人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章 点直线平面之间的位置关系233234.docx
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人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点直线平面之间的位置关系233234
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
学习目标
1.掌握空间中线面、面面垂直的性质定理.2.能够运用线面、面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.理解线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系.
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
思考 在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直,这些电线杆之间的位置关系是什么?
答案 平行.
梳理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒a∥b
图形语言
知识点二 平面与平面垂直的性质定理
思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?
答案 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直,因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直.
梳理
文字语言
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号语言
α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β
图形语言
类型一 直线与平面垂直的性质定理
例1 如图所示,正方体A1B1C1D1-ABCD中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:
EF∥BD1.
证明 如图,连接AB1,B1C,BD,B1D1.
∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD,DD1∩BD=D,
∴AC⊥平面BDD1B1,
∴AC⊥BD1.
同理,BD1⊥B1C,∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC,
∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.
反思与感悟 证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义:
证共面且无公共点.
(2)利用三线平行公理:
证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理:
把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理:
把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理:
把证线线平行转化为证面面平行.
跟踪训练1 如图,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A、B,a⊂α,a⊥AB.求证:
a∥l.
证明 ∵PA⊥α,l⊂α,∴PA⊥l.
同理PB⊥l.
∵PA∩PB=P,∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α,a⊂α,∴PA⊥a.
∵a⊥AB,PA∩AB=A,∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.
类型二 平面与平面垂直的性质定理及应用
例2 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.
求证:
BC⊥AB.
证明 如图,在平面PAB内,
作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC,
且平面PAB∩平面PBC=PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC,∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,
又∵PA∩AD=A,∴BC⊥平面PAB.
又AB⊂平面PAB,∴BC⊥AB.
反思与感悟 证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:
(1)两个平面垂直;
(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.
跟踪训练2 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.
求证:
(1)BG⊥平面PAD;
(2)AD⊥PB.
证明
(1)平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,
∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.
∴BG⊥平面PAD.
(2)由
(1)可知BG⊥AD,由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,∴PG⊥AD.又BG∩PG=G,
∴AD⊥平面PBG,又PB⊂平面PBG,∴AD⊥PB.
类型三 垂直关系的综合应用
例3 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明
(1)∵PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.
(2)∵AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E和F分别是CD和PC的中点,故四边形ABED为平行四边形,故有BE∥AD.
又AD⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,∴BE∥平面PAD.
(3)在平行四边形ABED中,由AB⊥AD可得,ABED为矩形,故有BE⊥CD.①
由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AB,再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD,
∴CD⊥平面PAD,故有CD⊥PD.
再由E、F分别为CD和PC的中点,可得EF∥PD,
∴CD⊥EF.②
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线,故有CD⊥平面BEF.
由于CD⊂平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.
反思与感悟
(1)证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理,本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.
(2)利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:
①两个平面垂直;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线.
跟踪训练3 如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=
,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:
VB∥平面MOC;
(2)求证:
平面MOC⊥平面VAB;
(3)求三棱锥V-ABC的体积.
(1)证明 ∵O,M分别为AB,VA的中点,
∴OM∥VB.
∵VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,
∴VB∥平面MOC.
(2)证明 ∵AC=BC,O为AB的中点,∴OC⊥AB.
又∵平面VAB⊥平面ABC,且平面VAB∩平面ABC=AB,OC⊂平面ABC,∴OC⊥平面VAB.
∵OC⊂平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB.
(3)解 在等腰直角△ACB中,AC=BC=
,
∴AB=2,OC=1,
∴S△VAB=
AB2=
.
∵OC⊥平面VAB,
∴VC-VAB=
OC·S△VAB=
×1×
=
,
∴VV-ABC=VC-VAB=
.
1.下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行;
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行;
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行;
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行.
其中错误的命题有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案 B
解析 ①垂直于同一条直线的两条直线相互平行,不正确,如正方体的一个顶角的三个边就不成立;②垂直于同一个平面的两条直线相互平行,根据线面垂直的性质定理可知正确;③垂直于同一条直线的两个平面相互平行,根据面面平行的判定定理可知正确;④垂直于同一个平面的两个平面相互平行,不正确,如正方体相邻的三个面就不成立.故选B.
2.下列命题中错误的是( )
A.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ
B.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C.如果平面α⊥平面β,过α内任意一点作交线的垂线,那么此垂线必垂直于β
D.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
答案 C
解析 对于A,平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,则l⊥γ,命题正确;对于B,平面α⊥平面β,不妨设α∩β=a,作直线b∥a,且b⊂α,则b∥β,命题正确;对于C,平面α⊥平面β,过α与β交线上的点作交线的垂线时,该垂线不一定垂直于β,命题错误;对于D,假设平面α内存在直线垂直于平面β,则平面α垂直于平面β,这与已知平面α与平面β不垂直矛盾,所以假设不成立,命题正确,故选C.
3.如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么D在面ABC内的射影H必在( )
A.直线AB上B.直线BC上
C.直线AC上D.△ABC内部
答案 A
解析 在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,∴AC⊥平面ABD.
又∵AC⊂平面ABC,
∴平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,
D在面ABC内的射影H必在AB上.故选A.
4.如图所示,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF=____.
答案 6
解析 ∵AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,
∴AF∥DE.
