合情推理与演绎推理题型整理总结讲解.docx
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合情推理与演绎推理题型整理总结讲解
题型一用归纳推理发现规律
例1:
通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论,并证明结论的真假。
sin2150sin275°sin2135°=?
;sin230°sin2900sin2150°=?
;
22
sin245°sin2105°sin21650=3;sin260°sin2120°sin2180°=3.
22
3
解析:
猜想:
sin2(:
-60°)sin2:
:
£、sin2(黒亠60°)=
2
证明:
左边=(sin:
cos600-cos:
sin600)2sin2:
亠(sin:
cos600cos:
sin600)2
=3(sin2.二^cos2:
)=3=右边
22
注;注意观察四个式子的共同特征或规律
(1)结构的一致性,
(2)观察角的“共
性”
(1)先猜后证是一种常见题型
(2)归纳推理的一些常见形式:
一是“具有共同特征型”,二是“递推型”,三
是“循环型”(周期性)
题型二用类比推理猜想新的命题
1
例2:
已知正三角形内切圆的半径是高的-,把这个结论推广到空间正四面体,
3
类似的结论是.
111
解析:
原问题的解法为等面积法,即S二—ah=3—ar=r二-h,类比问题的解223
111
法应为等体积法,V=-Sh=4-Sr=r=—h即正四面体的内切球的半径是高
334
—
4
注:
(1)不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比
(2)类比推理常见的情形有:
平面向空间类比;低维向高维类比;等差数列与
等比数列类比;圆锥曲线间的类比等
(3)在平面和空间的类比中,三角形对应三棱锥(即四面体),长度对应面积;面积对应体积;点对应线;线对应面;圆对应球;梯形对应棱台等。
(4)找对应元素的对应关系,如:
两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂
直,边相等对应面积相等
题型三利用“三段论”进行推理
例3某校对文明班的评选设计了a,b,c,d,e五个方面的多元评价指标,并通过经
验公式样C1来计算各班的综合得分,S的值越高则评价效果越好,若
bde
某班在自测过程中各项指标显示出0:
:
:
c:
:
:
d:
:
:
e:
:
:
b:
:
:
a,则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位,而使得S的值增加最多,那么该指标应为•(填
入a,b,c,d,e中的某个字母)
解析:
因a,b,c,d,e都为正数,故分子越大或分母越小时,S的值越大,而在分
子都增加1的前提下,分母越小时,S的值增长越多,0:
:
:
c:
:
:
d:
:
:
e:
:
:
b:
:
:
a,所
以c增大1个单位会使得S的值增加最多
注:
从分式的性质中寻找S值的变化规律;此题的大前提是隐含的,需要经过思考才能得到
1.下列说法正确的是
()
A.类比推理是由特殊到一般的推理
B.演绎推理是特殊到一般的推理
C.归纳推理是个别到一般的推理
D.合情推理可以作为证明的步骤
答案:
C
111
3•已知a0(i=1,2,Hl,n),考察下列式子:
(皿一一1;(ii)(aa2)(-—)_4;
a1a-1a2
111
(iii)佝•a?
•比)(一--)-9.我们可以归纳出,对①忌‘山色也成立的类似不
a-1a2a3
等式为
答案:
(a,■a2Van)()
a1a2an
4.现有一个关于平面图形的命题:
如图,同一个平面内有两个边长都是a的正方
形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为
2
—•类比到空间,有两个棱长均为a的正方体,其中一个的某顶点在另一个的
4
中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为.
[解析]解法的类比(特殊化)
易得两个正方体重叠部分的体积为
5•已知ABC的三边长为a,b,c,内切圆半径为r(用S.abc表示ABC的面积),
则sABC=2「(abc);类比这一结论有:
若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥体积Va_bcd二
1
[解析]-R(S.abc■SABD
—
6.在平面直角坐标系中,直线一般方程为AxBy0,圆心在(x°,y°)的圆的
一般方程为(X—X。
)2•(y-y0)2=r2;则类似的,在空间直角坐标系中,平面的
一般方程为,球心在(X。
y。
Zo)的球的一般方程为
答案;AxByCzD=0;(x-x0)2(y-y。
)2(z-z0)2二r2
7.
(1)已知等差数列的定义为:
在一个数列中,从第二项起,如果每一项与它的前一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.
类比等差数列的定义给出“等和数列”的定
(2)已知数列是等和数列,且a^2,公和为5,那么a!
