专题04保值问题解析版.docx
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专题04保值问题解析版
专题四保值(倍值)问题
对于函数,=/(“若存在区间[厲几当氏[“上]时,/(Q的值域为[ka、kb]伙>0),则称y=/(Q为斤倍值函数,特别地,R=1时,称为保值函数.此类问题可转色为对步“不动点”、“稳泄点”问题,也可转化为方程同解问题,考查分类讨论、等价转化、数形结合、函数与方程等重要思想方法.综合能力要求较髙,属难题.
(輿例剖析J
类型一单调函数中保值问题
典例1已知关于X的函数f(x)=(1~/)V~-(/eR)的定义域为D,若存在区间[“,b]cD使得/⑴的
-X
值域也是则当f变化时,b—a的最大值为.
2L
【答案】
3
—t"
【计Hr1fi先现察到因安/(-V)=——=1—/+—为丈乂炜内竺増凶数:
世仃:
心)=(1_W_厂=“
,得到/(x)==工,贝Ijx2-(l-z)x+r=0.
类型二非单调函数中保值问题
典例2若函数f(x)=-1A-4d3在区间[“"]上的最小值为2a,最大值为2b,求[仏b]・
22
【答案】[1,3]或「一2-JT7.0・
L4」
【解析】分如卜三种情形来讨论区间"切・
(1)当“<比0时./(X)在区间[仏切上单调递增,所以f(a)=2a,f(b)=2b.
J
一'广+=2a,i13113
2T所以sb是方程一丄x2-加+竺二0的两个不同实根,而方程一丄”-"+竺=0的MH
1广丄13“2222
一_/r+—=2b.
22
异号,不可能.
(2)当a<0 13 +—=—>0. 232 山f(0)=2b9得b=—. 而a<09故f(b)#2a9所以f(a)=2ci>HP二”/七严二加.22 解方程,得“=-2-厲'•此时[a,b]J-2-/n,^. L4」 (3)当Odvb时,f(x)在0,可上递减,于是f(a)=2b・f(b)=2a. 2T 即]ii;解方程组,得“=1,心3,此时[匕切=[1,3]・ -*/r+L=2・ I27 综上所述,所求的区间[心]为[1,3]或「-2-JT7.0・ L4」 类型三单调函数中倍值问题 典例3对于函数y=/(x),若存在区间["],当比[〃]时,/(Q的值域为[ka.kb](k>0),则称 y=/(x)为《倍值函数。 若f(x)=\nx+x是灯咅值函数’则实数R的取值范围是「・ 【答案】",1+门 0丿 Ina+a=ka 【解析】观察到函数f(£)=lnx+x为增函数,那么\,则: [/(/? )=Inb+b-kb \nx+x=kx在[“]上有两个互异正根,转化为k-\: 令g(x)=nX>得到g(x)=nx>Eg'(x)>0: 当0 且-Ix=1时, V~? ~ g(£)=0;当戈•>«时,g(x)>0(此处易错! ): 画出图像: 则有: Ov—C,即“严片 类型四非单调函数中倍值问题 典例4.已知函数/⑴=)-丄,若存在实数a,b(a HOjneR),则实数m的取值范鬧为 【答案]'oA* 1idr丄21 【解析】/(x)=l—才=[,/H>0,0<6/ L-l,O 17(。 )= (1)a,be(0,1)<=>a=b.舍去' Lj(b)=mb \f(a)=ma (2) n/.r-.v+l=0两个kF1的根,所以 a,be(l,+oo),[/(/”=讪=>“,b为方程 ml^-bH>O.-.O <4 丄>1 I2m (3)ae(0,1),b>1,/ (1)=0,ma>O/.O^[ma,mb],舍去 •实数加的取值范用为joA*I4> 十»d八—r♦-«>HAV-»V驻的匕 精选名校模枫 ■ifiiS? •«—•*•*•vxafi弋・r««sar**•wa 1.若函数/(x)=m-7a-+3的左义域为[。 上],值域为[“,"],则m的取值范用是. 【答案】二)5—2 4 【解析】观察得到函数/⑴在区间s.b]为减函数,则有: a=f(b)=m-Jb+3① h=f(a)=m_Jci+3② 由①②得到: m=a+Jb+3=b+Ja+3③: a_b=Ja+3-Jb+3④: 2〃】=a+/? +Ja+3+Jb+3⑤: 令『=Jci+3,s=Jb+3,仃a=/'-3〃=F-3: 代入④得到r-r=/-5.即『+$=1,其中0<,<1. 那么代入⑤得到2m=/2+52-6+/+5=r+r-5 =(1-5)2+52-5=2.y2-2.? -4 =2(s-2)2-L 22 由OG<$S1可知1<5<1,利用二次函数图象可知-9_<2m<-4, 22 1! |•-] 4 2.对于区间[ab],若函数/(x)R时满足下列两个条件: ①函数/(对在[d,b]上是单调函数: ②函数/(力 当定义域为⑺上]时,值域也为⑺上]»则称区间[a,方]为函数f(x)的“保值区间”. (1)写出函数y=x2的保值区间; (2)函数y=x2+m(m^O)是否存在保值区间? 