安徽大学07081B《量子力学》试题及答案.docx
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安徽大学07081B《量子力学》试题及答案
安徽大学2007—2008学年第1学期
《量子力学》考试试卷(B卷)
(时间120分钟)
题号
一
二
三
四
总分
得分
阅卷人
一、简答题(每小题5分,共20分)
1.束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
2.一质量为的粒子在一维无限深方势阱V(x)=⎧0,
0 中运动,写出其状态波函数和能级表达式。 ⎨∞, x<0, x>2a 3.写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。 4.电子自旋假设的两个要点。 二、填空题(每小题5分,共20分) 5.用球坐标表示,粒子波函数表为 ψ(r,θ,ϕ) ,则粒子在立体角dΩ中被测到的几率为 。 z 6.(L2,L)的共同本征函数是,相应的本征值分别 是和。 7. ⎡⎣z,pz⎤⎦= ,⎡⎣Lx,Lz⎤⎦= ,[y,Lz]=, ⎡⎣σy,σx⎤⎦= ,⎡⎣Ly,pz⎤⎦= 。 ⎛ψ(r,/2)⎫ 8.完全描述电子运动的旋量波函数为ψ (r,sz)=ç ⎪,则 ψ(r,/2)2 ⎝ψ(r,-/2)⎭ 表示, ⎰d3rψ(r,-/2)2表示。 三、证明题(每小题10分,共20分) p2 9.一维运动中,哈密顿量 H=+V(x),证明: 2m ip2dd ①[x,H]= = mmdx ;②[p,H]=-idxV(x)。 10.在直角坐标系中,证明: [L,p2]=0,其中L为角动量算符,p为动量算符。 四、计算题(共40分) 11.设粒子处于一维无限深势阱 V(x)=⎧0, 0 ⎩ ⎨∞, x<0或 x>a 中,求处于定态ψn(x)中的粒子位置x的平均值。 (10分) 12.一质量为m的粒子在一维势箱0 2⎛1πx3πx⎫ ψ(x)= çsin+ a⎝2a sin⎪ 2a⎭ ①该量子态是否为能量算符H的本征态? ②对该系统进行能量测量,其可能的结果及其所对应的概率为何? ③处于该量子态粒子能量的平均值为多少? (15分) 13. 一维无限深势阱(0 H'=⎧2λx/a, ⎩ 0 a/2 的作用,求基态能量的一级修正。 (15分) 2007-2008学年第一学期《量子力学》(B)卷参考解答及评分标准 一、简答题 1.束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 答: 束缚态: 粒子在一定范围内运动,r→∞时,ψ →0。 能级分立。 非束缚态: 粒子的运动范围没有限制,r→∞时,ψ不趋于0。 能级连续分布。 2. ⎩ 一质量为的粒子在一维无限深方势阱V(x)=⎧0, 0 中运动,写出其状态波函数和能级表达式。 ⎨∞, x<0, x>2a 解: ψ ⎧ (x)=⎪ ⎪ ⎩ π22n2 sinnπx, 2a 0, 0 x≤0,x≥2a En= 8μa2, n=1,2,3, 3.写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。 解: ψ (x)=Ae-α2x2/2H (αx),An=。 E=⎛n+1⎫ω, n=0,1,2, 2 nç⎪ ⎝⎭ 4.电子自旋假设的两个要点。 解: (1)电子具有自旋角动量s,它在空间任意方向的投影只有两个取值: ±2; (2)电子具有自旋磁矩M,它的回转磁比值为轨道回转磁比值的2倍, 即 自旋回转磁比值 gs= =e=2⎛取 mc⎝ e 2mc 为单位⎫, ⎭ 轨道回转磁比值 gl= =e 2mc =1。 二、填充题 5.用球坐标表示,粒子波函数表为 ψ(r,θ,ϕ) ,则粒子在立体角dΩ中被测到 ∞ 的几率为P=dΩ⎰ψ(r,θ,ϕ)2r2dr0 6.