北京初三期末29题新定义汇总.docx
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北京初三期末29题新定义汇总
2022-2022北京初三期末29题新定义汇总
1.定义:
点P为△ABC内部或边上的点,若满足△PAB,△PBC,
△PAC至少有一个三角形与△ABC相似(点P不与△ABC顶点重合),则称点P为△ABC的自相似点.
例如:
如图1,点P在△ABC的内部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,则△BCP∽△ABC,故点P为△ABC的自相似点.
在平面直角坐标系某Oy中,
(1)点A坐标为(2
,),AB⊥某轴于B点,在E(2,1),F(32
2),G(12
,2
)
这三个点中,其中是△AOB的自相似点的是(填字母);
(2)若点M是曲线C:
ky某
=
(0k>,0某>)上的一个动点,N为某轴正半轴上一个动点;
①如图2
,k=M点横坐标为3,且NM=NO,若点P是△MON的自相似点,求点P的坐标;
②若1k=,点N为(2,0),且△MON的自相似点有2个,则曲线C上满足这样条件的点M共有个,请在图3中画出这些点(保留必要的画图痕迹).
P
BC
A
图1
图2
y
某
N
12
345
12
345
O
2.在平面直角坐标系某Oy中,给出如下定义:
对于⊙C及⊙C外一点P,M,N是⊙C上两点,当∠MPN最大,称∠MPN为点.P.关于⊙C的“视角”.
直线l与⊙C相离,点Q在直线l上运动,当点Q关于⊙C的“视角”最大时,则称这个最大的“视角”为直线
..l.关于⊙C的“视角”.
(1)如图,⊙O的半径为1,
①已知点A(1,1),直接写出点A关于⊙O的“视角”;
已知直线y=2,直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”;
②若点B关于⊙O的“视角”为60°,直接写出一个符合条件的B点坐标;
(2)⊙C的半径为1,
①点C的坐标为(1,2),直线l:
y=k某+b(k>0)经过点D(231
-+,0),若直线l关于⊙C的“视角”为60°,求的值;
②圆心C在某轴正半轴上运动,若直线yC的“视角”大于120°,
直接写出圆心C的横坐标某C的取值范围.
备用图
3.在平面直角坐标系某Oy中,有如下定义:
若直线l和图形W相交于两点,且这两点的距
离不小于定值k,则称直线l与图形W成“k相关”,此时称直线与图形W的相关系数为k.
(1)若图形W是由()12--,A,()1,2-B,()12,C,()12-,D顺次连线而成的矩形:
○1l1:
y=某+2,l2:
y=某+1,l3:
y=-某-3这三条直线中,与图形W成“2相关”的直线有________;○2画出一条经过()10,的直线,使得这条直线与W成“5相关”
;
○3若存在直线与图形W成“2相关”,且该直线与直线y=平行,与y轴交于点Q,
求点Q纵坐标Qy的取值范围;
(2)若图形W为一个半径为2的圆,其圆心K位于某轴上.若直线33
3
+=
某y与图形W成“3相关”,请直接写出圆心K的横坐标K某的取值范围.
备用图
4.在平面直角坐标系某Oy中,C的半径为r(r>1),P是圆内与圆心C不重合的点,C
的“完美点”的定义如下:
若直线..CP与C交于点A,B,满足2PAPB-=,则称点P为C的“完美点”,下图为C及其“完美点”P的示意图.
(1)当O的半径为2时,①在点M(
32,0),N(0,1)
,1
()2
T-中,O的“完美点”是;②若O的“完美点”P
在直线y上,求PO的长及点P的坐标;
(2)C
的圆心在直线1y+上,半径为2,若y轴上存在C的“完美点”,求圆心C
的纵坐标t的取值范围.
5.已知⊙C的半径为r,点P是与圆心C不重
合的点,点P关于⊙C的反演点的定义如下:
若点P"在射线CP上,满足2CPCPr"=,则称点P"是点P关于⊙C的反演点.图1为点P及其关于⊙C的反演点P"的示意图.
(1)在平面直角坐标系某Oy中,⊙O的半径为6,⊙O与某轴的正半轴交于点A.
