数学一轮课件文科苏教江苏专用第五章平面向量53.docx
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数学一轮课件文科苏教江苏专用第五章平面向量53
•第3讲平面向量的数量积
•考试要求1•平面向量数量积的含义及其物理意义,:
B级要求;2.平面向量的数量积与向量投影的关系,A级要求;3.数量积的坐标表示z数量积的运算,C级要求;4.用数量积表示两个向量的夹角,判断两向量垂直,B级要求.
•知识梳理
•1.平面向量的数量积
•
(1)定义:
已知两个非零向量a与方,它们的
夹角为仇则数量叫作。
与方的数量
积(或问肉&积),记作ab,即ab=,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a=0.
•
(2)几何意义:
数量积。
•方等于a的长度1创与
方在a的方向上的投影的乘积.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量°=(兀1,力),b=g,力),0为向量a,方的夹角.
(1)数量积:
U'b=Ittll^lcOS&=兀1兀2+力歹2・
(2)模:
lal=^a=^4+ji.
(3)夹角・cose=d=「血+严2
(3)犬用•cose⑷沥陶孑.屈石
⑷两非零向量a丄b的充要条件:
必=00中2+阳2=0.
(5)la・〃lWlall方1(当且仅当a//b时等号成立)oLxik+wIW
3.平面向量数量积的运算律
⑴ab=b・a(交换律).
(2)加/=A(ab)=/(肪)(结合律).
(3)(a+b)・c=a・c+方・c(分配律).
•诊断自测
•1.思考辨析(在括号内打“广或“X”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.@)
(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算
的运算结果是向量.卩)
(3)两个向量的夹角的范围是]0,寸(X)
(4)若刈>0,则a和0的夹角为锐角;若ab<0,则a和方
的夹角为钝角.(X)
(5)a•方=a・c@H0),则b=c.(x)
•2.已知lal=5,I方1=4,a与方的夹角0=120°
则向量〃在向量a方向上的投影为
■
•解析由数量积的定义知,方在a方向上的投影为:
•I6lcos0=4Xcos120°=-2.
•答案一2
•3.设向量。
=(1,cos0)与方=(―l,2cos0)垂直,贝Ocos20等于.
解析利用向量垂直及倍角公式求解.
•«=(1,cos<9),6=(-l,2cos°)•
•Ta丄b,/.ab=-1+2cos20=0=cos26,
•答案0
4.(2014新课标全国II卷改编)设向量伉,方满足la+^l=Vlb,
\a—b\=^6,贝I」a・b=・
解析Vl«+^l=V10,:
.a2+2ab+b2=10.①又la—b\=\[6,•.(r—2a-b-\~b~=6.®由①一②,得4a・b=4,即ab=l.
•答案1
5・(2014-山东卷改编)已知向量«=(1,书),b=(3,m).若向量
7T
a,b的夹角为石,则实数加=•
解析Ta=(l,羽),〃=(3,m),
・・・1创=2,\b\=\j9+m,a.b=3+©n,
TT
又a,〃的夹角为石,
•ab7T
••丽=cosG3+V3m__也
即2X倂K2,・°•书+加=寸9+加2,解得加=书.
答案a/3
•考点一平面向量的数量积
【例1】
(1)(2014-重庆卷)已知向量。
与方的夹角为60。
,且。
=
(-2,一6),I勿=価,贝\\a-b=.
(2)(2015-苏北四市调研)已知正方形4BCD的边长为1,点E
是4B边上的动点,则庞・囱的值为;庞•万b的最大值为
•深度思考对于第
(2)小题同学们首先想到的方
:
法一利用定义;法二利用向量的坐标运算;
法三利用数量积的几何意义,你不妨试一试・
D
。
•方=lallblcos{a,b}=2^10X^/10Xcos60°=10.
