届北师大版文科数学圆锥曲线 单元测试.docx
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届北师大版文科数学圆锥曲线单元测试
自检13:
圆锥曲线
A组 高考真题集中训练
椭圆
1.(2016·全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析:
不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0,b)和一个焦点F(c,0),则直线l的方程为+=1,即bx+cy-bc=0.由题意知=×2b,解得=,即e=.故选B.
答案:
B
2.(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析:
由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为a.
又直线bx-ay+2ab=0与圆相切,
∴圆心到直线的距离d==a,解得a=b,∴=,
∴e=====.故选A.
答案:
A
3.(2017·全国卷Ⅰ)设A,B是椭圆C:
+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0,]∪[4,+∞)
解析:
方法一 设焦点在x轴上,点M(x,y).
过点M作x轴的垂线,交x轴于点N,
则N(x,0).
故tan∠AMB=tan(∠AMN+∠BMN)
==.
又tan∠AMB=tan120°=-,
且由+=1可得x2=3-,
则==-.
解得|y|=.
又0<|y|≤,即0<≤,结合0 对于焦点在y轴上的情况,同理亦可得m≥9. 则m的取值范围是(0,1]∪[9,+∞).故选A. 方法二 当0 要使C上存在点M满足∠AMB=120°, 则≥tan60°=,即≥, 解得0 当m>3时,焦点在y轴上, 要使C上存在点M满足∠AMB=120°, 则≥tan60°=,即≥,解得m≥9. 故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).故选A. 答案: A 双曲线 1.(2017·全国卷Ⅱ)若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是( ) A.(,+∞) B.(,2) C.(1,) D.(1,2) 解析: 由题意得双曲线的离心率e=. ∴e2==1+. ∵a>1,∴0<<1,∴1<1+<2, ∴1 答案: C 2.(2016·全国乙卷)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( ) A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,) 解析: 由题意得(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2 答案: A 3.(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C: x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( ) A. B. C. D. 解析: 因为F是双曲线C: x2-=1的右焦点,所以F(2,0).因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,yP). 因为P是C上一点,所以4-=1,解得yP=±3, 所以P(2,±3),|PF|=3. 又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1, 所以S△APF=×|PF|×1=×3×1=.故选D. 答案: D 4.(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( ) A. B.2 C. D. 解析: 不妨取点M在第一象限,如图所示,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则|BM|=|AB|=2a,∠MBx=180°-120°=60°, ∴M点的坐标为(2a,a). ∵M点在双曲线上,∴-=1,a=b, ∴c=a,e==.故选D. 答案: D 5.(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0,y0)是双曲线C: -y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析: 由题意知a=,b=1,c=, ∴F1(-,0),F2(,0), ∴1=(--x0,-y0),2=(-x0,-y0). ∵1·2<0,∴(--x0)(-x0)+y<0, 即x-3+y<0. ∵点M(x0,y0)在双曲线上,∴-y=1,即x=2+2y,∴2+2y-3+y<0, ∴- 答案: A 6.(2017·全国卷Ⅲ)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=________. 解析: ∵双曲线的标准方程为-=1(a>0), ∴双曲线的渐近线方程为y=±x. 又双曲线的一条渐近线方程为y=x,∴a=5. 答案;5 7.(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C: x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为________. 解析: 由双曲线方程x2-=1可知,a=1,c=3,故F(3,0),F1(-3,0).当点P在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知|PF|-|PF1|=2,所以|PF|=|PF1|+2,从而△APF的周长=|AP|+|PF|+|AF|=|AP|+|PF1|+2+|AF|.因为|AF|==15为定值,所以当(|AP|+|PF1|)最小时,△APF的周长最小,由图象可知,此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示). 由题意可知直线AF1的方程为y=2x+6, 由得y2+6y-96=0, 解得y=2或y=-8(舍去), 所以S△APF=S△AF1F-S△PF1F =×6×6-×6×2=12. 答案: 12 8.