青岛版八年级数学下册专题讲练《多个函数图象的交点问题试题》含答案.docx
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青岛版八年级数学下册专题讲练《多个函数图象的交点问题试题》含答案
多个函数图象的交点问题
一、在同一平面直角坐标系内两函数图象综合
1.两函数图象相交的交点求法:
两个一次函数y1=k1x+b1(k1≠0);y2=k2x+b2(k2≠0),联立成方程组,求得x、y值,就是两函数图象交点坐标。
如图,已知函数y1=3x+1和y2=x-3的图象交于点P,求P坐标。
答案:
P坐标(-2,-5)。
2.反过来,用图象法解二元一次方程,就看图象交点坐标,就是这个方程组的解。
如图,y1=k1x+b1与y=2x的图象相交于点B,两解析式组成的方程组的解?
答案:
3.多个函数图象交点坐标或多种不同函数交点坐标,方法同上1。
4.两函数图象与坐标轴围成图形的面积。
若所求图形有一边与坐标轴重合,可直接用图象与坐标轴交点作为底和高求得,如果图形为不规则图形,则可以使用面积的和或差进行求解,解决问题的关键是找到图象与坐标轴的交点坐标,图象相交时交点的坐标。
答案:
两函数图象与坐标轴围成图形的面积为。
5.讨论两函数值比较大小问题时,可利用两函数交点坐标求得:
如:
①如果y1>y2,则x>1;②如果y1=y2,则x=1;③如果y1 二、利用全等三角形和解方程的方法求坐标 1.利用全等三角形求得坐标系内某点的坐标,进而求得过相关点的函数解析式; 2.使用解方程的思想解决计算类问题。 总结: 1.求方程组的解是解交点坐标的关键。 2.在比较大小时注意哪个图象位置在上方,哪个函数值相应的就大。 例题1直线y=-2x+m与直线y=2x-1的交点在第四象限,则m的取值范围是() A.m>-1B.m<1C.-1<m<1D.-1≤m≤1 解析: 联立两直线解析式求出交点坐标,再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可。 答案: 解: 联立,解得,∵交点在第四象限,∴,解不等式①得,m>-1,解不等式②得,m<1,所以,m的取值范围是-1<m<1。 故选C。 点拨: 联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法,要熟练掌握并灵活运用。 例题2如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点坐标为A(-1,2),B(3,1),若直线y=kx-2与线段AB有交点,则k的值可能是() A.-3B.-2C.-1D.2 解析: 先求出直线y=kx-2与y轴的交点C的坐标,再利用待定系数法求出直线AC、BC的解析式,然后根据直线与线段AB有交点,则k值小于AC的k值,或大于BC的k值,然后根据此范围进行选择即可。 答案: 解: 令x=0,则y=0•k-2=-2,所以直线y=kx-2与y轴的交点坐标为(0,-2),设直线AC的解析式为y=mx+n(m≠0),则,解得。 所以直线AC的解析式为y=-4x-2, 设直线BC的解析式为y=ex+f(e≠0),则,解得。 所以直线BC的解析式为y=x-2, 若直线y=kx-2与线段AB有交点,则k的取值范围是k≤-4或k≥1,纵观各选项,只有D选项符号。 故选D。 点拨: 根据已知直线求出与y轴的交点坐标,然后求出两直线的解析式是解题的关键。 特殊函数解析式大小的比较 例题如图所示,函数y1=|x|和y2=x+的图象相交于(-1,1)、(2,2)两点。 当y1>y2时,x的取值范围是() A.x<-1B.-1<x<2C.x>2D.x<-1或x>2 解析: 首先由已知得出y1=x或y1=-x又相交于(-1,1),(2,2)两点,根据y1>y2列出不等式求出x的取值范围。 答案: 解: 当x≥0时,y1=x,又y2=x+,∴两直线的交点为(2,2),当x<0时,y1=-x,又y2=x+,∴两直线的交点为(-1,1),由图象可知: 当y1>y2时x的取值范围为: x<-1或x>2。 