⑵法一如图,
DECB=(DA+AE)・CB=
DACB+AECB=DA2=1,
DEDC=(DA+AEyDC=DADC+AEDC
=a£-5c=iaeiidci 法二以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(l,0),C(l,l),2)(0,1),设E(f,0),re[0,l],则旋=(》,-1),CB=(0,-1),所以DECB=(t,—1)(0,—1)=1. 因为5c=(l,0),所以DEDC=(t,一1)・(1,O)=/W1, 故庞•范的最大值为1. 法三由图知,无论E点在哪个位置,庞在囱方向上的投影都 是CB=1, 当E运动到〃点时,旋在庞方向上的投影最大即为QC=1,・・• (DE.DC)max=\DC\1=1.A,早B •答案 (1)10 (2)11/ •规律方法 (1)求两个向量的数量积有三种方法: 利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义. (2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补 兀■p 【训练11 (1)己知两个单位向量引,e2的夹角为j若向量〃1=引一2e2,b2=3ei+4e2,则bvb2—• (2)已知点A,B,C满足厢1=3,I荒1=4,I应1=5,WJAB.BC +BCCA+CAAB的值是• 解析 (1)^1•方2=21—2e2)・(3ei+4巾) =3ei_2e1_8就 兀C< =3—2X1X1Xcosg—8=—6. 7T (2)法一如图,根据题意可得△ABC为直角三角形,且Bp A3小4 coscosC=p /.ABBC+BCCA+CAAB=BCCA+CAAB=4X5cos(7c—C)+5X3cos(7c—A) =—20cosC—15cosA 43 =-20X--15X- 法二易矢flAB+BC+CA=O, 将其两边平方可得為? +衣;2十乙? +2(為•荒+為•乙+荒•乙)=0,®AB^+ABCA+BCCA=-|(A52+BC2+CA2)=-25. •答案 (1)—6 (2)-25 •考点二平面向量的夹角与垂直 •【例2】 (1)平面向量〃满足lal=l,161=2,且(a+b)•(«—26)=—7,则向量a,〃的夹角为 ◎已知向量乔与花的夹角为120°,且I乔1=3,I花1=2•若乔 =AAB+AC,且乔丄荒,则实数久的值为. 规律方法 (1)根据平面向量数量积的性质: 若°,〃为非零向量, a・b cos0=爾函(夹角公式),a丄bOab=0等,可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. •【训练2】⑴已知a=(2,-1),6=(A,3),若o与方的夹角为钝角,贝收的取值范围是 • (2)已知两个单位向量°,方的夹角为60°, c=ra+(l—丫)方.若方c=0,贝b=. 3解析⑴由a・bvO,即2A—3<0,解得久V㊁•由a//b,得 6=—2,即2=—6,此时,b=—3a,ab<0,但a与b的夹角 3 为兀•因此久vy且久H—6. (2)V^-c=ft-[to+(l—t)b]=fa・b+(l—t)b2=t\a\- Iblcos60°+(1—t)\b\2=^t~\~1—1=—㊁f+1=0,t=2. 3)答案 (1)(—oo,—6)U^—6,2) (2)2 考点三平面向量的模及应用 【例3】 (1)已知向量a,b均为单位向量,它们的夹角为刍则 \a-\~b\=. (2)(2014-湖南卷)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-l,0), 5(0,书),C(3,0),动点D满足ICDI=1,贝\i\OA+OB+OD\ 的取值范围是・ 7T 解析 (1)因为向量a,〃均为单位向量,它们的夹角为亍所以 \a~\~b\=\l(a-\~b)2=\Ja2-]r2a-b-]-b2= (2)由1&)1=1知,点。 是以C为圆心,1为半径的圆上的动点,设D(x,y),则(兀一3尸+y2=l.\OA+OB+5bl=-^(x-l)2+(j+^3)2表示点D到点P(l,—呵的距离. 又I花1=寸(3—1『+(0+何=仃因此\/7-l (1)书 (2)[a/7-1,W+1] 规律方法 (1)求向量的模的方法: ①公式法,利用\a\=y^a及(a±b)2=\a\2±2a-b-\~\b\2,把向量的模的运算转化为数量积运算;②几何法,利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作岀向量,再利用余弦定理等方法求解. (2)求向量模的最值(范围)的方法: ①代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;②几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解. 【训练3】已知直角梯形ABCD中,ZADC=90°, AD=2,BC=1,P是腰DC±的动点,则lS+3PB啲最小值 为・ 解析以D为原点,分别以D4,DC所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设£>C=。 ,DP=x, AD(O,O),A(2,0),C(0,a)9B(l,a)9P(0,x).B4=(2,-%),PB =(1,a—x), AB4+3PB=(53^-4x), I鬲+3芮|2=25+(3a—4x)2225, 当时取等号.「.I鬲+3庞I的最小值为5. •答案5 •[思想方法] •1•计算数量积的三种方法: 定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用• •2.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. [易错防范] 1. (1)0与实数0的区别: 0a=0H0,a+(—a)=0H0,a・0=0H0; (2)0的方向是任意的,并非没有方向,0与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系. 2.ab=0不能推出a=0或b=0,因为ab=0时,有可能a丄 b. 3.在运用向量夹角时,注意其取值范围[0,冗]. 4.在用\a\=\[a2求向量的模时,一定要把求出的/再进行开方.
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- 数学 一轮 课件 文科 江苏 专用 第五 平面 向量 53