课题图形的滚动.docx
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课题图形的滚动.docx
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课题图形的滚动
课题:
图形的滚动
执教:
射阳二中胡仁界
教学目标:
经历对图形滚动类问题的探究过程,寻求解决滚动类数学问题的途径,培养学生用动态思维去分析问题和解决问题的能力,感受数学知识的趣味,体验到数学的魅力。
教学过程:
一.导入
二.探究活动一:
圆的滚动
1.课前小实验:
两枚如图同样大的硬币,其中一个固定,另一个沿其周围滚动。
滚动时两枚硬币总保持有一点相接触(外切),当滚动的硬币沿固定的硬币作无滑动滚动一圈回到原来的位置时,滚动的那个硬币自转了几周?
2.探讨:
车轮的滚动
在平地上,自行车车轮(设半径为R)滚动一周,前进了多少路程?
由此你发现了什么规律?
[即学即用]小明从家到学校的路程为1km,他骑的自行车的半径为30cm,那么,小明从家里骑车到学校,车轮大约转了多少圈?
(π取3.14,精确到1圈.)
3.你能说出硬币转动周数的计算方法吗?
4.拓展:
(1)有两个大小不等的圆,定圆⊙O的半径为6cm,动圆⊙P的半径为2cm,若⊙P紧贴⊙O外侧滚动一周,则⊙P自转了多少圈?
(2)若
(1)中的⊙P紧贴⊙O内侧滚动一周,则⊙P自转了多少圈?
方法小结:
如何计算滚动的圆自转的圈数?
5.中考链接:
[例1]将半径为2cm的圆形纸板,沿着边长分别为16cm和12cm的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是多少?
变化:
如果圆开纸板贴着矩形内侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是多少?
[例2]一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘,如图所示,AB与CD是水平的,BC与水平面的夹角为60°,其中,AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,请你画出圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图,并求出此路线的长度。
三.探究活动二:
多边形的滚动
[例3]如图,把直角三角形ABC的斜边AB放在直线上,按顺时针方向在上转动两次,使它转到△A2B2C2的位置上,设BC=1,AC=,则顶点A运动到A2的位置时,点A经过的路线有多长?
点A经过的路线与直线所围成的图形的面积有多大?
[例4]如图,小正六边形沿着大正六边形的边,按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半,如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,在这个过程中线段OA围绕着点O旋转了多少度?
A
四.课堂小结
五.作业.
《滚动的图形》探究练习
班级_____学号______姓名________
1.如图一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了( )圈.
2.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开始至结束走过的路径长度是____________。
3.如图,将边长为1的正方形OAPB沿z轴正方向连续翻转2006次,点P依次落在点P1,P2,P3,P4,…,P2006的位置,则P2006的横坐.x2006=__________.
4.如图2,将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动(不滑动),当正方形滚动两周时,正方形的顶点A所经过的路线的长是________cm.
5.如图,矩形ABCD的长和宽分别为2和1,AB在直线m上。
依次以B、、为中心将矩形ABCD按顺时针旋转90°,这样点A按曲线移动,其中弧与边CD交于点P。
(1)、求A点运动的路径的长度;
(2)、求图中阴影部分的面积;
(3)、求A点的运动路径与直线m所围图形的面积。