8的值为答案:
(1)在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和;
(2)耳8=3;
8.对大于或等于2的自然数m的n次方幕有如下分解方式:
222
2=133=1354=1357
23=3533=791143=13151719
根据上述分解规律,则5^13579,若m3(m・N*)的分解中最小的数是73,则m的值为
答案:
m=9
(2014全国I卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:
我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:
我没去过C城市;
丙说:
我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为1、小王、小刘、小张参加了今年的高考,考完后在一起议论。
小王说:
“我肯定考上重点大学。
”
小刘说:
“重点大学我是考不上了。
”
小张说:
“要是不论重点不重点,我考上肯定没问题。
”
发榜结果表明,三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个,并且他们三
个人的预言只有一个人是对的,另外两个人的预言都同事实恰好相反。
可见:
()
(A)小王没考上,小刘考上一般大学,小张考上重点大学
(B)小王考上一般大学,小刘没考上,小张考上重点大学
(C)小王没考上,小刘考上重点大学,小张考上一般大学
(D)小王考上一般大学,小刘考上重点大学,小张没考上
—ab
3、给出下列三个命题:
①若a_b_-1,贝V;②若正整数m和n满足m岂n,
1+a1+b
则.m(n-m);③设P(x1,y1)为圆:
x2•y2=9上任意一点,圆O2以Q(a,b)为
圆心且半径为1。
当(a-xj2•(b-%)2=1时,圆01与圆02相切。
其中假命题的个数是()
(A)0(B)1(C)2(D)3
二、填空题
1
4、设函数f(x)=尸,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求
272
得f(-5)•—f(0)•—f(5)•f(6)的值为—.
一、选择题
(1)由推理知识,可知应选(C)
(3)由不等式的基本性质以及圆方程的性质,可知应选(B)
二、填空题
(4)分析此题利用类比课本中推导等差数列前n项和公式的倒序相加法,观察每一个因
1
式的特点,尝试着计算f(X)+f(1—X):
Vf(X)=——,
f(1_x)
2x+J2
■22x
1
f(X)f(1-x)
1——2、2
、22X
【典型例题】
例1:
(1)迄今为止,人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。
小王
发现由8个质数组成的数列41,43,47,53,61,71,83,97的一个通项公式,并根据通项公式得出数列的后几项,发现它们也是质数。
小王欣喜万分,但小王按得出的通项公式,再往后写几个数发现它们不是质数。
他写出不是质数的一个数是()
A.1643B.1679C.1681D.1697
答案:
G解析:
观察可知:
~^1=2,a3—a2=4,a4-^3=6/,a^—anj=2(n—1),
累加可得:
an7=242(n_1)=(n一1)(22n一2),
22
2
an=J—n+41验证可知1681符合此式,且41X4仁1681。
22'
(2)下面给出了关于复数的四种类比推理:
1复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则;
2由向量a的性质|a12=a2类比得到复数z的性质|z|2=z2;
22
3方程axbx0(a,b,R)有两个不同实数根的条件是b-4ac-0可以类比
得到:
方程az2bz0(a,b,cC)有两个不同复数根的条件是b2-4ac-0;④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义
其中类比错误的是
D.②③
A.①③B.②④C.①④
答案:
D。
解析:
由复数的性质可知。
(3)定义AB,BC,CD,DA的运算分别对应下图中的
(1)、
(2)、(3)、(4),那
么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是(
答案:
B。
例3:
在厶ABC中,若/C=90°,AC=b,BC=a,则厶ABC的外接圆的半径r=世兰把上
2
面的结论推广到空间,写出相类似的结论。
答案:
本题是“由平面向空间类比”。
考虑到平面中的图形是一个直角三角形,
所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。
取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A—BCD,且AB=a,AC=b,AD=c,
则此三棱锥的外接球的半径是。
2
证明你的结论。
【课内练习】
1.给定集合AB,定义AB={x|x=m-n,mA,nB},若A={4,5,6},B={1,2,3},
则集合A■-B中的所有元素之和为()
A.15B.14C.27D.-14
答案:
A。
解析:
AB二{1,2,3,4,5},1+2+3+4+5=15。
平面〉,直线a平面〉,直线b//平面:
•,则直线b//直线a”的结论显然是错误丰
的,这是因为()
A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误
答案:
A。
解析:
直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。
4•古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,……叫做三角数,它有一定的规律性,第30
个三角数与第28个三角数的差为。
答案:
59。
解析:
记这一系列三角数构成数列&?
,则由勺-a,=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…归
纳猜测a30-日29=30,a29-日28=29,两式相加得a30-日28=59。
或由日1=1,日2=12日3=1-2-3,
猜测an=1•2亠•亠n。
a亠2a3ana
5.数列{an}是正项等差数列,若b-「23・nn,则数列{bn}也为等差
数列•类比上述结论,写出正项等比数列{cn},若dn=,则数列{dn}也为等比数列.
