考研数学《概率统计》讲义第五讲.docx
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考研数学《概率统计》讲义第五讲
随机事件与概率一、随机试验与随机事件1、随机试验―2、样本空间―随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合,称为随机试验的样本空间。
3、随即事件―样本空间的子集称为随机事件。
二、事件之间的关系与事件的运算
(一)事件的运算与关系1、事件的积―事件A和事件B都发生,称为事件A和事件B的积,记AB;2、事件的和―事件A或者事件B发生,称为事件A和事件B的和,记A+B;3、事件的差―事件A发生而事件B不发生,称事件A与事件B的差,记A-B;4、包含―若事件A发生则事件B一定发生,称A包含于B,记AB。
若AB且BA,则称两事件相等,记A=B;5、互斥(不相容)事件―若事件A和事件B不能同时发生,即AB=,称事件A和事件B不相容;6、对立事件―若AB=,A+B=,称事件A和事件B为对立事件。
(二)事件运算的性质:
1、
(1);
(2);2、
(1);
(2);3、
(1);
(2);(3)。
4、
(1);
(2)。
三、概率的定义与性质
(一)概率的定义―设随机试验的样本空间为,满足如下条件的随机事件的函数称为所对应事件的概率:
(1)对事件,有(非负性);
(2)(归一性);(3)设为一列互不相容的随机事件,则有(可列可加性)。
(二)性质1、;2、设为互不相容的有限个随机事件列,则;3、。
四、概率公式1、加法公式:
,特别地,若,则;2、减法公式:
,特别地,若,则;3、条件概率公式:
设是两个事件,且,则;4、乘法公式:
设,则,更一般地,。
五、事件的独立性1、两个事件的独立―设是两个事件,若,称事件相互独立。
2、三个事件的独立―设是三个事件,若,称事件相互独立。
注解:
相互独立的充分必要条件是任何一对相互独立。
六、全概率公式与Bayes公式1、完备事件组―设事件组满足:
(1);
(2),则称事件组为一个完备事件组。
2、全概率公式:
设是一个完备事件组,且,为事件,则。
3、贝叶斯公式:
设为一个完备事件组,且,为任一随机事件,,则。
七、三种重要的概率类型1、古典概型―若随机试验满足如下两个条件:
(1)样本空间中只有有限个样本点;
(2)样本空间中每个样本点发生是等可能的,这样的随机试验称为古典概型。
设为任一随机事件,则。
2、几何概型―若样本空间为欧氏空间,且所有样本点等可能出现,该随机试验称为几何概型,设为随机事件,则。
3、贝努利概型―若随机试验只有两个可能的结果,且每次试验的可能结果与可能结果的概率保持不变,这样的试验称为贝努利试验。
设,则次试验中事件发生次的概率为。
例题选讲一、填空题:
1、设,
(1)若不相容,则;
(2)若相互独立,则。
2、设,则事件全不发生的概率为。
3、设两两相互独立的事件满足:
,且有,则。
4、设事件满足,且,则。
5、设为两个相互独立的随机事件,且都不发生的概率为,发生不发生的概率与不发生发生的概率相等,则。
二、选择题:
1、设是两个随机事件,且,则[];;;。
2、设事件满足,且,则[]事件对立;事件相互独立;事件不相互独立;事件不相容。
三、解答题1、一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取2次,每次抽取一个,抽取后不放回,求第二次抽取的是次品的的概率。
2、设工厂与工厂的次品率分别为1%和2%,现从由和生产的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该次品是生产的概率。
3、设事件在每次试验中的概率为,三次独立重复试验中事件至少出现一次的概率为,求事件发生的概率。
4、甲乙两人独立对同一目标射击一次,命中率分别为50%和60%,已知目标被命中,求是甲命中的概率。
第二讲一维随机变量及其分布一、基本概念1、随机变量―设,,对任意的,总存在唯一确定的与之对应,称为随机变量,若的可能取值为有限个或可列个,称为离散型随机变量,若在某可区间上连续取值,称为连续型随机变量。
2、分布函数―设为一个随机变量,称函数为随机变量的分布函数。
注解:
分布函数的性质有
(1);
(2);(3);(4)。
3、离散型随机变量的分布律―4、连续型随机变量的密度函数―二、常见离散型随机变量及其分布律1、(0―1)分布―2、二项分布―3、Poisson分布―4、几何分布三、常见的连续型随机变量及其分布密度1、均匀分布―若随机变量的密度函数为,称随机变量服从均匀分布,记为,其分布函数为。
2、正态分布―若随机变量的密度函数为,称随机变量服从正态分布,记为,特别地,若,称随机变量服从标准正态分布,记为,其密度为,其分布函数为。
3、指数分布―若随机变量的密度为,称随机变量服从指数分布,记为,其分布函数为。
四、随机变量函数的分布例题选讲一、选择题1、设的密度为,分布函数为,下列结论正确的是[]为某随机变量的分布函数;为某随机变量的密度函数;为某随机变量的分布函数;为某随机变量的密度函数。
2、设随机变量的密度函数为偶函数,其分布函数为,则[]为偶函数;;;。
3、设,令,则[]对任意实数都有;对任意实数都有;对个别,才有;对任意实数,都有。