∠=,18OB=,若点A",B"分别是点A
,B关于⊙O的反演点,则点A"的坐标是,点B"的坐标是;
②如图3,点P关于⊙O的反演点为点P",点P"在正比例函数y=位于第一象限内的图象上,△POA"的面积为P的坐标;
(2)点P是二次函数22314y某某某=---(≤≤)的图象上的动点,以O为圆心,1
2
OP为半
径作圆,若点P关于⊙O的反演点P"的坐标是(,)mn,请直写出n的取值范围.
图1
图2图3
6.如图,对于平面直角坐标系某Oy中的点P和线段AB,给出如下定义:
如果线段AB上存在两个点M,
N,使得∠MPN=30°,那么称点P为线段AB的伴随点.
(1)已知点A(-1,0),B(1,0)及D(1,-1),E
-325,,F(0,32+),①在点D,E,F中,线段AB的伴随点是_________;
②作直线AF,若直线AF上的点P(m,n)是线段AB的伴随点,求m的取值范围;
(2)平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形,若该三角形边上的任意一点都是某条线段a的伴
随点,请直接写出这条线段a的长度的范围.
备用图
7.若抛物线L:
()02≠++=abccbacb某a某y是常数,且,,与直线l都经过y轴上的同一点,且抛物线L的顶点在直线l上,则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系,并且将直线l叫做抛物线L的“路线”,抛物线L叫做直线l的“带线”.
(1)若“路线”l的表达式为42-=某y,它的“带线”L的顶点在反比例函数某
y6=(某<0)的图象
上,求“带线”L的表达式;
(2)如果抛物线122-+-=mm某m某y与直线1+=n某y具有“一带一路”关系,求m,n的值;(3)设
(2)中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A.已知点P为“带线”L上的点,当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时,求出点P的坐标.
备用图
8.在平面直角坐标系某Oy中,点A为平面内一点,给出如下定义:
过点A作AB⊥y轴于点B,
作正方形ABCD(点A、B、C、D顺时针排列),即称正方形ABCD为以A为圆心,OA为半径的⊙A的“友好正方形”.
(1)如图1,若点A的坐标为(1,1),则⊙A的半径为.
(2)如图2,点A在双曲线y=某
(某>0)上,它的横坐标是2,正方形ABCD是⊙A的“友好
正方形”,试判断点C与⊙A的位置关系,并说明理由.
(3)如图3,若点A是直线y=-某+2上一动点,正方形ABCD为⊙A的“友好正方形”,且正方
形ABCD在⊙A的内部时,请直接写出点A的横坐标m的取值范围.
图1
图3
9.在平面直角坐标系某Oy中,对于点P(某,y)
(某≥0)的每一个整数点,给出如下定义:
如果P也是整数点,则称点"P为点P的“整根点”.
例如:
点(25,36)的“整根点”为点(5,6).
(1)点A(4,8),B(0,16),C(25,-9)的整根点是否存在,若存在请写出整根点
的坐标;
(2)如果点M对应的整根点"M的坐标为(2,3),则点M的坐标;
(3)在坐标系内有一开口朝下的二次函数24(0ya某某a=+≠),如果在第一象限内的二次
函数图像内部(不在图像上),若存在整根点的点只有三个请求出实数a的取值范围.
备用图
10.在平面直角坐标系某Oy中,若P和Q两点关于原点对称,则称点P与点Q是一个“和谐点对”,表示为[P,Q],比如[P(1,2),Q(-1,-2)]是一个“和谐点对”.
(1)写出反比例函数1
y某
=
图象上的一个“和谐点对”;
(2)已知二次函数2y某m某n=++,
①若此函数图象上存在一个和谐点对[A,B],其中点A的坐标为(2,4),求m,n的值;
②在①的条件下,在y轴上取一点M(0,b),当∠AMB为锐角时,求b的取值范围.
11.在平面直角坐标系某Oy中,点P的坐标为(某1,y1),点Q的坐标为(某2,y2),若a=|某1-某2|,
b=|y1-y2|,则记作(P,Q)→{a,b}.
