变式.docx
- 文档编号:11656447
- 上传时间:2023-03-29
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:327.30KB
变式.docx
《变式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《变式.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
变式
中考变式题复习
此类题目解读:
1、多在几何图形中出现与四边形、三角形、等联系较多。
2、解题关键:
分析好特殊位置时结论得出的过程及证明方法,类比其他变式后的图形证明出结论。
类型一、点位置变
1、已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是 ,QE与QF的数量关系式 ;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时
(2)中的结论是否成立?
请画出图形并给予证明.
答案:
(1)平行
(2)相等(3)成立
2、在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.
(1)如图①,当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由;
(2)如图②,当E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,
(1)中的结论还成立吗?
(请你直接回答“是”或“否”,不需证明)
(3)如图③,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,
(1)中的结论还成立吗?
请说明理由;
(4)如图④,当E,F分别在边DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最小值.
答案:
(1)垂直
(2)是(3)成立(4)
.
同类型:
(1)、已知:
如图,矩形ABCD中,AB=12cm,AD=16cm,动点E、F分别从点A、C同时出发,均以2厘米/秒的速度分别沿AD向点D和沿CB向点B运动.设运动时间为t(其中t≤6.25)秒
(1)当EF与AC垂直时,求出t的值;
(2)在
(1)的条件下,若P为线段AC上一点(点P不与点A、C重合),连结EP,当2AE2=AC•AP时,请判断EP与AD的位置关系,并说明理由;求出此时AP的长.
(2)、如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E、F分别从C、A两点同时出发,以相同的速度作直线运动.已知点E沿射线CB运动,点F沿边BA的延长线运动,连结DF、DE、EF,EF与对角线AC所在的直线交于点M,DE交AC于点N.
(1)求证:
DE⊥DF;
(2)设CE=x,△AMF的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)随着点E在射线CB上运动,NA•MC的值是否会发生变化?
若不变,请求出NA•MC的值;若变化,请说明理由.
(3)、四边形ABCD是正方形,AC与BD,相交于点O,点E、F是直线AD上两动点,且AE=DF,CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G,连接AG,直线AG交BE于点H.
(1)如图1,当点E、F在线段AD上时,①求证:
∠DAG=∠DCG;②猜想AG与BE的位置关系,并加以证明;
(2)如图2,在
(1)条件下,连接HO,试说明HO平分∠BHG;
(3)当点E、F运动到如图3所示的位置时,其它条件不变,请将图形补充完整,并直接写出∠BHO的度数.
3、已知:
正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?
写出猜想,并加以证明.
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系?
请直接写出你的猜想.
答案:
(1)BM+DN=MN成立.
(2)DN-BM=MN.
4、正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG、CG.
(1)如图1,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?
(2)将△BEF绕点B逆时针旋转90°,如图2;将△BEF绕点B逆时针旋转180°,如图3,则
(1)中的结论还成立吗?
如果成立请选择三图中任一图加以证明;如果不成立,请说明理由.
∙答案:
解:
(1)EG=CG,EG⊥CG. (2分)
(2)EG=CG,EG⊥CG. (2分)
证明:
延长FE交DC延长线于M,连MG.
∵∠AEM=90°,∠EBC=90°,∠BCM=90°,
∴四边形BEMC是矩形.
∴BE=CM,∠EMC=90°,
又∵BE=EF,
∴EF=CM.
∵∠EMC=90°,FG=DG,
∴MG=
FD=FG.
∵BC=EM,BC=CD,
∴EM=CD.
∵EF=CM,
∴FM=DM,
∴∠F=45°.
又FG=DG,
∠CMG=
∠EMC=45°,
∴∠F=∠GMC.
∴△GFE≌△GMC.
