积之和，需明确柱与锥体积公式区别，分别代入对应公式求解

（2）从题目问题出发，以为自变量建立体积的函数关系式，与

（1）相似，先用分别表示底面正方形周长及柱的高，再利用柱与锥体积公式得，

，最后利用导数求其最值

，从而

.令，得或（舍）.当时，，V是单调增函数；当时，，V是单调减函数.故时，V取得极大值，也是最大值.因此，当时，仓库的容积最大.

【规律方法】1．给出图象的题目要注意从图象中提取信息，这类题目常常是先求解析式，再讨论有关函数的性质或求最值、解不等式等．

2．实际应用问题，要注意将背景中涉及题目解答的部分先行翻译为数学解题语言，并将条件和结论与学过的数学知识方法挂靠，依据相关知识与方法解决．

【举一反三】

某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（）

A．6B．7C．8D．7或8

【答案】B

考点7导数的运算及其几何意义

【例11】【陕西省吴起中学xx届期中】已知函数.若直线与曲线都相切，则直线的方程为（）

A.B.

C.D.

【分析】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：

设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：

．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

【答案】D

【规律方法】导数几何意义的应用，需注意以下两点：

（1）当曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0；

（2）注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．

【举一反三】已知函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】设，则，∵为奇函数，当时，，∴

，∴，∴且，∴曲线在处的切线方程是．故选B．

考点8导数的应用（单调性、极值、最值）

【例12】【四川省内江市xx届第一次模拟】当时，不等式

恒成立，则的取值范围是

A.B.C