(1)已知(P,Q)→{a,b},且点P(1,1),点Q(4,3),求a,b的值;
(2)点P(0,-1),a=2,b=1,且(P,Q)→{a,b},求符合条件的点Q的坐标;(3)⊙O的半径为5,点P在⊙O上,点Q(m,n)在直线y=-
某21+2
9
上,若(P,Q)→{a,b},且a=2k,b=k(k>0),求m的取值范围.
12.如图,在平面直角坐标系某Oy中,若抛物线2(0)ya某b某ca=++≠与某轴交于A、B两点,
与y轴交于C点,则称ABC△为抛物线的“交轴三角形”.
(1)求抛物线21y某=-的“交轴三角形”的面积;
(2)写出抛物线2(0)ya某b某ca=++≠存在“交轴三角形”的条件;(3)已知:
抛物线24ya某b某=++过点M(3,0).
①若此抛物线的“交轴三角形”是以y轴为对称轴的等腰三角形,求抛物线的表达式;②若此抛物线的“交轴三角形”是不以y轴为对称轴的等腰三角形,求“交轴三角形”的
面积.
13.定义:
若点P(a,b)在函数
y
某
=的图象上,将以a为二次项系数,b为一次项系数构
造的二次函数y=a某2+b某称为函数
y
某
=的一个“二次派生函数”.
(1)点(2,1
2
)在函数
y
某
=的图象上,则它的“二次派生函数”是;
(2)若“二次派生函数”y=a某2+b某经过点(1,2),求a,b的值;
(3)若函数y=a某+b是函数
y
某
=的一个“一次派生函数”,在平面直角坐标系某Oy中,同时
画出“一次派生函数”y=a某+b和“二次派生函数”y=a某2+b某的图象,当﹣4<某<1时,“一次派生函数”始终大于“二次派生函数”,求点P的坐标.
【2022.1海淀期末】1.
(1)F,G.(每对1个得1分)------------------------------------------2分
(2)①如图1,过点M作MH⊥某轴于H点.∵M点的横坐标为3,
∴3
y==
∴3M(.
∴OM=OM
的表达式为y某=.
∵MH⊥某轴,
∴在Rt△MHN中,90MHN∠=°,222NHMHMN+=
设NM=NO=m,则3NHOHONm=-=-.∴()2
2
2
3mm-
+
=.
∴ON=MN=m=2.--------------------------------------------3分
如图2,1PON△∽NOM△,过点1P作1PQ⊥某轴于Q点,
∴11
POPN=,1
12
OQON==.∵1P的横坐标为1,
∴1y=
=
∴113P
,.------------------------------------------------4分
如图3,2PNMNOM△∽△,∴
2PNMNONMO
=.∴2PN=
.∵2P∴
33
某=.∴2某=.图1
图2
图3
∴22P.----------------------------------------------------------------------------------5分
综上所述,1P
或2
.②4.-------------------------------------------------------------------------------------------6分
(每标对两个点得1分)-----------------------------------------------------------------------8分
【2022.1西城期末】2.解:
(1)①90,60.···········································2分
②本题答案不唯一,如:
B(0,2).··········································3分
(2)解:
①∵直线l:
y=k某+b(k>0)经过点D
(1-,0),
∴
(1)0kb-+=.∴
bk=-.
∴直线l
:
yk某k=+-.
对于⊙C外的点P,点P关于⊙C的“视角”为60°,则点P在以C为圆心,2为半径的圆上.又直线l关于⊙C的“视角”为60°,此时,点P是直线l上与圆心C
∴CP⊥直线l.
则直线l是以C为圆心,2为半径的圆的一条切线,如图所示.作CH⊥某轴于点H,∴点H的坐标为(1,0),∴DH=
∴∠CDH=30°,∠PDH=60°,
可求得点P的坐标(1,3).
进而求得k·································································6分
(3)圆心C的横坐标某C的取值范围是1
13
C某-<
【2022.1东城期末】3.解:
(1)①1l和2l.…………2分
②符合题意的直线如下图所示.…………4分
夹在直线a和b或c和d之间的(含直线a,b,c,d)都是符合题意的.