1
答案:
(Gc;c3""cn)123/"n。
6.“;AC,BD是菱形ABCD的对角线,.AC,BD互相垂直且平分。
”补充以上推理的大前提答案:
菱形对角线互相垂直且平分。
7.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝,第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形,第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形,第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形,以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有颗珠宝;则
前n件首饰所用珠宝总数为颗•(结果用n表示)
nfn+1Y4n-1\
答案:
66,。
解析:
利用归纳推理知。
6
&在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,
按图所标边长,由勾股定理有:
c2=a2-b2.
设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的
三棱锥0—LMN,如果用S(,S2,Sg表示三个侧面面积,S4表示截面面积,那么你类比得到的
结论是・
22
9•已知椭圆C:
X2y2=1具有性质:
若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭ab
圆C上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为Kpm、Kpn时,那么Kpm与Kpn之积22
是与点P位置无关的定值。
试对双曲线务-每=1写出具有类似特性的性质,并加以证明。
ab
22
答案:
本题明确要求进行“性质类比”。
类似的性质:
若M、N是双曲线x2-y2=1上关于
a2b2
原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为Kpm、
Kpn时,那么Kpm与2n之积是与点P位置无关的定值。
证明如下:
22
设M(m,n),则N(h,w),其中_n1
a2b2
10.观察下面由奇数组成的数阵,回答下列问题:
(I)求第六行的第一个数.
35
(n)
求第
20行的第一个数.
7
911
(出)
求第
20行的所有数的和.
13
151719
答案:
(I)
第六行的第一个数为
31
(n)
•••第
n行的最后一个数是
n•n-1,第n行共有n个数,
且这些数构成一个等差数
列,设第n行的第一个数是an1n2•n-仁an1-2(n-1)/.an1=n2-nT
•••第20行的第一个数为3
(川)第20行构成首项为381,公差为2的等差数列,且有20个数
设第20行的所有数的和为;
S>0则s20=3812020(20一1)2二8000
2
【作业本】
A组
1•在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第25项为()
A.25B.6C.7D.8
n(n十1)6汉7
答案:
G解析:
对于中,当n=6时,有21,所以第25项是7。
22
2.如图,椭圆中心在坐标原点,f为左焦点,当FB_AB时,其离心率为一J,此类椭圆被称
2
22222222
股定理,得AF=BF+AB,即有(a+c)=(b+c)+(a+b),
c十1
注意到b2二c2_a2,e=-,变形得e2_e_1二0,从而e二
a2
3•下面几种推理过程是演绎推理的是()
A、两条直线平行,同旁内角互补,如果/A和/B是两条平行直线的同旁内角,则/A+Z
B=180°
B由平面三角形的性质,推测空间四面体性质
C某校高三共有10个班,1班有51人,2班有53人,三班有52人,由此推测各班都超过
50人
D在数列an中,…=丄®」丄)(n兰2),由此推出in}的通项公式
2an_1
答案:
A。
解析:
B是类比推理,CD是归纳推理。
4.由①正方形的对角线相等;②平行四边形的对角线相等;③正方形是平行四边形,根据
“三段论”推理出一个结论,则这个结论是。
答案:
②③二①。
解析:
②是大前提,③是小前提,①是结论。
5•公比为4的等比数列b[中,若Tn是数列"bn?
的前n项积,则有To,To,To也成等比
数列,且公比为4100;类比上述结论,相应地在公差为3的等差数列订」中,若Sn是「an?
的前n项和,则数列也成等差数列,且公差为。
答案:
S20-S10,S30-S20,S40-S30;300。
解析:
采用解法类比。
6•二十世纪六十年代,日本数学家角谷发现了一个奇怪现象:
一个自然数,如果它是偶数就用2除它,如果是奇数,则将它乘以3后再加1,反复进行这样两种运算,必然会得到什
么结果,试考查几个数并给出猜想。
答案:
取自然数6,按角谷的作法有:
6-2=3,3X3+仁10,3X5+仁16,16-2=8,8-2=4,
4-2=2,2-2=1,其过程简记为3宀10~5宀16~8宀4宀2~1。
取自然数7,则有22宀11宀34宀17~5226~13^40^20^10^……1。
取自然数100,则100~50t25~76~38~19~58~29~88~44~22~……1。
归纳猜想:
这样反复运算,必然会得到1。
7•圆的垂径定理有一个推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,这一性质能推广到椭
22
圆吗?