“求硬币旋转圈数问题”的另一种方法
2004年《小学数学教师》第5期77页上有这样一个著名的经典问题:
这题的答案是2圈,对于文中的答案书上给出了两种解释。
对于这两种方法,虽然都说明了为什么会转2圈的道理,但都显得比较抽象、难懂。
而且用这两种方法去解答后面的题目都给人太复杂的感觉。
我认为还有更直观易懂的方法去解释它。
一、预备定理:
“一个圆滚动前进,这个圆的圆心所经过路径(轨迹)的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。
”
二、证明:
“如右图,圆和这条直线相切于A点,这个圆从A点开始沿着直线滚动一周后再和这条直线相切于A点,这时圆心所经过路径长度为线段OO的长度,圆周所滚过的路径长度为线段AA的长度,这两个长度是一样的。
事实上因为“圆是到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的轨迹”,滚动时圆上的点前进多少,圆心也会前进多少。
因此,不管圆怎样滚动,圆心所经过轨迹的长度一定会等于圆周所滚动过的长度。
利用以上的结论,对于开头的问题,我是这样去理解的:
甲硬币固定不动,乙硬币沿甲硬币的周围自我滚动,当乙把甲的圆周滚完后又回到起始点时,乙硬币的圆心所经过的轨迹就是一个以甲硬币的圆心为中心的圆,如右图,设这个大圆的半径为R,这个大圆的周长=乙硬币的圆心所经过轨迹的长度=2πR。
利用预备定理:
这个圆的圆心所经过路径(轨迹)的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。
所以当硬币乙沿硬币甲的周围滚动一周后再回到起始点时,硬币乙一共滚动过的距离也等2πR,而硬币乙自己滚动一周的长度为为2πr(本圆的周长)。
这儿R=2r,所以2πR是2πr的2倍,2πR÷2πr=2,即硬币乙一共旋转了2圈。
用这个方法去考虑这类问题的优点在于:
只要看出这个滚动物体的圆心所经过的路径(轨迹),并求出这个路径(轨迹)的长度,再用这个长度去除以这个物体自身滚动一周所经过的长度,答案即为自己所旋转的圈数。
例1:
取八个大小相同的硬币,摆成右图形状。
最上端那个硬币(圆A)顺着排成圈的6个硬币滚动着旋转一圈。
问硬币A自己一共转了几圈?
分析与解答:
设每个硬币直径为1,当圆A转至A位置(此时圆A与圆B和圆C都相切)时,圆A始终以圆B的圆心为圆心,1为半径旋转且旋转了60,这个轨迹的长度为2×π×1×=。
可以看出,圆A顺着6个硬币旋转一周,所滚过的路径长度为12×=4π,而硬币A自己转一圈经过路径的长度为2×π×0.5=π,因此硬币A一共转了4π÷π=4(圈)。
例2:
如右图所示,如果圆O周长为20π厘米,有两个同样大小的小圆A、B,其半径为2厘米,小圆A沿圆O的内壁滚动,小圆B沿圆O的外壁滚动,小圆B转动几圈后回到原来的位置?
小圆B转动几圈后回到原来的位置?
小圆A转动几圈后回到原来的位置?
分析与解答:
圆O的半径为20π÷π÷2=10厘米,当小圆B沿圆O的外壁滚动再回到原来位置时,小圆B的圆心所经过的轨迹为“以O为圆心,以(10+2)厘米为半径的圆。
”这个轨迹长度为2×12×π,而这个长度也等于小圆B的圆周滚过的长度,而小圆B自己转一圈的长度为2×2×π,(2×12×π)÷(2×2×π)=6圈。
小圆A沿圆O内壁滚动再回到原来位置时,小圆A的圆心的运动轨迹为“以O为圆心,以(10-2)厘米为半径的圆。
”所以小圆A的圆心共经过了2×8×π厘米,(2×8×π)÷(2×2×π)=4圈。
推广到更一般的情况:
当圆乙在圆甲的外圆周上作无滑动的滚动一周时,圆乙自身旋转的圈数为2π(R甲+R乙)÷(2πR乙)=(R甲+R乙)÷R乙,在圆甲的内圆周作无滑动的滚动一周时,圆乙自身旋转的圈数为2π(R甲-R乙)÷(2πR乙)=(R甲-R乙)÷R乙,(R甲>R乙),用这种方法解题更直观简便且操作性强。
现在我们用新方法来解决一些近年来出现的数学竞赛题,最后所附其余题目可以自己思考。
1、一个小轮在一个大轮内不停地滚动,大轮的半径是小轮的直径。
小轮滚动一周回到原来位置时,小轮自己旋转了几圈?
(第9届全国华罗庚少儿数学邀请赛初赛题)
解答:
R=2r,(R-r)÷r=1圈。
2、如右图,在一边长为8.28厘米的正方形内有一个半径为1厘米的小圆,小圆紧贴正方形的内壁滚动一周,小圆自己要转几圈?