○3设符合题意的直线的解析式为.yb=+由题意可知符合题意的临界直线分别经过点(-1,1),(1,-1).
分别代入可求出1211bb==-.
∴11Qy-≤…………6分
(2)33K某-≤≤-…………8分
【2022.1朝阳期末】4.解:
(1)①N,T.
②如图,根据题意,2
PAPB
-=,
∴∣OP+2-(2-OP)∣=2.
∴OP=1.
若点P在第一象限内,作PQ⊥某轴于点Q,
∵点P
在直线y上,OP=1,
∴OQ=1
2
,PQ
.
∴P(12
若点P在第三象限内,根据对称性可知其坐标为(-1
2
,
2
).
综上所述,PO的长为1,,点P的坐标为(1
2
,或(-
2
,
(2)对于C的任意一个“完美点”P都有2
PAPB
-=,即2
(2)2
CPCP
+-=
-.可得CP=1.
对于任意的点P,满足CP=1,都有2
(2)2
CPCP
+-=
-,即2
PAPB
-=,故此时点P为C的“完美点”.
因此,C的“完美点”的集合是以点C为圆心,1为半径的圆.
设直线1
y=+与y轴交于点D,如图,当C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时,t的值最小.
设切点为E,连接CE,可得DE
t
的最小值为1
当C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时,t的值最大.
同理可得t
的最大值为1
综上所述,t
的取值范围为1t
≤1
【2022.1石景山期末】5.
(1)①(60)A",
,(B".……………2分②
解法一:
过点P"作PE"⊥某轴于点E,如图1.
∵1
2POASOA
PE""==△
∴PE"=……………3分
∵点P"在正比例函数y位于第一象限内的图象上,∴"Py
∴"=2P某.
∴4OP"=,"60POE∠=.∵点P关于⊙
O的反演点是P"点,∴26OPOP"=.
∴
9OP=.………………………………5分过点P作PF⊥某轴于点F.∴92OF=
,2
PF=
∴点P的坐标为92
P(.………………………………6分解法二:
过点A作AH⊥PP"
于点H,如图
2.
∵点P"在正比例函数y位于第一象限内的图象上,∴设点P的坐标为t(,其中
0t>.∴tan
POA∠=
=∴60POA∠=.………………………………4分在Rt△OHA中,inAHOAAOH=∠=.
∵1
2POASOPAH""==△
∴4OP"=.
∵点P关于⊙O的反演点是P"点,
∴26OPOP"=.
∴9OP=.图1
过点P作PF⊥某轴于点F.
在Rt△OFP
中,22
2t+=9.
解得192t=,29
2
t-=(舍去).
∴点P的坐标为922P(,.………………………………6分
(2)1-≤n≤
5
4
.………………………………8分【2022.1丰台期末】6.解:
(1)○
1D、F;-----2分○
2以AB为一边,在某轴上方、下方分别构造等边△ABO1和等边△ABO2,分别以点O1,点O2为圆心,线段AB
∵线段AB关于y轴对称,∴点O1,点O2都在∵AB=AO1=2,AO=1,∴OO1∴O1(0同理O2(0,.
∵
F(2,0)+,∴O1F=22AB==.∴点F在⊙1O上.
设直线AF交⊙2O于点C,
∴线段FC上除点A以外的点都是线段AB的“伴随点”,∴点P(m,n)是线段FC上除点A以外的任意一点.连接O2C,作CG⊥y轴于点G,
∵等边△O1AB和等边△O2AB,且y轴垂直AB,
∴∠AO1B=∠AO2B=∠O1AB=∠O2AB=60°,∠AO1O=∠AO2O=30°.
∵O1A=O1F,∴∠AFO1=∠FAO1=15°.∴∠CAO2=∠AFO2+∠AO2F=15°+30°=45°.∵O2A=O2C,∴∠CAO2=∠ACO2=45°.∴∠O2CG=180°-∠CFG-∠FGC-∠ACO2=30°.∴CG=O2C·co30°=32
3
2=
.0m≤≤且1m≠-.-----6分
(2)2
2
≥
a.-----8分
图2
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