若存在,求出相应的实数加的取值范風 若不存在,试说明理由. [答案】 (1)[0,1] (2)”』-1, _'4丿I‘4丿 【解析】解: ⑴[0,1] ⑵由题易得: [a,b]匸(-8,0],或者[«,/? ]c[0,+co) (i)当[d,b]u[0,+8)时,此时丫⑷则可将0“视为方^.x2-x+m=0的两个非负实数根,则 [fW=b 「1一4加>0 (1) <1=>〃疋|0,—: [m>0I4丿 f/(Z>)=tz[b1+m=a (ii)时,\=><;=>d+b=_l [f(a)=b[a2+m=b —〃7=Z? ~+/? +1 <,=>可将问题转化为方程-m=^+x+\冇两个非负实数解 一〃? =(r+a+1 数形结合可得mw「-1-f,综上: “e「-1「3'u〔0I' 八丿m 3.已知函数f(x)=^+ax+b的图像关于坐标原点对称,且与x轴相切. (1)求实数a.b的值: (2)是否存在实数m使函数g(x)=3—|/3|在区间[加川]上的值域仍为[加丿]? 若存在,求出加,"的值: 若不存在,说明理由. 【答案】 (1)a=b=0 (2)不存在 【解析】 (1)/(0)=b=0,广©)=3$'+"=0,/(^)=不'+%+b=0: .x=a=0. 3-x^,x>0〔g(加)=加 (2)gM=、时s,加J为方程=x两根,而方程3+x3=x仅有 [3+x,x<0〔gS)=〃 fe(/? Z)=72oo0 •根,听以舍去: : Ii0 /? <1二>3—nf>2>n,舍去: 〔gS)=ifJ tn<0 4.若函数>-=/(x)(xeD)同时满足下列条件: ①/(Q为D上单调函数;②存在区间[a,b]^D,使 /(x)在[么切上的值域为0,b]: 则>-=/(x)nq做闭函数.若函数y=k+47+2是闭函数,求实数k的取值范围是. 9 【答案】(一一,一2] 【解析】首先,观察到函数y=k+47^2为匸Z域内单调丸•: 则有: /(a)=Ju+2+«=a <<=>/(a)=yjx+2+k=x在 f(b)=Jb+2+k=h [4b]内有两个互异实根. 亦即: 方程>/x+2=x-k在宓对内有两个互异实根<=>yi=>/x+2»jy2=x-k的图像有两个不同的交99 小;下画出图像: 得到M线的纵截丽Tle[2,丄时,;从而得到ke(r_,一2]・ 44 5.数y=f(x)的立义域为£>,若满足: ①/(X)为D上单调函数;②存在区间[a.b]QD,使/“)在 [“刃上的值域为[-»-“]: 则y=/(A)叫做对称函数.现有y=yll^c-k是对称函数,那么实数R的取 值范围是. 9 【答案】[2,亠 4 【解析】首先,: 、'=二一k为处心: 则仃: f(a)=(2一u—k=-Q —k=在[。 力]内有两个互异实根. f(h)=y/2^b^k=-b 」卩: 方丹丁口=-x+R任S,切内有两个互异实根'jy2=-x+k的图像有两个不9 同的交讥;数形结合得到当直线的纵截距ke[2J时,满足题意・ 4 6. 若函数/(X)=J7二1+〃7任区间[匕可上的值域为 怜则实数加的取值范围为 1 【答案】(0,4 2 +m=- 2 【解析】件先•观察到凶数/(j)=VT-T加为启义域内单调增函数: 则冇: of(v)=V^T+加='a[h+s)上有两个不同的根: X 再转化为・y=y/x-l和『=一一加有两个交点,利用图像: 2 忤先,加』时,过(1,0)点与曲线有两个交点: 其次.切的临界情况,可利用平方后二次函数的△=()得到m=0;(避免求导)•则得到me(0J; 2 3 (1)求/1(a): (2)是否存在实数屈刀冋时满足下列条件: ®^3;②当加“)的定义域为[刀方时,值域为[丘屈? 若存 3 (1<«<3) (2)不右" 3 (a>3) 【解析】解: ⑴•••血[一1,1],・・・e|lsj 33 设f=则恥=f—2m+3=(/—a)2+3-" i33i 当av时,y=h(ci)=(/>_282a min 讨5心3时,>min=^)=^)=3-,2: %>3时,ymin=h(a)=旅3)=12-6a. f28_2a(a<\ 933 /.h(a)=j3-a2(l 3 12-6d(a>3) » (2)9: m>n>3.: .h(a)=\2-6a在(3,+oc)上是减函数. Vh(a)的定义域为[n月: 值域为S,剧, [12-6/H=/r, 可彳】6(/r? 一n)=(m一n)(m+n).12-6/j=w\ jn>n>3,•••硏用6,但这fJm>n>3''矛盾. •••满足题意的加n不存在.
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