(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为________. 解析: 法一: ∵双曲线的渐近线方程为y=±x, ∴可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0). ∵双曲线过点(4,),∴λ=16-4×()2=4, ∴双曲线的标准方程为-y2=1. 法二: ∵渐近线y=x过点(4,2),而<2, ∴点(4,)在渐近线y=x的下方,在y=-x的上方(如图). ∴双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线方程为 -=1(a>0,b>0).由已知条件可得 解得 ∴双曲线的标准方程为-y2=1. 答案: -y2=1. 抛物线 1.(2016·全国甲卷)设F为抛物线C: y2=4x的焦点,曲线y=(>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则=( ) A. B.1 C. D.2 解析: ∵y2=4x,∴F(1,0). 又∵曲线y=(>0)与C交于点P,PF⊥x轴,∴P(1,2). 将点P(1,2)的坐标代入y=(>0),得=2.故选D. 答案: D 2.(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析: 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=r2. ∵|AB|=4,|DE|=2,抛物线的准线方程为x=-, ∴不妨设A,D. ∵点A,D在圆x2+y2=r2上, ∴∴+8=+5,∴p=4(负值舍去).∴C的焦点到准线的距离为4. 答案: B 3.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C: y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( ) A.3 B.6 C.9 D.12 解析: 抛物线y2=8x的焦点为(2,0), ∴椭圆中c=2,又=,∴a=4,b2=a2-c2=12, 从而椭圆的方程为+=1. ∵抛物线y2=8x的准线为x=-2,∴xA=xB=-2, 将xA=-2代入椭圆方程可得|yA|=3, 由图象可知|AB|=2|yA|=6.故选B. 答案: B 4.(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C: y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=( ) A. B. C.3 D.2 解析: 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,因为=4,所以|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ′|=3.故选C. 答案: C 5.(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C: y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( ) A. B.2 C.2 D.3 解析: 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y=(x-1). 联立得方程组 解得或 ∵点M在x轴的上方, ∴M(3,2). ∵MN⊥l, ∴N(-1,2). ∴|NF|==4, |MF|=|MN|==4. ∴△MNF是边长为4的等边三角形. ∴点M到直线NF的距离为2.故选C. 答案: C B组 高考对接限时训练(十三) (时间: 35分钟 满分70分) 一、选择题: 本大题共10个小题,每小题5分,共50分. 1.(2017·九江十校二模)已知抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F,A(4,y0)为抛物线C上一点,满足|AF|=p,则p=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析: 由题意可知: 抛物线C: y2=2px(p>0),焦点在x轴上,焦点坐标F,由抛物线的定义可知: |AF|=4+,|AF|=p,∴=4+,则p=4,故选C. 答案: C 2.(2017·韶关一模)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,且点A在第一象限,若|AF|=3,则直线l的斜率为( ) A.1 B. C. D.2 解析: 由题意可知焦点F(1,0),设A(xA,yA),B(xB,yB),由|AF|=3=xA+1,得xA=2,又点A在第一象限,故A(2,2),故直线l的斜率为2,选D. 答案: D 3.设F1,F2是椭圆E: +=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( ) A. B. C. D. 解析: 由题意可得|PF2|=|F1F2|,所以2=2c,所以3a=4c,所以e=. 答案: C 4.(2017·东北四校联考)已知点F1,F2为双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在双曲线C的右支上,且满足|PF2|=|F1F2|,∠F1F2P=120°,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 解析: 如图,在△PF1F2中,|PF2|=|F1F2|=2c,又∠F1F2P=120°,由余弦定理可得|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2-2|F1F2|·|PF2|·cos120°=12c2,所以|PF1|=2c. 由双曲线的定义可得2a=|PF1|-|PF2|=2c-2c=2(-1)c. 故双曲线的离心率e===. 答案: A 5.从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 解析: 由题意可设P(-c,y0)(c为半焦距),OP=-,AB=-,由于OP∥AB,∴-=-,y0=,把P代入椭圆方程得+=1,即
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