初中相似三角形几何证明技巧.docx

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初中相似三角形几何证明技巧

初中相似三角形几何证明技巧

初中几何证明技巧（分类）

证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

*12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等。

证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

*11.利用半圆上的圆周角是直角。

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

证明角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。

2.利用角平分线的定义。

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。

2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。

*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

证明两角的不等

1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。

*4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。

2.利用内外角平分线定理。

3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

*5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。

6.利用比利式或等积式化得。

证明四点共圆

*1.对角互补的四边形的顶点共圆。

*2.外角等于内对角的四边形内接于圆。

*3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。

*4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。

*5.到顶点距离相等的各点共圆

一周强化

一、一周知识概述

（一）相似三角形

1、三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形，叫做相似三角形．用符号“∽”表示相似，读作“相似于”．

　　①当且仅当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；

　　②相似三角形的特征：

形状一样，但大小不一定相等；

　　③由相似三角形的定义知如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．

2、相似三角形对应边的比叫做相似比．

　　①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

　　②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比

，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．

　　③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．

（二）相似三角形的判定

1、相似三角形的判定：

　　判定定理1：

三边对应成比例的两三角形相似．

　　判定定理2：

两角对应相等的两个三角形相似．

　　判定定理3：

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

　　方法总结：

（1）判定两个三角形相似，至少需要下列条件之一：

①两角对应相等；②两边对应成比例且夹角相等；③三条边对应成比例．理解时，可类比全等三角形的判定方法．在①中，只要满足两个角对应相等，这两个三角形就相似，解题时关键是寻找对应角，一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角的余角（或补角）”都是相等的，这是常用的判定方法．

（2）已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理

（1）或判定定理（3）．但是，在选择利用判定定理（3）时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．

2、直角三角形相似的判定

　　如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”或“双直角三角形”，其应用较为广泛．

　　如图，可简单记为：

在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．所以AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·BD.

（三）相似三角形的性质

1、相似三角形的周长的比等于相似比．

　　如图，其符号语言：

2、相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

　　其符号语言：

如图

　　①∵△ABC∽△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，

　　②∵△ABC∽△A′B′C′，BF=CF，B′F′=C′F′，

　　③∵△ABC∽△A′B′C′，∠BAE=∠CAE，∠B′A′E′=∠C′A′E′，

　　性质

（1）与

（2）可简记为：

相似三角形中一切对应线段及周长之比都等于相似比．

3、相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

二、重点难点疑点突破

1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧

　　正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：

（1）相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角（或最小的角）一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；

（2）相似三角形中，一对最长的边（或最短的边）一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．

2、常见的相似三角形的基本图形：

　　学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：

①“平行线型”相似三角形，②“相交线型”相似三角形，③“旋转型”相似三角形．

　　从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．

三、典型例题讲解

1、寻找相似三角形

例1、如图，在□ABCD中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似的三角形（不含全等三角形）共有（　）

　　　A.6对　　　　B.5对　　　　C.4对　　　　　D.3对

解：

由AE∥DC，可得△AEG∽△CDG，△DFC∽△EFB.

　　由BC∥AD，可得△BFE∽△ADE，△FCG∽△DAG，△DCF∽△EAD.

　　故选B.

点评：

　　本题主要是考查相似三角形识别的掌握情况．可运用平行线去直接找相似三角形，也可利用相似三角形的判定定理来找相似三角形，但要注意不要漏找．

2、画符合要求的相似三角形

例2、在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．

（1）　　　　　　　　　　　　　　　　

（2）

分析：

　　设单位正方形的边长为1，则△ABC的三边为

，从而根据相似三角形判定定理1或3可画△A1B1C1，易得

点评：

　　在4×4的正方形方格中，满足题设的△A1B1C1只能画出以上三个，若正方形方格数不加限制，则和△ABC相似且不全等的三角形可以画无数个．

3、利用相似三角形定义求线段长

例3、已知△ABC中，AB=8，AC=6，点D，E分别在AB，AC上，如果以A，D，E为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，且相似比为