∴EG=CG,∠FGE=∠MGC. (2分)
∵∠FMC=90°,MF=MD,FG=DG,
∴MG⊥FD,
∴∠FGE+∠EGM=90°,
∴∠MGC+∠EGM=90°,
即∠EGC=90°,
∴EG⊥CG. (2分)
5、在△ABC中,AD平分∠BAC或∠BAC的外角,交BC边所在的直线于点D,过点C作CM⊥AD,垂足为点M,已知AB=AD。
(1)当AD平分∠BAC时(如图一),求证AC—AB=2DM。
(2)当AD平分∠BAC的外角时(如图二),猜想线段AC、AB、DM之间的数量关系,并加以证明。
(3)当AD平分∠BAC的外角(如图三),猜想线段AC、AB、DM之间的数量关系,并加以证明。
答案:
(2)AB+AC=2DM(3)AB+AC=2DM
6、已知:
Rt△A′BC′≌Rt△ABC,∠A′C′B=∠ACB=90°,∠A′BC′=∠ABC=60°,Rt△A′BC′可绕点B旋转,设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D.
(1)如图1所示,当点C′在AB边上时,判断线段AD和线段A′D之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时,
(1)中的结论是否成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角(0°≤α≤120°),当A、C′、A′三点在一条直线上时,请直接写出旋转角的度数.
考点:
几何变换综合题;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;等边三角形的判定与性质;旋转的性质;相似三角形的判定与性质..
答案析:
:
(1)易证△BCC′和△BAA′都是等边三角形,从而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°,∠DC′A′=∠DA′C′=30°,进而可以证到AD=DC′=A′D.
(2)易证∠BCC′=∠BAA′,从而证到△BOC∽△DOA,进而证到△BOD∽△COA,由相似三角形的性质可得∠ADO=CBO,∠BDO=∠CAO,由∠ACB=90°就可证到∠ADB=90°,由BA=BA′就可得到AD=A′D.
(3)当A、C′、A′三点在一条直线上时,有∠AC′B=90°,易证Rt△ACB≌Rt△AC′B(HL),从而可以求出旋转角α的度数.
解答:
答:
(1)AD=A′D.
证明:
如图1,
∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC,
∴BC=BC′,BA=BA′.
∵∠A′BC′=∠ABC=60°,
∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形.
∴∠BAA′=∠BC′C=60°.
∵∠A′C′B=90°,
∴∠DC′A′=30°.
∵∠AC′D=∠BC′C=60°,
∴∠ADC′=60°.
∴∠DA′C′=30°.
∴∠DAC′=∠DC′A,∠DC′A′=∠DA′C′.
∴AD=DC′,DC′=DA′.
∴AD=A′D.
(2)AD=A′D
证明:
连接BD,如图2,
由旋转可得:
BC=BC′,BA=BA′,∠CBC′=∠ABA′.
∴
=
.
∴△BCC′∽△BAA′.
∴∠BCC′=∠BAA′.
∵∠BOC=∠DOA,
∴△BOC∽△DOA.
∴∠ADO=∠OBC,
=
.
∵∠BOD=∠COA,
∴△BOD∽△COA.
∴∠BDO=∠CAO.
∵∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠ABC=90°.
∴∠BDO+∠ADO=90°,即∠ADB=90°.
∵BA=BA′,∠ADB=90°,
∴AD=A′D.
(3)当A、C′、A′三点在一条直线上时,如图3,
则有∠AC′B=180°﹣∠A′C′B=90°.
在Rt△ACB和Rt△AC′B中,
.
∴Rt△ACB≌Rt△AC′B(HL).
∴∠ABC=∠ABC′=60°.
∴当A、C′、A′三点在一条直线上时,旋转角α的度数为60°.
7、已知:
AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,E是直线AB上一动点(不与点A、B、G重合),直线DE交⊙O于点F,直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.
(1)如图1,当点E在直径AB上时,试证明:
OE·OP=r2
(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时,以如图2点E的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,
(1)中的结论是否成立?
请说明理由.
答案:
1)证明:
连接FO并延长交⊙O于Q,连接DQ.
∵FQ是⊙O直径,
∴∠FDQ=90°.
∴∠QFD+∠Q=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠P+∠C=90°.
∵∠Q=∠C,
∴∠QFD=∠P.
∵∠FOE=∠POF,
∴△FOE∽△POF.
∴OE/OF=OF/OP
∴OE·OP=OF2=r2.