设AB是椭圆—y1(ab.0)的任一弦,M是AB的中点,设OM与AB的斜率都a2b2
存在,并设为Kom、Kab,则Kom与Kab之间有何关系?
并证明你的结论。
b2
答案:
Kom•隔=。
证明:
设A(x,,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
x|
则a
痘
2
a
a
-1_(x+X2XX1—X2)+他+y2)(y1—y2)=0a2b2
=1
2互上Pi=_b_X。
X1-X2a?
即Kom•^\B=-b2,而a=b,即Kom•Kab^~1a
•••OM与AB不垂直,即不能推广到椭圆中。
B组
1.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文t密文(加密),接收方由密文t明文(解
密),已知加密规则为:
明文a,b,c,d对应密文a2b,2bc,2c3d,4d,例如,明文
1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为()
a2b=14
即解密得到的明文为6,4,1,7。
2.平面上有n个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成f(n)块
区域,有f
(1)=2,f
(2)=4,f(3)=8,贝Uf(n)的表达式为()
A、2nB、n2-n2C、2n-(n-1)(n-2)(n-3)D、n3-5n210n-4
答案:
B。
解析:
由f
(2)—f
(1)=2,f(3)—f
(2)=4,f(4)—f(3)=6,…猜测f(n•1)_f(n)=2n,利用累
加法,得f(n)=n2—n,2。
1
3•设f(x)=x1,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得
2+72
f(®•f(/)沖…:
;f(0)•f(5)•f(6)的值为()
A、、.2B、2、2C3、一2D、4,2
答案:
C。
解析:
f(x)亠f(1-x)2。
2
4.考察下列一组不等式:
2353225252,2454235253,255523522253,…
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的
特例,则推广的不等式可以是.
答案:
amHn+bm4n=ambn+anbm(a,ba0,a式b,m,na0)(或a,ba0,a式b,m,n为
正整数)。
解析:
填2mn-5mn-2m5n-2n5m以及是否注明字母的取值符号和关系,也行。
5•如下图,第
(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第
(2)个多边形是由正四边形
“扩展”而来,……如此类推•设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为an,
答案:
42;
6.指出下面推理中的大前提和小前提。
(1)5与22可以比较大小;
(2)直线a,b,c,若a//b,c//b,则a//c。
答案:
(1)大前提是实数可以比较大小,小前提是5与2、,2是实数。
(2)大前提是平行于同一条直线的两直线互相平行,小前提是a//b,c//b。
7.已知函数y=f(x),对任意的两个不相等的实数X|,X2,都有f(X!
•X2)=f凶).f(X2)成立,
且f(0)=0,求f(_2006).f(_2005)…f(2005).f(2006)的值。
答案:
•••当石=0,x2=x时,f(0x^f(0)f(x),由f(0)=0,f(0)=1,.f(_x).f(x)二f(0)=1,从而可得:
f(-2006).f(_2005)…f(2005).f(2006)=
f(G006)f(2006)f(2005)f(2005)…f(0)=f(0)f(0)…f(0)=1
当n=k+1时,a+a2++ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,
且a1+a2++ak=2k+1—ak
--2k+1—ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,
1
根据①②得n€N+,an=2都成立
2n
一、填空题
1.如下图,对大于或等于2的自然数m的n次幕进行如下方式的“分裂”
仿此,52的“分裂”中最大的数是,若m3的“分裂”中最小的数是211,则m
的值为.
2.下面给出三个类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集);
1"a,b・R,若a-b=O,则a=b"类比推出"a,bC,若a-b=O,贝Ua=b";
2"a,b,c,d•R,若复数ab^cdi,贝Ua=c,b=d"类比推出
"a,b,c,dQ,若a2b=c、、2d,则a=c,b=d";
3"a,b・R,若a-b0,则ab"类比推出"a,bC,若a-b0,则ab";
其中类比结论正确的序号是(写出所有正确结论的序号)
1111
3.已知f(n)=—•一一-2,贝Vf(n)中共有项.
」bJf/(a)f/(b)f/(c)
nn十1n+2n
4.设f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,c是两两不等的常数),则
二、选择题
5.“所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电,”此推理类型属于
A.演绎推理B.类比推理C.合情推理D.归纳推理
6.用三段论推理命题:
任何实数的平方大于0,因为a是实数,所以a2>0”,你认为这个
推理()
A•大前题错误B•小前题错误C•推理形式错误D•是正确的
8.下列给出的平面图形中,与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是()
A.三角形E.梯形C.平行四边形D.矩形
9.图1是一个水平摆放的小正方体木块,图2,图3是由这样的小正方体木块叠放而成的,
按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数就是(
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