4、设,则随的增大,概率[]单调增大;单调减少;保持不变;增减不确定。
二、填空题1、。
2、。
三、解答题1、有3个盒子,第1个盒子有4个红球1个黑球,第2个盒子有3个红球2个黑球,第3个盒子有2个红球3个黑球,若任取一个盒子,从中任取3个求,以表示红球个数。
(1)写处的分布律;
(2)求红球个数不少于2个的概率。
[解]令,则,随机变量的可能取值为。
,,,,则的分布律为。
2、设离散型随机变量的分布函数为,求的分布律。
3、设的分布函数为,
(1)求;
(2)求密度函数;(3)求。
[解]
(1)因为为连续函数,所以,从而可得。
(2)。
(3)。
4、设,求随机变量的概率密度。
5、设,且,求随机变量的概率密度。
第三讲二维随机变量及其分布基本概念1、二维随机变量―设为两个随机变量,由其组成的随机变量称为二维随机变量。
2、联合分布函数―设为二维随机变量,称为的联合分布函数。
3、二维离散型随机变量的联合分布律―设为二维离散型随机变量,称为的联合分布律,称分别为随机变量的边际分布律。
4、连续型随机变量的联合密度函数―设为二维连续型随机变量,若存在,使得,称为随机变量的联合密度函数,称分别为随机变量的边际密度函数。
注解:
联合分布函数的性质1、;2、;3、关于或者都是单调不减且右连续的函数;4、。
二、常见的二维连续型随机变量1、均匀分布―设二维连续型随机变量的联合密度为,其中为区域的面积,称在区域上服从均匀分布。
2、正态分布―设二维连续型随机变量的联合密度为则称服从二维正态分布,记为,其中。
注解:
若,则。
三、随机变量的条件分布
(一)二维离散型随机变量的条件分布1、设,在事件发生的情况下,事件发生的条件概率为;2、设,在事件发生的情况下,事件发生的条件概率为。
(二)二维连续型随机变量的条件密度1、设,则在“”的条件下,的条件概率密度为;2、设,则在“”的条件下,的条件概率密度为。
四、随机变量的独立性1、定义―设为二维随机变量,若对任意的都有,称随机变量相互独立。
2、独立的充分必要条件
(1)离散型随机变量―设为二维离散型随机变量,则相互独立的充要条件是。
(2)连续型随机变量―设为二维连续型随机变量,则相互独立的充要条件是(可以除去有限个点)。
例题选讲一、选择题1、设相互独立的随机变量分别服从及,则[];;;。
二、填空题1、设为两个随机变量,且,则。
三、解答题1、袋中有10个大小相同的球,其中6个红球4个白球,随机抽取2个,每次抽取1个,定义如下两个随机变量:
,就下列两种情况,求的联合分布律:
(1)每次抽取后放回;
(2)每次抽取后不放回。
[解]
(1),;
(2),。
2、设的联合密度为,求
(1)常数;
(2)的分布函数;(3)的分布函数;(4)。
[解]
(1);
(2)当时,,所以。
(3),当时,,当时,,所以。
(4),。
3、设随机变量,求随机变量的分布函数。
[解],当时,,,当时,,,所以。
第四讲随机变量的数字特征一、数学期望及其性质
(一)数学期望的定义1、离散型随机变量的数学期望―设随机变量的分布律为,则其数学期望为。
2、连续型随机变量的数学期望―设连续型随机变量的概率密度为,则其数学期望为。
3、二维离散型随机变量的数学期望―设离散型随机变量的联合分布律为,则。
4、二维连续型随机变量的数学期望―设二维连续型随机变量的密度为,则。
(二)数学期望的性质1、;2、;3、;4、;5、若随机变量相互独立,则。
二、方差的定义及性质
(一)定义―。
(二)性质1、;2、;3、;4、设随机变量相互独立,则。
三、常见随机变量的数学期望和方差1、二项分布:
;2、泊松分布:
;3、均匀分布:
。
4、正态分布:
。
四、协方差与相关系数
(一)定义1、协方差―。
2、相关系数―,若,称随机变量不相关。
(二)性质1、;2、;3、;4、;5、。
注解:
若随机变量相互独立,则一定不相关,反之不对。
例题选讲一、填空题1、设随机变量相互独立,且,则。
2、随机变量,则。
3、设独立同分布,且都服从,则。
4、设表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射击命中概率为,则。
5、设随机变量的密度为,则。
6、设随机变量服从参数为的泊松分布,且,则。
二、解答题1、设,,
(1)求的联合分布律;
(2)。
[解],
(1),
(2)。
2、设,且,
(1)求的联合分布律;
(2)问是否相互独立?
为什么?
[解]
(1)因为,所以,,。
(2)因为,所以不相互独立。
3、设,求
(1)的联合分布律;
(2)。
[解]
(1)的可能取值为,,,,,。
(2),。
4、试验成功的概率为,独立重复试验直到成功2次为止,以表示所需要进行的试验次数,求的概率分布与数学期望。
[解],,,则。
5、设的密度函数为,对独立重复观察4次,表示观察值大于的次数,求。
[解]因为,所以。
第五讲大数定律与中心极限定理一、车比雪夫不等式设随机变量的方差存在,则对任意的,有,或者。
大数定律1、(车比雪夫大数定律)设随机变量相互独立,存在且,则对任意的,有
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- 概率统计 考研 数学 概率 统计 讲义 第五
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