(L2,L)的共同本征函数是球谐函数Y (θ,ϕ) ,相应的本征值分别是 L2Y z (θ,ϕ)=l(l+1)2Y (θ,ϕ) lm 和LY(θ,ϕ)=mY (θ,ϕ)。 7. ⎣⎡z,pz⎦⎤=i ⎣⎡Lx,Lz⎦⎤=-iLy [y,Lz]=ix ⎡⎣σy,σx⎤⎦=-2iσz⎡⎣Ly,pz⎤⎦=ipx ⎛ψ(r, /2)⎫ 8.完全描述电子运动的旋量波函数为ψ (r,sz)=ç ⎪,则 ψ(r,/2)2表示电子自旋向上(s ⎝ψ(r,-/2)⎭ =2)、位置在r处的几率密度; ⎰d3r ψ(r,-/2)2表示电子自旋向下(s =-2)的几率。 三、证明题 9.一维运动中,哈密顿量 2 H=+V(x),证明: 2m ip2dd [x,H]= = mmdx ,[p,H]=-idxV(x)。 []=1[ 2]=1⋅2 =ip=2d 证: x,H 2mx,p 2mipm , mdx [p,H]=[p,V(x)]=-i dV(x)。 dx 10.在直角坐标系中,证明: [L,p2]=0,其中L为角动量算符,p为动量算 符。 证: [L p2]=[L,p2+p2+p2]=[L,p2]+[L,p2] xxxyzxyxz =py[Lx,py]+[Lx,py]py+pz[Lx,pz]+[Lx,pz]pz =i(pypz+pzpy)-i(pzpy+pypz)=0; 同理, [L,p2]=0, [L,p2]=0 所以 [L,p2]=0 四、计算题 11.设粒子处于一维无限深势阱 V(x)=⎧0, 0 ⎩ ⎨∞, x<0或 x>a 中,求处于定态ψn(x)中的粒子位置x的平均值。 解: ψ ⎧ (x)=⎪ sinnπx, a 0 2a ⎪0, nπx x<0或 a x>a x=⎰sin2xdx=。 a0a2 12.一质量为m的粒子在一维势箱0 2⎛1πx3πx⎫ ψ(x)= çsin+ a⎝2a sin⎪ 2a⎭ ①该量子态是否为能量算符H的本征态? ②对该系统进行能量测量,其可能的结果及其所对应的概率为何? ③处于该量子态粒子能量的平均值为多少? 解: ①在此一维势箱中运动的粒子,其波函数和能量表达式为 ⎧ ψn⎨ ⎪0, sinnπx, a 0 x≤0或x≥a n2π22 En2μa2, n=1,2,3, 对波函数的分析可知 ψ(x)=1ψ 2 1(x)+ 3(x) 23 即粒子处在ψ1(x)和ψ3(x)的叠加态,该量子态不是能量算符H的本征态。 ②由于ψ(x)是能量本征态ψ1(x)和ψ3(x)的线性组合,而且是归一化的,因此能量测量的可能值为 π22 E1=2μa2, π22 E3=2μa2 其出现的概率分别为 ⎛1⎫21 ⎛3⎫23 ç2⎪=4, ç⎪= 24 ⎝⎭⎝⎭ ③能量测量的平均值为 13⎛13⎫π22 7π22 E=4E1+4E3=ç4+4⨯9⎪2μa2= 2μa2 ⎝⎭ 13.一维无限深势阱(0 H'=⎧2λx/a, ⎩ 0 a/2 的作用,求基态能量的一级修正。 0a2a 解: 一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为 (0)=π22n2 (0) nπx En (0) 2μa2 π22 ψn = (0) sin a πx n=1,2,3, 基态, E1=2μa2, ψ1= sin。 a 基态能量的一级修正为 E (1)=H'=⎰ ψ(0)2' =2⎰a 2sin2πx⋅2λxdx+2⎰a sin2πx⋅2λ⎛1-x⎫dx。 a0aa aa2aç⎪ 作变换: u=πx, a x=au, π dx=adu; p 代入上式完成积分: v=π-πx, a x=a-av, p dx=-adv。 p (1) 1 =4λ π2 π2 ⎰sin2 0 u⋅udu-4λ ππ2 sin 2(π-v) ∙vdv 8λπ2 ⎛12⎫ =π2 sin2u⋅udu=ç 0⎝2 +⎪λ, π⎭ (0) (1) π22⎛12⎫ E1=E1 + E1 =2μa2+ç2+π2⎪λ。 ⎝⎭
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