解答:
小圆紧贴正方形的内壁滚动一周后,圆心经过
的轨迹为一个边长6.28厘米(8.28-1-1)的正方形,
其长度为6.28×4=25.12厘米,这个长度也等于小圆
的圆周一共所滚过的长度。
小圆自己转一圈的长度为3.14×2=6.28厘米,
25.12÷6.28=4圈
拿两个5毛硬币,一个不动,另一个贴着第一个转,总共转1周,问第二个硬币转了几圈?
这个问题看似很无聊,自己拿硬币试试就知道了(当然我没有一次成功的转满一周,每次都打滑╮(╯▽╰)╭)。
实际上,我的第一反应是:
肯定不是1圈,2圈差不多,不过也太巧合了吧。
然而,生活总是玩弄我们,这种巧合确实存在,事实上答案确实是两圈。
然而,生活中的数学问题肯定是有依据的,我们试着从理论层面来分析这个问题。
一个圆绕着另一个圆旋转,这个问题有点复杂,我们不妨将问题化简一下:
一个圆在一条线上运动,它运动的距离是多少?
答案很显然,就是圆心所走的距离!
由此,我们容易知道,一个圆转动过程中,运动的路程等于圆心运动的路程。
有趣的事情发生在一条折线上。
当圆运动到线段的尽头时,它会转向,而此时底部的点是静止不动的。
至于怎么转向……我们知道,圆O与第一条线段相切,前进过程中圆始终保持这个状态,相当于以转折点为圆心、圆的半径为半径,做一条弧,运动到圆O’时,圆O’要与第二条线段相切。
由此,我们易知:
圆O在转折时,运动的距离就是弧O’O的长度(注意,此时圆下面那个点不动,只是“重心转移”)。
说到这里,原来滚硬币的问题应该就很容易解决了。
我们推广到一般情况,两个圆,圆A和圆B半径分别是r和R,两圆切与C点,圆B绕着圆A转一周。
则圆B运动的路程就是以A为圆心、(r+R)为半径的圆的周长,即2π(r+R)。
我们要计算圆B转的圈数,实际上就是除以圆B的周长。
所以圆B转的圈数就是:
2π(r+R)/2πR即(r+R)/R。
对于两个5毛硬币,r=R,所以转的圈数就是(1+1)/1=2圈。
其实我们还可以有更多的玩法,比如说把这个圆放到一个三角形外面。
圆的半径为r,三角形三边分别长aπr,bπr,cπr,圆运动的路程就如图中虚线所示。
我们可以把它拆成两部分,一部分是(a+b+c)πr,另一部分就是三个弧部分。
这三个弧又应该怎么算呢?
生活再次玩弄了我们,这三个弧的角度之和等于360°!
原因就是每个条弧所对的角都与三角形的一个角互补,于是乎三条弧度数之和就是(180°-∠A)+(180°-∠B)+(180°-∠C)=180°×3-180°=360°!
也就是一个圆,所以三条弧总长2πr。
所以圆转动的圈数就=(a+b+c+2)πr/2πr=(a+b+c+2)/2。
当然,你还可以把这个圆扔到抛物线上等等……
取两枚大小相同的硬币,将其中一枚固定在桌子上,另一枚沿着固定硬币的边缘滚动一周,那么滚动的硬币自身转了多少圈
请你动手试一试:
如图,取两枚大小相同的硬币,将其中一枚固定在桌上,另一枚沿固定硬币的边缘滚动一周,那么滚动的硬币自身转了多少圈?
(本文中的“滚动”均指“无滑动的滚动”).
你想出来了吗?
是不是陷入了困境?
别急,下面我们一起来解决它.
引子1:
现在有这样一道题:
如图,一枚半径为r的硬币沿直线滚动,圆心经过的距离是多少时硬币滚动了一圈?
这个问题你会吗?
我相信很多同学都会!
因为同学们知道圆心经过的路径是与桌面平行的一条线段.硬币沿直线滚动一圈,圆心经过的路径长度等于硬币的周长.所以圆心经过的距离为时滚动了一圈.
引子2:
如图,把上题中的直线换成有点弧度的曲线,结果又会怎样呢?
硬币沿曲线滚动一圈,圆心经过的路径长度等于硬币的周长.
所以此时结果也是圆心经过的距离为时滚动了一圈.
引子3:
如图,把上题中的有点弧度的曲线换成弧度很大的曲线,结果又会怎样呢?
硬币沿曲线
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