又AF=DE,∴四边形AFED为平行四边形,
故EF=AD=6.
5.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC⊥底面ABCD,求证:
平面SDC⊥平面SBC.
证明 因为底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD,
平面SDC∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,
所以BC⊥平面SDC.
又因为BC⊂平面SBC,
所以平面SDC⊥平面SBC.
1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系,体现了数学中的转化与化归思想,其转化关系如下:
课时作业
一、选择题
1.下列命题错误的是( )
A.若平面α⊥平面β,则α内所有直线都垂直于β
B.若平面α⊥平面β,则平面α内的直线垂直于平面β内的无数条直线
C.若平面α⊥平面β,则在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线
D.若平面α⊥平面β,则经过α内一点与β垂直的直线在α内
答案 A
解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AA1B1B⊥平面ABCD,直线AB1⊂平面AA1B1B,但AB1与平面ABCD不垂直,故A错.
2.已知m,n为两条不同直线,α,β为两个不同平面,给出下列命题:
( )
①
⇒n∥α②
⇒m∥n
③
⇒α∥β④
⇒m∥n
其中正确命题的序号是( )
A.②③B.③④
C.①②D.①②③④
答案 A
解析 ①中n,α可能平行或n在平面α内;②③正确;④两直线m,n平行或异面,故选A.
3.在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是( )
答案 A
4.设平面α⊥平面β,若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则( )
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β
D.过a的平面与过b的平面垂直
答案 C
解析 当两个平面垂直时,在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.
5.已知l⊥平面α,直线m⊂平面β.有下面四个命题:
①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;
③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的两个命题是( )
A.①②B.③④
C.②④D.①③
答案 D
解析 ∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β,∵m⊂β,∴l⊥m,故①正确;∵l∥m,l⊥α,∴m⊥α,又∵m⊂β,∴α⊥β,故③正确.
6.如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β所成的角分别为
和
.过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A′、B′,则AB∶A′B′等于( )
A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3
答案 A
解析 如图:
由已知得AA′⊥平面β,
∠ABA′=
,BB′⊥平面α,∠BAB′=
.
设AB=a,则BA′=
a,BB′=
a,
在Rt△BA′B′中,A′B′=
a,∴
=2.
7.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则( )
A.PD⊂平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
答案 B
解析 因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.
又因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,
所以PD⊥平面ABC.
二、填空题
8.如图,在三棱锥P-ABC中,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=________.
答案
解析 ∵侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC=90°(即PA⊥AC),
∴PA⊥平面ABC,
∴PA⊥AB,∴PB=
=
=
.
9.直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内,使a∥b成立的条件是________.(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面;
②a和b在正方体两个相对的面内,且共面;
③a和b平行于同一条棱;
④a和b在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直.
答案 ①②③
解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用,②为面面平行的性质,③为公理4的应用.
10.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足________时,A1C⊥B1D1.(写出一个正确条件即可)
答案 AC⊥BD
解析 连接BD.因为BD∥B1D1,所以要使A1C⊥B1D1,即使A1C⊥BD.又因为A1A∩A1C=A1,所以BD⊥平面A1AC.因为AC⊂平面A1AC,所以AC⊥BD.
11.如图所示,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.有以下四个命题:
①PA∥平面MOB;②MO∥平面PAC;③OC⊥平面PAC;④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号)
答案 ②④
解析 因为PA⊂平面MOB,所以①不正确;因为MO∥PA,而且MO⊄平面PAC,所以②正确;OC不垂直于AC,所以③不正确;因为BC⊥AC,BC⊥PA,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC,所以④正确.
三、解答题
12.已知:
α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,求证:
l⊥γ.
证明 如图,在γ内取一点P,作PA垂直于α与γ的交线于点A,PB垂直于β与γ的交线于点B,
则PA⊥α,PB⊥β.
∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥PB.
∵PA与PB相交,且PA⊂γ,PB⊂γ,
∴l⊥γ.
13.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PA=AB,G为PD的中点.求证:
AG⊥平面PCD.
证明 ∵PA⊥平面ABCD,
CD⊂平面ABCD,
∴PA⊥CD.
又AD⊥CD,PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD.
又AG⊂平面PAD,∴AG⊥CD.
∵PA=AB=AD,G为PD的中点,∴AG⊥PD.
又PD∩CD=D,∴AG⊥平面PCD.
四、探究与拓展
14.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
答案 D
解析 如图,在平面图形中CD⊥BD,折起后仍然满足CD⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,故CD⊥平面ABD,CD⊥AB.又AB⊥AD,故AB⊥平面ADC,所以平面ADC⊥平面ABC.
15.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:
AD⊥PB;
(2)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?
并证明你的结论.
(1)证明 如图,设G为AD的中点,连接BG,PG,因为△PAD为正三角形,所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,
所以BG⊥AD.
又BG∩PG=G,所以AD⊥平面PGB.
因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.
(2)解 当F为PC的中点时,平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下:
在△PBC中,因为F是PC的中点,E是BC的中点,
所以EF∥PB.
在菱形ABCD中,GB∥DE,而FE⊂平面DEF,
DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,
所以平面DEF∥平面PGB,
由
(1)得PG⊥平面ABCD,而PG⊂平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD,
所以平面DEF⊥平面ABCD.
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