线性规划运输问题.doc
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线性规划运输问题.doc
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第四章运输问题
Chapter4
TransportationProblem
§4.1运输问题的定义
设有同一种货物从m个发地1,2,…,m运往n个收地1,2,…,n。
第i个发地的供应量(Supply)为si(si≥0),第j个收地的需求量(Demand)为dj(dj≥0)。
每单位货物从发地i运到收地j的运价为cij。
求一个使总运费最小的运输方案。
我们假定从任一发地到任一收地都有道路通行。
如果总供应量等于总需求量,这样的运输问题称为供求平衡的运输问题。
我们先只考虑这一类问题。
i
m
1
j
n
1
c11
c1j
c1nn
ci1
cij
cin
cm1
cmj
cmn
图4.1
图4.1.1是运输问题的网络表示形式。
运输问题也可以用线性规划表示。
设xij为从发地i运往收地j的运量,则总运费最小的线性规划问题如下页所示。
运输问题线性规划变量个数为nm个,每个变量与运输网络的一条边对应,所有的变量都是非负的。
约束个数为m+n个,全部为等式约束。
前m个约束是发地的供应量约束,后n个约束是收地的需求量约束。
运输问题约束的特点是约束左边所有的系数都是0或1,而且每一列中恰有两个系数是1,其他都是0。
运输问题是一种线性规划问题,当然可以用第一章中的单纯形法求解。
但由于它有特殊的结构,因而有特殊的算法。
在本章中,我们将在单纯形法原理的基础上,根据运输问题的特点,给出特殊的算法。
在运输问题线性规划模型中,令
X=(x11,x12,…,x1n,x21,x22,…,x2n,……,xm1,xm2,…,xmn)T
C=(c11,c12,…,c1n,c21,c22,…,c2n,……,cm1,cm2,…,cmn)T
A=[a11,a12,…,a1n,a21,a22,…,a2n,……,am1,am2,…,amn]T
=
b=(s1,s2,…,sm,d1,d2,…,dn)T
则运输问题的线性规划可以写成:
minz=CTX
s.t. AX=b
X≥0
其中A矩阵的列向量
aij=ei+em+j
ei和em+j是m+n维单位向量,元素1分别在在第i个分量和第m+j个分量的位置上。
A矩阵中的行与运输网络中的节点对应,前m行对应于发地,后n行对应于收地;A矩阵的列与运输网络中的边对应。
运输问题除了用网络表示及线性规划表示外,还可以用运输表表示:
1
2
…
n
1
c11
c12
…
c1n
s1
x11
x12
…
x1n
2
c21
c22
…
c2n
s2
x21
x22
…
x2n
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
m
cm1
cm2
…
cmn
sm
xm1
xm2
…
xmn
d1
d2
…
dn
表4.1
表的行与发地对应,列与收地对应。
第i行与第j列交叉的一格与网络的一条边对应(也就是与线性规划约束矩阵的一列对应),每一格的左上角小方格的数字表明从相应的发地i到收地j的运价cij,每一格右下角表明从相应的发地i到收地j的运量xij。
表右方表明各发地的供应量si,表下方表明各需求第的需求量dj。
每一行运量之和表示从该发地运往各收地的运量之和,它应该等于该发地的供应量;同样,每一列运量之和表示从各发地运往该收地的运量之和,它应该等于该收地的需求量。
运输问题的网络图、线性规划模型以及运输表之间的关系可以用下表表示:
网络图
线性规划模型
运输表
节点
发点i
约束
前m个约束
表的行
收点j
后n个约束
表的列
边
从节点i到节点j
变量xij,列向量aij
表中的一格
例4.1以下的运输问题线性规划、网络图和运输表表示同一运输问题。
min
z=
8x11
+5x12
+6x13
+7x21
+4x22
+9x23
s.t.
