菱形的判定专项练习30题汇编.docx

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菱形的判定专项练习30题汇编

“碧芝”的成功归于他的唯一，这独一无二的物品就吸引了各种女性的眼光。

情感性手工艺品。

不少人把自制的手机挂坠作为礼物送给亲人朋友，不仅特别，还很有心思。

每逢情人节、母亲节等节假日，顾客特别多。

而手工艺制品是一种价格适中，不仅能锻炼同学们的动手能力，同时在制作过程中也能体会一下我国传统工艺的文化。

无论是送给朋友还是亲人都能让人体会到一份浓厚的情谊。

它的价值是不用金钱去估价而是用你一颗真诚而又温暖的心去体会的。

更能让学生家长所接受。

在上海，随着轨道交通的发展，地铁商铺应运而生，并且在重要的商业圈已经形成一定的气候，投资经营地铁商铺逐渐成为一大热门。

在人民广场地下“的美”购物中心，有一家DIY自制饰品店---“碧芝自制饰品店”。

加拿大ｂｅａｄｗｏｒｋｓ公司就是根据年轻女性要充分展现自己个性的需求，将世界各地的珠类饰品汇集于“碧芝自制饰品店”内，由消费者自选、自组、自制，这样就能在每个消费者亲手制作、充分发挥她们的艺术想像力的基础上，创作出作品，达到展现个性的效果。

除了“漂亮女生”形成的价格，优惠等条件的威胁外，还有“碧芝”的物品的新颖性，创意的独特性等，我们必须充分预见到。

五、创业机会和对策分析

在大学生对DIY手工艺品价位调查中，发现有46%的女生认为在十元以下的价位是可以接受；48%的认为在10-15元；6%的则认为50-100元能接受。

如图1-2所示

“漂亮女生”号称全国连锁店，相信他们有统一的进货渠道。

店内到处贴着“10元以下任选”，价格便宜到令人心动。

但是转念一想，发夹2.8元，发圈4.8元，皮夹子9.8元，好像和平日讨价还价杀来的心理价位也差不多，只不过把一只20元的发夹还到5元实在辛苦，现在明码标价倒也省心省力。

据了解，百分之八十的饰品店都推出“DIY饰品”来吸引顾客，一方面顺应了年轻一代喜欢与众不同、标新立异的心理；另一方面，自制饰品价格相对较低，可以随时更新换代，也满足了年轻人“喜新厌旧”的需要，因而很受欢迎。

菱形的判定专项练习30题（有答案）　

1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=

BC，点E为BC的中点．

（1）求证：

四边形ABED是菱形；

（2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长．

2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M，N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC，BM=MO=OD．

求证：

BC=2DN．

3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．

（1）求证：

四边形AEDF是菱形；

（2）若AB=12cm，求菱形AEDF的周长．

4．如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP．

求证：

（1）∠E=∠F；

（2）▱ABCD是菱形．

5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．

（1）求证：

AF=DC；

（2）若∠BAC=90°，求证：

四边形AFBD是菱形．

6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：

四边形ABCD是菱形．

7．如图，在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点F在AC上，连接AE．

（1）求证：

四边形ADCE是菱形．

（2）连接BF并延长交AE于G，连接CG．请问：

四边形ABCG是什么特殊平行四边形？

为什么？

8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为EF，并且DE=DF．求证：

四边形ABCD是菱形．

9．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作▱ADFE交BC于点G，H，且EH=EC．

求证：

（1）∠B=∠C；

（2）▱ADFE是菱形．

10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G．

（1）求证：

△AEG≌△AEC；

（2）△CEF是否为等腰三角形，请证明你的结论；

（3）四边形GECF是否为菱形，请证明你的结论．

11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．

求证：

四边形ADEF是菱形．

12．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：

四边形MENF为菱形．

13．已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．求证：

四边形ABED是菱形．

14．如图，在△ABC中，AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点．求证：

四边形AMON是菱形．

15．如图：

在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．

求证：

四边形AEFG是菱形．

16．如图，矩形ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形AECF，AB交EC于点N，CD交AF于点M．

求证：

四边形ANCM是菱形．

17．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE交于M，BC、DF交于N，那么四边形BMDN是菱形吗？

如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由．

18．已知如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，四边形AEDF是菱形吗？

说明理由．

19．已知：

如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F．求证：

四边形BFDE是菱形．

20．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：

四边形AFCE是菱形．

21．如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD．

（1）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．

（2）已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周长．

22．如图所示，在▱ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAF，过点E作EF∥AB．求证：

四边形ABEF为菱形．

23．已知，如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，作∠CAE=∠ACE交BC于E，作∠ACF=∠CAF交AD于F．