(2)解:
(1)中的结论成立.
理由:
如图2,依题意画出图形,连接FO并延长交⊙O于M,连接CM.
∵FM是⊙O直径,
∴∠FCM=90°,
∴∠M+∠CFM=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠E+∠D=90°.
∵∠M=∠D,
∴∠CFM=∠E.
∵∠POF=∠FOE,
∴△POF∽△FOE.
∴OE/OF=OF/OP,
∴OE·OP=OF2=r2.
类型二、图形形状变
1、如图1,分别以△ABC的边AC与边BC为边,向△ABC外作正方形ACD1E1
和正方形BCD2E2,过点C作直线KH交直线AB于点H,使∠AHK=∠ACD1作
D1M⊥KH,D2N⊥KH,
垂足分别为点M,N.试探究线段D1M与线段D2N的数量关系,并加以证明.
(2)拓展延伸
①如图2,若将“问题探究”中的正方形改为正三角形,过点C作直线K1H1,K2H2,分别交直线AB于点H1,H2,使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1.作D1M⊥K1H1,
D2N⊥K2H2,垂足分别为点M,N.D1M=D2N是否仍成立?
若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
②如图3,若将①中的“正三角形”改为“正五边形”,其他条件不变.D1M=D2N是否仍成立?
(要求:
在图3中补全图形,注明字母,直接写出结论,不需证明)
图1图2图3
答案:
解:
(1)D1M=D2N.
证明:
∵∠ACD1=90°,
∴∠ACH+∠D1CK=90°
∵∠AHK=∠ACD1=90°
∴∠ACH+∠HAC=90°
∴∠D1CK=∠HAC
∵AC=CD1,
∴△ACH≌△CD1M
∴D1M=CH.
同理可证D2N=CH
∴D1M=D2N.
(2)①证明:
D1M=D2N成立
过点C作CG⊥AB,垂足为点G.
∵∠H1AC+∠ACH1+∠AH1C=180°,
∠D1CM+∠ACH1+∠ACD1=180°,
∠AH1C=∠ACD1,
∴∠H1AC=∠D1CM.
∵AC=CD1,∠AGC=∠CMD1=90°,
∴△ACG≌△CD1M.
同理可证CG=D2N.
∴D1M=D2N.
②作图
D1M=D2N还成立.
2、如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B、C、G三点在一条直线上,CE在边CD上,连接AF,若M为AF的中点,连接DM、ME,试猜想DM与ME的关系,并证明你的结论.拓展与延伸:
(1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则DM和ME的关系为DM=DE.
(2)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上,点M仍为AF的中点,试证明
(1)中的结论仍然成立.
猜想:
DM=ME
证明:
如图1,延长EM交AD于点H,
在△FME和△AMH中,
∴△FME≌△AMH(ASA)
∴HM=EM,
在RT△HDE中,HM=EM,
∴DM=HM=ME,
∴DM=ME.
故答案为:
DM=ME且DM⊥ME.
(2)如图2,连接AE,
∵四边形ABCD和ECGF是正方形,
∴∠FCE=45°,∠FCA=45°,
∴AE和EC在同一条直线上,
在Rt△ADF中,AM=MF,
∴DM=AM=MF,∠MDA=∠MAD,
∴∠DME=2∠DAM.
在Rt△AEF中,AM=MF,
∴AM=MF=ME,
∴DM=ME.
∴∠MAE=∠MEA,
∴∠FME=2∠MAE,
易证△ADM≌△AEM,则∠DAM=∠EAM,
∴∠DME=2∠DAM=90°,
即DM⊥ME.
综上所述,DM=ME且DM⊥ME.
3、如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)证明:
AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图2,探究展示
(1)、
(2)中的结论是否成立?
请分别作出判断,不需要证明.
答案:
1)证明:
延长AE、BC交于点N,如图1
(1),
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠ENC.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠ENC=∠MAE.
∴MA=MN.
在△ADE和△NCE中,
∴△ADE≌△NCE(AAS).
∴AD=NC.