，求AD和AE的长．

分析：

　　通过相似比，将AD，AE的长转化到方程中求解．由于已知的两个三角形相似，并没有具体的对应关系，所以结论具有不确定性，应分类讨论．

解：

　　①如图

（1）所示，当△ADE∽△ABC时，有

，

，AE=2．

　　②如图

（2）所示，当△ADE∽△ACB时，

，

小结：

　　数形结合思想方法是解答有关相似三角形问题的基本方法．在解题时需借助图形深入理解数量之间的关系，并对问题进行全面的、进一步的分析与探索．

4、相似三角形的判定

例4、根据下列各组条件，判定△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．

（1）AB=3.5，BC=2.5，CA=4，A′B′=24.5，B′C′=17.5，C′A′=28；

（2）∠A=35°，∠B=104°，∠C′=44°，∠A′=35°；

　　（3）AB=3，BC=2.6，∠B=48°，A′B′=1.5，B′C′=1.3，∠B′=48°．

分析：

（1）中所给出的是两个三角形中的六条边的长，考虑用“三边对应成比例”；

（2）中给出的是两个三角形中的两组角，考虑用“两角对应相等”；（3）中给出的是两个三角形中的两组边、一组角，考虑用“两边对应成比例且夹角相等”．

解：

（2）因为∠C=180°－∠A－∠B=41°，∠B′=180°－∠A′－∠C′=101°，

　　　　所以两个三角形中只有∠A=∠A′，

　　　　所以△ABC与△A′B′C′不相似．

例5、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F．

　　求证：

（1）△ADF∽△EDB；

（2）CD2=DE·DF．

分析：

（1）△ADF与△EDB都是直角三角形，要证它们相似，只要再找一个角对应相等即可；

（2）注意到CD是斜边AB的中线，AD=BD=CD，由结论

（1）不难得出结论

（2）．

证明：

（1）∵DF⊥AB，∴∠ADF=∠BDE=90°，又∵∠F＋∠A=∠B＋∠A，

　　　∴∠F=∠B，∴△ADF∽△EDB．

（2）由

（1）得

，∴AD·BD=DE·DF．又∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，

　　　∴AD=BD=CD．故CD2=DE·DF．

点评：

　　本题综合考查了直角三角形的性质与相似三角形的判定等．这是一道阶梯型问题，第

（2）题根据

（1）得出有关比例式，然后使用“等线代换”使问题简捷获证．其实第

（2）题也可这样思考：

把它转化为比例式，证明这三条线段所在的△CDE∽△FDC．请同学们完成这一证明．

例6、如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．

　　求证：

．

分析：

　　待证式中的四条线段不是在两个三角形中，无法直接根据两个三角形相似得出，需要插入一个“中间比”，由题设易证△ABE∽△ACF，△BDE∽△CDF，从中不难找到这个中间比．

证明：

　　∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2．

　　∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠3=∠4=90°，

　　∴△ABE∽△ACF，

点评：

　　①当无法直接由两个三角形相似得出结论中的比例式时，一般可寻找“中间比”帮忙；

5、相似三角形的性质的应用

例7、如图所示，D是BC上一点，△ABC∽△DBA，E，F分别是AC，AD的中点，且AB=28，BC=36，求BE∶BF．

解析：

　　BE，BF分别是△ABC，△ABD中AC，AD边上的中线，而AC，AD又恰是相似三角形ABC和三角形DBA的一组对应边，因而考虑利用相似三角形对应中线的比等于相似比来解答．

　　因为△ABC∽△DBA，且BC=36，AB=28，所以相似比

．

　　又因为BE，BF分别是△ABC，△ABD中AC，AD边上的中线，

．

点拨：

　　利用相似三角形对应线段的比等于相似比的性质解决问题时，注意把相似三角形的对应元素确定准确．

例8、如图所示，PN∥BC，AD⊥BC，交PN于E，交BC于D．

分析：

　　首先，先说明△APN与△ABC相似，再根据相似三角形的性质和比例的有关知识结合已知条件，就可求出这三个问题的结论．

解：

（1）因为PN∥BC，所以可得△APN∽△ABC．

　　又因为相似三角形面积比等于相似比的平方，

　　因为S△ABC=18cm2，所以S△APN=2cm2．

小结：

　　两个三角形相似，具有的性质包括：

（1）周长比等于相似比；

（2）对应高（中线、角平分线）的比等于相似比；（3）面积比等于相似比的平方．本题的关键是由相似三角形面积的比等于相似比的平方这一性质建立比例式，列方程求解，体现了数形结合的思想．

例9、如图，△ABC是一块直角三角形余料，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，现要把它加工成正方形零件，试说明哪种加工方法的利用率较高．

分析：

　　此题实质上是比较两种图形中正方形的面积的大小，即比较这两个正方形的边长的大小．

解：

（1）如图

（1），设正方形CDEF的边长为xcm．

　　　∵EF∥AC，

．

　　　解之得

．

（2）如图

（2），设正方形DEFG的边长为ycm．

　　　　作CN⊥AB于N，交DG于M．

　　　　由勾股定理得AB=10cm．

　　　　由

，得

　　　　AC·BC=AB·CN．

．

　　　　∵DG∥AB，∴△CDG∽△CAB．

（相似三角形对应高的比等于相似比）．

　　　　即

．解之，得

．

　　　　由于

．所以第

（1）种加工方法的利用率较高．

反思：

　　有关三角形的内接正方形、矩形的问题的解题方法，通常是利用三角形对应高之比等于相似比，当题目中无高时可考虑作适当的垂线段以帮助解题．

一、填空题

1.如果线段a、b、c、d是成比例线段且a=3，b=4，c=5，则d=______________；

2.如果两个相似三角形对应高的比为4∶5，那么这两个相似三角形的相似比为____________；对应中线的比为____________；对应角平分线的比为____________；对应周长的比为____________；对应面积的比为____________.

图4－70

3.如图4－70，线段AC、BD相交于点O，要使△AOB∽△DOC，应具备条件___________，还需要补充的条件是______________或______________或______________.

4.两个相似三角形的最短边分别是9cm和6cm，它们的周长和是60cm，则大三角形的周长=______________cm，小三角形的周长=______________cm.