（1）求证：

AECF是菱形；

（2）求四边形AECF的面积．

24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．问四边形AFCE是菱形吗？

请说明理由．

25．如图：

在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的延长线上一点，且BE=DF，连接EF交AC于O．

（1）AC与EF互相平分吗？

为什么？

（2）连接CE、AF，再添加一个什么条件，四边形AECF是菱形？

为什么？

26．已知：

如图，△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧，AB=DC，AC=BD交于E，∠BEC的平分线交BC于O，延长EO到F，使EO=OF．求证：

四边形BFCE是菱形．

27．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．

（1）求证：

△BDE≌△CDF；

（2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由；

（3）在

（2）下要使BECF是菱形，则△ABC应满足何条件？

并说明理由．

28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．

（1）求证：

四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？

请回答并证明你的结论．

29．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．

求证：

四边形AEDF是菱形．

30．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）探究：

线段OE与OF的数量关系并加以证明；

（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？

若是，请证明，若不是，则说明理由．

矩形的判定专项练习30题参考答案：

1．1）证明：

∵点E为BC的中点，

∴BE=CE=

BC，

∵BA=AD=DC=

BC，

∴AB=BE=ED=AD，

∴四边形ABED是菱形；

（2）解：

过点D作DH⊥BC，垂足为H，

∵CD=DE=CE，

∴∠DEC=60°，

∴∠DBE=30°，

在Rt△BDH中，BD=4cm，

∴DH=2cm，

∵AF=DH，

∴AF=2cm．

2．∵AO=ON，BM=MO，∴四边形AMND是平行四边形，

∵AC⊥BD，∴平行四边形AMND是菱形，∴MN=DN，

∵ON=NC，BM=MO，∴MN=

BC，∴BC=2DN

3．

（1）∵D，E分别是BC，AB的中点，

∴DE∥AC且DE=AF=

AC．

同理DF∥AB且DF=AE=

AB．

又∵AB=AC，∴DE=DF=AF=AE，

∴四边形AEDF是菱形．

（2）∵E是AB中点，∴AE=

AB=6cm，因此菱形AEDF的周长为4×6=24cm．

4．

（1）∵BE=BP，∴∠E=∠BPE，

∵BC∥AF，

∴∠BPE=∠F，∴∠E=∠F．

（2）∵EF∥BD，

∴∠E=∠ABD，∠F=∠ADB，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴□ABCD是菱形．

5．1）证明：

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵AF∥BC，

∴∠1=∠2，

在△AEF和△DEC中

，

∴△AFE≌△DCE（AAS），

∴AF=DC；

（2）证明：

∵D是BC的中点，

∴DB=CD=

BC，

∵AF=CD，

∴AF=DB，

∵AF∥BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵∠BAC=90°，D为BC中点，

∴AD=

CB=DB，

∴四边形AFBD是菱形．

6．∵对角线BD平分∠ABC，

∴∠1=∠2，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，

∴∠3=∠1，

∴∠3=∠2，

∴DC=BC，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形．

7．

（1）∵三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，

∴△ABC≌△ABF，且∠BAC=∠BAF=30°，

∴∠FAC=60°，

∴AD=DC=AC，

又∵△ABC≌△EFC，

∴CA=CE，

又∵∠ECF=60°，

∴AC=EC=AE，

∴AD=DC=CE=AE，

∴四边形ADCE是菱形；

（2）

证明：

由

（1）可知：

△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，

∴∠EDC=∠BAC=

∠FAC=30°，且△ABC为直角三角形，

∴BC=

AC，

∵EC=CB，

∴EC=

AC，

∴E为AC中点，

∴DE⊥AC，

∴AE=EC，

∵AG∥BC，

∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，

∴△AEG≌△CEB，

∴AG=BC，（7分）

∴四边形ABCG是平行四边形，

∵∠ABC=90°，

∴四边形ABCG是矩形

8．在△ADE和△CDF中，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，

∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴∠AED=∠CFD=90°．

又∵DE=DF，

∴△ADE≌△CDF（AAS）

∴DA=DC，

∴平行四边形ABCD是菱形

9．

（1）∵在▱ADFE中，AD∥EF，

∴∠EHC=∠B（两直线平行，同位角相等）．

∵EH=EC（已知），

∴∠EHC=∠C（等边对等角），

∴∠B=∠C（等量代换）；

（2）∵DE∥BC（已知），

∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B．

∵∠B=∠C，

∴∠AED=∠ADE，

∴AD=AE，

∴▱ADFE是菱形．

10．1）证明：

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥EC．

又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分线，

∴GE=CE．

在Rt△AEG与Rt△AEC中，

，

∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；

（2）解：

△CEF是等腰三角形．理由如下：

∵CD是AB边上的高，

∴CD⊥AB．

又∵EG⊥AB，

∴EG∥CD，

∴∠CFE=∠GEA．

又由

（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，

∴∠GEA=∠CEA，

∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，

∴CE=CF，即△CEF是等腰三角形；

（3）解：

四边形GECF是菱形．理由如下：

∵由

（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，则GE=EC；由

（2）知，CE=CF，

∴GE=EC=FC．

又∵EG∥CD，即GE∥FC，

∴四边形GECFR是菱形．

11．∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，

∴DE

AC，EF

AB，

∴四边形ADEF为平行四边形．

又∵AC=AB，

∴DE=EF．

∴四边形ADEF为菱形．

12．∵M、E、分别为AD、BD、的中点，

∴ME∥AB，ME=

AB，

同理：

FH∥AB，FH=

AB，

∴四边形MENF是平行四边形，

∵M．F是AD，AC中点，

∴MF=

DC，

∵AB=CD，

∴MF=ME，

∴四边形MENF为菱形

13．∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，…（1分）

在△BAE和△DAE中，

∵

，

∴△BAE≌△DAE（SAS）…（2分）

∴BE=DE，…（3分）

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，…（4分）

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，…（5分）

∴AB=BE=DE=AD，…（6分）

∴四边形ABED是菱形．

14．∵AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点，

∴AM=

AB=

AC=AN，

M0∥AC，NO∥AB，且MO=

AC=AN，

NO=

AB=AM（三角形中位线定理），

∴AM=MO=AN=NO，

∴四边形AMON是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）

15．证法一：

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，

∴∠B=∠CAD，

∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），

∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∵CE=CE，

∴由勾股定理得：

AC=CF，

∵△ACG和△FCG中

，

∴△ACG≌△FCG，

∴∠CAD=∠CFG，

∵∠B=∠CAD，

∴∠B=∠CFG，

∴GF∥AB，

∵AD⊥BC，EF⊥BC，

∴AD∥EF，

即AG∥EF，AE∥GF，

∴四边形AEFG是平行四边形，

∵AE=EF，

∴平行四边形AEFG是菱形．

证法二：

∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，

∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，

∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，∠2=180°﹣90°﹣∠5，

∴∠1=∠2，

∵AD∥EF，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴AG=AE，

∵AE=EF，

∴AG=EF，

∵AG∥EF，

∴四边形AGFE是平行四边形，

∵AE=EF，

∴平行四边形AGFE是菱形．

16．∵CD∥AB，

∴∠FMC=∠FAN，

∴∠NAE=∠MCF（等角的余角相等），

在△CFM和△AEN中，

，

∴△CFM≌△AEN（ASA），

∴CM=AN，

∴四边形ANCM为平行四边形，

在△ADM和△CFM中，

，

∴△ADM≌△CFM（AAS），

∴AM=CF，

∴四边形ANCM是菱形

17．四边形BMDN是菱形．

∵AM∥BC，

∴∠AMB=∠MBN，

∵BM∥FN

∴∠MBN=∠BNF，

∴∠AMB=∠BNF，

又∵∠A=∠F=90°，AB=BF，

∴△ABM≌△BFN，

∴BM=BN，

同理，△EMD≌△CND，

∴DM=DN，

∵ED=BF=AB，∠E=∠A=90°，∠AMB=∠EMD，

∴△ABM≌△EDM，

∴BM=DM，

∴MB=MD=DN=BN，

∴四边形BMDN是菱形

18．如图，由于DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF为平行四边形．

∵DE∥AC，∴∠3=∠2，

又∠1=∠2，∴∠1=∠3，

∴AE=DE，∴平行四边形AEDF为菱形．

19．∵EF是BD的垂直平分线，

∴EB=ED，

∴∠EBD=∠EDB．

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠EBD=∠FBD．

∴∠FBD=∠EDB，

∴ED∥BF．

同理，DF∥BE，

∴四边形BFDE是平行四边形．

又∵EB=ED，

∴四边形BFDE是菱形．

20．方法一：

∵AE∥FC．

∴∠EAC=∠FCA．（2分）

又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，

∴△AOE≌△COF．（5分）

∴EO=FO．

又EF⊥AC，

∴AC是EF的垂直平分线．（8分）

∴AF=AE，CF=CE，

又∵EA=EC，

∴AF=AE=CE=CF．

∴四边形AFCE为菱形．（10分）

方法二：

同方法一，证得△AOE≌△COF．（5分）

∴AE=CF．

∴四边形AFCE是平行四边形．（8分）