x11
+x12
+x13
=15
x21
+x22
+x23
=25
x11
+x21
=10
x12
+x22
=20
x13
+x23
=10
x11,
x12,
x13,
x21,
x22,
x23
≥0
1
2
2
3
1
15
25
10
20
10
8
5
6
7
4
9
图4.2
1
2
3
1
8
5
6
15
x11
x12
x13
2
7
4
9
25
x21
x22
x23
10
20
10
表4.2
§4.2运输问题约束矩阵的性质
4.2.1约束矩阵的秩
运输问题约束矩阵A的秩为m+n-1。
证明:
因为A矩阵的前m行和后n行之和分别等于向量(1,1,…,1),因此秩A 考虑A的一个子矩阵A’=[a1n,a2n,…,amn,a11,a12,…,a1n],即 A’= 删除A’中的第m+n行和第m+n列,得到 A’’= 容易看出,秩A’’=m+n-1。 由此 m+n-1=秩A’’≤秩A’≤秩A 即 秩A=m+n-1。 在线性规划问题中,约束的系数矩阵要求行满秩的,为了使运输问题系数矩阵行满秩,在A矩阵中增加一个列向量em+n形成增广矩阵 这样增广矩阵的秩就等于m+n,因而是行满秩的。 并且中任何一个基矩阵,都必定包含单位向量em+n。 例4.2.1设一个运输网络如右图,它的系数矩阵为 增广矩阵为 1 2 2 3 1 图4.3 增加的单位列向量em+n=e5相当于在在网络图中增加一条边,它与收点3关联,但不与任何发点关联,这条边称为人工边。 设这条边上的运输量为xa,增广运输问题对应于第三个收点的约束称为 x13+x23+xa=d3 由于 x13+x23=d3 因此,对运输问题的任何一个可行解,都有 xa=0。 4.2.2A矩阵的单位模性质 运输问题的系数矩阵A具有以下性质: A矩阵中任何一个k阶子矩阵Ak(k=1,2,…m+n),都有detAk=0或±1。 证明: 在A中任取一个k阶方阵Ak,有以下三种情况: 1、Ak中任何一列都有两个1,这时Ak上部的行属于A矩阵的前m行,而下部的行属于A矩阵的后n行,Ak上部的各行之和以及Ak下部各行之和都等于向量(1,1,…,1),因而Ak的行线性相关,即detAk=0。 2、Ak中至少有一列元素全为0,这时显然有detAk=0。 3、Ak中至少有一列,其中只有一个1。 这时可以将detAk按这一列展开,设对应于这个1的代数余子式为Ak-1,则有 detAk=±detAk-1 其中Ak-1是k-1阶方阵。 对Ak-1同样有 detAk-1=0 或者 detAk-1=±detAk-2 最后有 detAk=0 或者 detAk=±detAk-1=±detAk-2=…=±detA1=0或±1。 4.2.3基矩阵的三角性 设B是的一个基,B中至少有一列只包含一个1,否则,detB=0不成为一个基。 将B的行列交换,总可以使B成为 其中detBm+n-1≠0,因而Bm+n-1中也至少有一列只有一个1,对Bm+n-1再进行行列交换,得到 依次不断对剩下的方阵进行行列交换,最后可以得到 是一个上三角矩阵。 例4.2设一个运输问题的系数增广矩阵为 = 取其中一个基 对B进行行列交换,成为以下上三角矩阵 求解相应的方程组 由此得到 x12=10,x11=15,x23=20,x13=5,xa=0 由A的基矩阵的三角性以及A矩阵中仅含有元素0和1,可以知道,如果运输问题各发地的供应量和收地的需求量都是整数,运输问题的任何基础可行解都是整数,因而最优解也是整数。 §4.3基在网络图和运输表中的表示 k j l i 图4.4 从前一节已经知道,运输问题的一个基是由m+n个列向量组成的,其中包括一个单位向量em+n。 在网络图上,这m+n个列向量对应m+n条边,其中与单位向量对应的是从最后一个收地出发的人工边。 网络图中的一个基具有以下性质: 1、一个基由m+n条边组成,其中一条是人工边,其余m+n-1条边是原网络中的边。 2、组成基的边不能形成闭合回路。 若不然,如果组成一个基的若干条边(i,j),(k,j),(i,l),(k,l)组成一个闭合回路,则这些边对应的系数矩阵中的列向量aij,akj,ail,akl的线性组合 aij-akj+ail-akl=(ei+em+j)-(ek+em+k)-(ei+em+l)+(ek+em+l)=0 这些列向量线性相关,显然不能包含在一个基中。 3、组成基的m+n条边必须到达网络的每一个节点。 若不然,这m+n条边都不与某一节点k关联,那么相应的基矩阵 与节点k对应的一行全为0,即detB=0。 B不可能成为一个基。 例4.3对于2个发点3个收点的运输问题,网络图如图4.5(a)所示。 图4.5(b)、(c)、(d)都是这个问题的基,这些基都由m+n-1=2+3-1=4条边组成,都不构成回路,并且与每一个节点关联。 正如线性规划矩阵的列向量组成的基一样,一个网络的基的个数是非常多的,以上只是这些基中的几个例子。 (a)网络图 (b)第一个基 (c)第二个基 (d)第三个基 图4.5 §4.4基在运输表中的表示 我们已经知道,运输表中的一行对应于一个发地,一列对应于一个收地,表中i行j列相交的格子表示网络从发地节点i到收地节点j的一条边。 运输表中同一行i而不同列j和k的两个格子(i,j)(i,k),分别表示网络中从同一发地节点i出发到达不同收地节点j和节点k的两条边;同样,运输表中位于同一列k而不同行i和l的两个格子(i,k)和(l,k)分别表示从不同的发地节点出发,到达同一收地节点j的两条边(见下表和图)。 i j k l 图4.6 j k i (i,j) (i,k) l (l,k) 表4.3 如果运输表中有若干个格子,他们中相邻的两个都分别位于同一行或同一列,例如在下表中六个格子(i,j),(i,k),(l,k),(l,n),(m,n)和(m,j),将位于同一行和同一列的两个格子连结起来,在运输表中构成一个闭回路。 在相应的网络图中,这六个格子对应的六条边也组成一个闭回路。 l n m j k i 图4.7 j k n i (i,j) (i,k) l (l,k) (l,n) m (m,j) (m,n) 表4.4 运输表中的闭回路还可以出现更复杂的情况,如下表和下图所示。 l n m j k i 图4.8 j k n i (i,j) (i,k) l (l,j)
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