二、选择题

1.两地实际距离是500m，画在图上的距离是25cm，若在此图上量得A、B两地相距为40cm，则A、B两地的实际距离是

A.800mB.8000m

C.32250cmD.3225m

2.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，该图中共有x个三角形与△ABC相似，x的值为

A.1B.2

C.3D.4

3.下列各组三角形中，相似的为

A.△ABC中，∠A=35°,∠B=50°

△A′B′C′中，∠A′=35°,∠C′=105°

B.△ABC中，AB=1.5，BC=1.25，∠B=38°

△A′B′C′中，A′B′=2,B′C′=

∠B′=38°

C.△ABC中，AB=12，BC=15，AC=26

△A′B′C′中，A′B′=20，B′C′=25，C′A′=40

图7－71

三、解答题

如图4－71，已知△ADE∽△ABC，AD=3cm，DB=3cm，BC=10cm，∠A=70°、∠B=50°.

求：

（1）∠ADE的度数；

（2）∠AED的度数；

（3）DE的长.

参考答案：

一、1.d=

2.4∶54∶54∶54∶516∶25.

3.∠AOB=∠DOC∠B=∠C∠A=∠D

4.36cm24cm

二、1.A2.B3.B

三、

（1）50°

（2）60°（3）5cm

相似图形精选练习

1、已知：

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E．

求证：

（1）△ABC≌△DCB；

（2）DE·DC＝AE·BD．

2、如图，在△ABC中，∠CAB=60°，点D是△ABC内的一点，使∠CDA=∠ADB=∠CDB.

求证：

线段DA是线段DB、DC的比例中项.

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，边AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，BG⊥AB，交EF于点G．

求证：

CF是EF与FG的比例中项．

4、如图，在正方形ABCD中，F是BC上一点，EA⊥AF，AE交CD的延长线于E，连结EF交AD于G.

（1）求证：

⊿ABF≌⊿ADE；

（2）求证：

BF·FC＝DG·EC；

5、如图3，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE=DF，∠EDF=∠A．

（1）找出图中相似的三角形，并证明；

（2）求证：

．

6、如图，△ABC中D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连结AE.

求证：

（1）ED=DA；

（2）∠EBA＝∠EAB；（3）BE2=AD·AC

7、如图△ABC中，∠B=∠C=α（0<α<600）.将一把三角尺中300角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中300角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合.设∠CPQ=β.

（1）用α、β表示∠1和∠2；

（2）①当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP∽△PCQ？

②当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP∽△QCP？

（3）试探索有无可能使△ABP、△QPC、△ABC两两相似？

若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由.

参考答案：

1、证明：

（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB，

∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD，

（2）∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，

∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC，

∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，

∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB，∴△ADE∽△CBD，

∴DE︰BD＝AE︰CD，∴DE·DC＝AE·BD．

2、解：

∵∠CDA=∠ADB=∠CDB，∴∠CDA=∠ADB=∠CDB=120°

∴∠ACD=180°-120°-∠CAD=60°-∠CAD.

又∵∠CAB=60°，∴∠BAD=60°-∠CAD.

∴∠ACD=∠BAD.∴△ACD∽△BAD.

∴

.∴

.

即线段DA是线段DB、DC的比例中项.

3、证明：

∵EF⊥AC，BC⊥AC，∴EF∥BC．

∵AE=CE，∴AF=FB．∴CF=AF=FB．

∵∠AFE=∠GFB，∠AEF=∠GBF，∴△AEF∽△GBF．

∴

．∴

．

∴CF是EF与FG的比例中项．

4、证明:

（1）

.

（2）∵

DG∥CF

∴

又

∴

5、

（1）解：

△DEF∽△ABC，△BDE∽△CEF．

证明如下：

∵AB=AC，DE=DF，∴

．

∵∠EDF=∠A，∴△DEF∽△ABC．∴∠DEF=∠B=∠C．

∵∠BED+∠DEF=∠C+∠CFE，∴∠BED=∠CFE．∴△BDE∽△CEF．

（2）证明：

∵△BDE∽△CEF，∴

．

∵△DEF∽△ABC，∴

．∴

．

6、证明:

（1）∵CE⊥BD∴∠CED=90°又∠BDC=60°∴∠ECD=30°

∴CD=2ED∵CD=2DA∴ED=DA

（2）∵ED=DA∴∠DEA=∠DAE

∵∠EDC=60°∴∠EAD=∠DEA=30°

∵∠BAD=45°∴∠EAB=15°

又∠BDC=∠DBA+∠BAD∴∠DBA=15°

∴∠EAB=∠EBA

（3）∵∠EAB=∠EBA∴BE=AE

∵∠AED=∠ACE∴△AED∽△ACE

∴

∴AE2=AD·AC即BE2=AD·AC

7、解：

（1）∠1=1500－β，∠2=300+β－α；

（2）①由β=∠2或∠1=∠CQP，解得α=300.

∴当β在许可范围内变化时，α=300总有△ABP∽△PCQ.

②由β=∠1或∠2=∠CQP，解得β=750.

∴当α在许可范围内变化时，β=750总有△ABP∽△QCP.

（3）可能.①α=300，β＝300；②β=750，α=52.50．