故选D。 利用全等三角形求函数解析式 例题如图,在平面直角坐标系xoy中,正方形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上,顶点B在x轴的正半轴上,顶点C、D在第一象限内,已知A(0,4),B(m,0)。 (1)求顶点C、D的坐标; (2)当点B移动时,点C在某条直线上移动,请写出这条直线的解析式。 解析: (1)过C点和D点分别作x轴和y轴的垂线,根据和△AOB的关系,写出各点的坐标。 (2)根据B和C的坐标,从而写出解析式。 答案: 解: (1)作CE⊥x轴交x轴于E点,作DF⊥y轴交y轴于F点,∵△AOB≌△BEC,∴C点的坐标为: (m+4,m)。 ∵△AOB≌△DFA,∴D点的坐标为(4,m+4)。 (2)B(m,0)和C(m+4,m),直线BC解析式为y=kx+b(k≠0);将点B、C坐标代入,可得,整理得。 所以函数解析式为y=x-。 (答题时间: 45分钟) 一、选择题 1.(台湾)如图,坐标平面上直线L的方程式为3x-y=-3。 若有一直线L′的方程式为y=a,则a的值在下列哪一个范围时,L′与L的交点会在第二象限? () A.1<a<3B.3<a<4C.-1<a<0D.-3<a<-2 2.(金华)一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则下列结论①k<0;②a>0;③当x<3时,y1<y2中,正确的个数是() A.0B.1C.2D.3 *3.已知一次函数y=x+m和y=-x+n的图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于B、C两点,那么△ABC的面积是() A.2B.3C.4D.6 **4.(孝感)若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3(m为常数)的交点在第四象限,则整数m的值为() A.-3,-2,-1,0B.-2,-1,0,1 C.-1,0,1,2D.0,1,2,3 **5.(鄂州)如图,直线AB: y=x+1分别与x轴、y轴交于点A、点B,直线CD: y=x+b分别与x轴、y轴交于点C、点D。 直线AB与CD相交于点P,已知S△ABD=4,则点P的坐标是() A.(3,)B.(8,5)C.(4,3)D.(,) 二、填空题 *6.一次函数y=mx+1与y=nx-2的图象相交于x轴上一点,那么m: n= *7.(安溪)如图,已知一次函数的图象经过点A(-1,0)、B(0,2)。 (1)求一次函数的关系式; (2)设线段AB的垂直平分线交x轴于点C,求点C的坐标。 **8.(硚口)如图,直线AB的解析式为y1=k1x-2k1,直线AC的解析式为y2=k2x+b,它们分别与x轴交于点B、C,且A点的横坐标为1,则B点的坐标为;满足y2>y1>0的x的取值范围是; **9.(燕山)如图,已知直线l1: y=-x+2与l2: y=x+,过直线l1与x轴的交点P1作x轴的垂线交l2于Q1,过Q1作x轴的平行线交l1于P2,再过P2作x轴的垂线交l2于Q2,过Q2作x轴的平行线交l1于P3,…,这样一直作下去,可在直线l1上继续得到点P4,P5,…,Pn,…。 设点Pn的横坐标为xn,则x2=,xn+1与xn的数量关系是。 三、解答题 *10.(路北)已知: 直线l1的解析式为y1=x+1,直线l2的解析式为y2=ax+b(a≠0);两条直线如图所示,这两个图象的交点在y轴上,直线l2与x轴的交点B的坐标为(2,0) (1)求a,b的值; (2)求使得y1、y2的值都大于0的取值范围;(3)求这两条直线与x轴所围成的△ABC的面积是多少? (4)在直线AC上是否存在异于点C的另一点P,使得△ABC与△ABP的面积相等? 请直接写出点P的坐标。 **11.(湘西州)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点B,且与正比例函数y=x的图象的交点为C(m,4)。 (1)求一次函数y=kx+b的解析式; (2)点D的坐标。 **12.(裕华区)如图,直线l1与l2相交于点P,点P横坐标为-1,l1的解析表达式为y=x+3,且l1与y轴交于点A,l2与y轴交于点B,点A与点B恰好关于x轴对称。 (1)求点B的坐标; (2)求直线l2的解析表达式;(3)若点M为直线l2上一动点,直接写出使△MAB的面积是△PAB的面积的的点M的坐标;(4)当x为何值时,l1,l2表示的两个函数的函数值都大于0? 1.A解析: 由L: 3x-y=-3可知,直线L交y轴于(0,3),由图可知当0<a<3时,L′与L的交点会在第二象限。 故选A。 2.B解析: ∵y1=kx+b的函数值随x的增大而减小,∴k<0;∵y2=x+a的图象与y轴交于负半轴,∴a<0;当x<3时,相应的x的值,y1图象均高于y2的图象,∴y1>y2。 故选B。 3.C解析: y=x+m与y=-x+n的图象都过点A(-2,0),所以可得0=×(-2)+m,0=-×(-2)+n,∴m=3,n=-1,∴两函数表达式分别为y=x+3,y=-x-1,直线y=x+3、y=-x-1与y轴的交点分别为B(0,3)、C(0,-1),S△ABC=|BC|•|AO|=×4×2=4。 故选C。 4.B解析: 由题意得x+2y=2m、2x+y=2m+3,解得x=,y=,∵直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3(m为常数)的交点在第四象限,∴>0,<0,解得: -3<m<,又∵m的值为整数,∴m=-2,-1,0,1,故选B。 5.B解析: 由直线AB: y=x+1分别与x轴、y轴交于点A、点B,可知A、B的坐标分别是(-2,0)、(0,1),由直线CD: y=x+b分别与x轴、y轴交于点C、点D,可知D的坐标是(0,b),C的坐标是(-b,0),根据S△ABD=4,得BD•OA=8,∵OA=2,∴BD=4,那么D的坐标就是(0,-3),C的坐标就应该是(3,0),CD的函数式应该是y=x-3,P点的坐标满足方程组,解得,即P的坐标是(8,5)。 故选B。 6.-1: 2解析: 因为两一次函数的图象都为直线且交点在x轴上,分别令y=0,根据y=mx+1与y=nx-2得x=-,x=,即-=,可得m: n=-1: 2。 故答案为: -1: 2。 7. (1)y=2x+2, (2)C(,0)解析: (1)设一次函数的关系式为y=kx+b,依题意,得解得,∴一次函数的关系式为y=2x+2。 (2)设点C的坐标为(a,0),连接BC,则CA=a+1,CB2=OB2+OC2=a2+4,∵CA=CB,∴CA2=CB2,即(a+1)2=a2+4,∴a=,即C(,0)。 8.(2,0),1<x<2解析: 当y=0时,k1x-2k1=0,解得x=2,∴点B的坐标为(2,0);∵A点的横坐标为1,∴1<x<2时,y2>y1>0。 故答案为: (2,0),1<x<2。 9.;xn+2xn+1=3解析: 令y=0,则-x+2=0,解得x=2,所以,P1(2,0),∵P1Q1⊥x轴,∴点Q1与P1的横坐标相同,∴点Q1的纵坐标为×2+=,∴点Q1的坐标为(2,),∵P2Q1∥x轴,∴点P2与Q1的纵横坐标相同,∴-x+2=,解得x=,所以,点P2(,),∵P2Q2⊥x轴,∴点Q2与P2的横坐标相同,∴点Q2的纵坐标为×+=,∴点Q2的坐标为(,),∵P3Q2∥x轴,∴点P3与Q2的纵横坐标相同,∴-x+2=,解得x=,所以,点P3(,),…,∵P1(2,0),P2(,),P3(,),∴x2=,又∵2+2×=3,+2×=3,…,∴xn+2xn+1=3。 故答案为: ;xn+2xn+1=3。 10.解: (1)由直线l1的解析式为y1=x+1,可求得C(0,1);则依题意可得: 解得: 。 (2)由 (1)知,直线l2: y=-x+1;∵y1=x+1>0,∴x>-1;∵y2=−x+1>0,
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