又∵EF是AC的垂直平分线，

∴EA=EC，

∴四边形AFCE是菱形．（10分）

方法三：

同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形．（8分）

又EF⊥AC，（9分）

∴四边形AFCE为菱形

21．

（1）四边形BEDF是菱形．

在△DOF和△BOE中，

∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，

所以△DOF≌△BOE，

所以OE=OF．

又因为EF⊥BD，OD=OB，

所以四边形BEDF为菱形．（5分）

（2）如图，在菱形EBFD中，BD=20，EF=15，

则DO=10，EO=7.5．

由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5．

S菱形EBFD=

EF•BD=BE•AD，

即

所以得AD=12．

根据勾股定理可得AE=3.5，有AB=AE+EB=16．

由2（AB+AD）=2（16+12）=56，

故矩形ABCD的周长为56

22．∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AF∥BE，

又∵EF∥AB，

∴四边形ABEF为平行四边形，

∵AE平分∠BAF，

∴∠BAE=∠FAE，

∵∠FAE=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA，

∴BA=BE，

∴平行四边形ABEF为菱形

23．

（1）证明：

在矩形ABCD中，

∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠DCA，

又∠CAE=∠ACE，∠ACF=∠CAF，

∴∠EAC=∠FCA．

∴AE∥CF．

∴四边形AECF为平行四边形，

又∠CAE=∠ACE，

∴AE=EC．

∴▱AECF为菱形．

（2）设BE=x，则EC=AE=8﹣x，

在Rt△ABE中，

AB2+BE2=AE2，

即42+x2=（8﹣x）2．

解之得x=3，

所以EC=5，

即S菱形AECF=EC×AB=5×4=20．

24．四边形AFCE是菱形，理由是：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴

=

，

∵AO=OC，

∴OE=OF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴平行四边形AFCE是菱形

25．

（1）AC与EF互相平分，连接CE，AF，

∵平行四边形ABCD，

∴AB∥CD，AB=CD，

又∵BE=DF，

∴AB+BE=CD+DF，

∴AE=CF，

∴AE∥CF，AE=CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AC与EF互相平分；

（2）条件：

EF⊥AC，

∵EF⊥AC，

又∵四边形AECF是平行四边形，

∴平行四边形AECF是菱形．

26．∵AB=DCAC=BDBC=CB，

∴△ABC≌△DCB，

∴∠DBC=∠ACB，

∴BE=CE，

又∵∠BEC的平分线是EF，

∴EO是中线（三线合一），

∴BO=CO，

∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分），

又∵BE=CE，

∴四边形BFCE是菱形．

27．

（1）证明：

∵CF∥BE，∴∠EBD=∠FCD，

D是BC边的中点，则BD=CD，∠BDE=∠CDF，

∴△BDE≌△CDF．

（2）如图所示，由

（1）可得CF=BE，又CF∥BE，所以四边形BECF是平行四边形；

（3）△ABC是等腰三角形，即AB=AC，理由：

当AB=AC时，则有AD⊥BC，又

（2）中四边形为平行四边形，所以可判定其为菱形．

28．

（1）∵DE为BC的垂直平分线，

∴∠EDB=90°，BD=DC，

又∵∠ACB=90°，

∴DE∥AC，

∴E为AB的中点，

∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，

∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，

∠DEC=∠DFA，

∴AF∥CE，

又∵AF=CE，

∴四边形ACEF为平行四边形；

（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，

∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠DEC=∠ECA，

又∵∠BED=∠DEC，

∴∠EAC=∠ECA，

∴AE=EC，又EB=EC，

∴AE=EC=EB，

∵CE=

AB，

∴AC=

AB即可，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴当∠B=30°时，AB=2AC，

故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形．

29．∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

又∵EF⊥AD，

∴∠AOE=∠AOF=90°

∵在△AEO和△AFO中

，

∴△AEO≌△AFO（ASA），

∴EO=FO

即EF、AD相互平分，

∴四边形AEDF是平行四边形

又EF⊥AD，

∴平行四边形AEDF为菱形

30．1）解：

OE=OF．理由如下：

∵CE是∠ACB的角平分线，

∴∠ACE=∠BCE，

又∵MN∥BC，

∴∠NEC=∠ECB，

∴∠NEC=∠ACE，

∴OE=OC，

∵OF是∠BCA的外角平分线，

∴∠OCF=∠FCD，

又∵MN∥BC，

∴∠OFC=∠ECD，

∴∠OFC=∠COF，

∴OF=OC，

∴OE=OF；

（2）解：

当∠ACB=90°，点O在AC的中点时，

∵OE=OF，

∴四边形AECF是正方形；

（3）答：

不可能．

解：

如图所示，

∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECF=

∠ACB+

∠ACD=

（∠ACB+∠ACD）=90°，

若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，

但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．