∴MA=MN=NC+MC
=AD+MC.
(2)AM=DE+BM成立.
证明:
过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,如图1
(2)所示.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.
∵AF⊥AE,
∴∠FAE=90°.
∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE.
在△ABF和△ADE中,
∴△ABF≌△ADE(ASA).
∴BF=DE,∠F=∠AED.
∵AB∥DC,
∴∠AED=∠BAE.
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠FAB
=∠FAM.
∴∠F=∠FAM.
∴AM=FM.
∴AM=FB+BM=DE+BM.
(3)①结论AM=AD+MC仍然成立.
证明:
延长AE、BC交于点P,如图2
(1),
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠EPC.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠EPC=∠MAE.
∴MA=MP.
在△ADE和△PCE中,
∴△ADE≌△PCE(AAS).
∴AD=PC.
∴MA=MP=PC+MC
=AD+MC.
②结论AM=DE+BM不成立.
证明:
假设AM=DE+BM成立.
过点A作AQ⊥AE,交CB的延长线于点Q,如图2
(2)所示.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB∥DC.
∵AQ⊥AE,
∴∠QAE=90°.
∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE.
∴∠Q=90°﹣∠QAB
=90°﹣∠DAE
=∠AED.
∵AB∥DC,
∴∠AED=∠BAE.
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠QAB
=∠QAM.
∴∠Q=∠QAM.
∴AM=QM.
∴AM=QB+BM.
∵AM=DE+BM,
∴QB=DE.
在△ABQ和△ADE中,
∴△ABQ≌△ADE(AAS).
∴AB=AD.
与条件“AB≠AD“矛盾,故假设不成立.
∴AM=DE+BM不成立.
4、某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
(1)操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是
①②③④
(填序号即可)
①AF=AG=1/2 AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④MD⊥ME.
(2)数学思考:
在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量关系?
请给出证明过程;
(3)类比探究:
(i)在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状.答:
等腰直角三角形
.
(ii)在三边互不相等的△ABC中(见备用图),仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE,M是BC的中点,连接MD和ME,要使
(2)中的结论此时仍然成立,你认为需增加一个什么样的条件?
(限用题中字母表示)并说明理由.
答案:
:
答:
MD=ME,MD⊥ME,
1、MD=ME;
如图2,分别取AB,AC的中点F,G,连接DF,MF,MG,EG,
∵M是BC的中点,
∴MF∥AC,MF=AC.
又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线,
∴EG⊥AC且EG=AC,
∴MF=EG.
同理可证DF=MG.
∵MF∥AC,
∴∠MFA+∠BAC=180°.
同理可得∠MGA+∠BAC=180°,
∴∠MFA=∠MGA.
又∵EG⊥AC,∴∠EGA=90°.
同理可得∠DFA=90°,
∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA,
即∠DFM=∠MEG,又MF=EG,DF=MG,
∴△DFM≌△MGE(SAS),
∴MD=ME.
2、MD⊥ME;
证法一:
∵MG∥AB,
∴∠MFA+∠FMG=180°,
又∵△DFM≌△MGE,∴∠MEG=∠MDF.
∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°,
其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°,
∴∠DME=90°.
即MD⊥ME;
证法二:
如图2,MD与AB交于点H,
∵AB∥MG,
∴∠DHA=∠DMG,
又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH,
即∠DHA=∠FDM+90°,
∵∠DMG=∠DME+∠GME,
∴∠DME=90°
即MD⊥ME
●类比探究
答:
等腰直角三解形
【考点解剖】本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识,能力要求很高.
【解题思路】
(1)由图形的对称性易知①、②、③都正确,④∠DAB=∠DMB=45°也正确;
(2)直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系,一般由全等证线段相等,受图1△DFM≌△MGE的启发,应想到取中点构造全等来证MD=ME,证MD⊥ME就是要证∠DME=90°,由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF,△DFM中四个角相加为180°,∠FMG可看成三个角的和,通过变形计算可得∠DME=90°.(3)只要结论,不要过程,在
(2)的基础易知为等腰直角三解形.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 变式.docx
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)