九年级圆的基础知识点经典例题与课后习题.docx

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九年级圆的基础知识点经典例题与课后习题

圆

一：

【知识梳理】

1.圆的有关概念和性质

（1）圆的有关概念

①圆：

平面上到定点的距离

等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其

中定点为圆心，定长为半径．

②弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．

③弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

（2）圆的有关性质

①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对

称中心为圆心．

②垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

说明：

根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

③弧、半圆、优弧、劣弧：

弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“

”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。

半圆：

直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。

优弧：

大于半圆的弧叫做优弧

劣弧：

小于半圆的弧叫做劣弧。

（为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。

）

④弧、弦、圆心角的关系：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

推论：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．

⑤等圆：

能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

⑦圆心角：

顶点在圆心的角叫做圆心角.

⑧弦心距:

从圆心到弦的距离叫做弦心距.

（3）对圆的定义的理解：

①圆是一条封闭曲线，不是圆面；

②圆由两个条件唯一确定：

一是圆心（即定点），二是半径（即定长）

2.与圆有关的角

（1）圆心角：

顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

（2）圆周角：

顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．

（3）圆心角与圆周角的关系：

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它

所对的圆心角的一半．

（4）圆内接四边形：

顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．

圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于

它相邻内角的对角．

3.点与圆的位置关系及其数量特征：

如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则

①点在圆上<===>d=r;

②点在圆内<===>d

③点在圆外<===>d>r.

其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。

4.确定圆的条件:

1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:

圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.

2.经过三点作圆要分两种情况:

（1）经过同一直线上的三点不能作圆.

（2）经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.

定理:

不在同一直线上的三个点确定一个圆.

3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:

（1）三角形的外接圆和圆的内接三角形:

经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.

（2）三角形的外心:

三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.

（3）三角形的外心的性质:

三角形外心到三顶点的距离相等.

5.直线与圆的位置关系

1.直线和圆相交、相切相离的定义:

（1）相交:

直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.

（2）相切:

直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.

（3）相离:

直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.

2.直线与圆的位置关系的数量特征:

设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；

①d直线L和⊙O相交.

②d=r<===>直线L和⊙O相切.

③d>r<===>直线L和⊙O相离.

3.切线的总判定定理:

经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.

4.切线的性质定理:

圆的切线垂直于过切点的半径.

推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:

如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.

①垂直于切线;②过切点;③过圆心.

5.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.

6.三角形内心的性质:

（1）三角形的内心到三边的距离相等.

（2）过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.

由此性质引出一条重要的辅助线:

连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.

6.圆和圆的位置关系.

1.外离、外切、相交、内切、内含（包括同心圆）这五种位置关系的定义.

（1）外离:

两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.

（2）外切:

两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.

（3）相交:

两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.

（4）内切:

两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.

（5）内含:

两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.

2.两圆位置关系的性质与判定:

（1）两圆外离<===>d>R+r

（2）两圆外切<===>d=R+r

（3）两圆相交<===>R-r

（4）两圆内切<===>d=R-r（R>r）

（5）两圆内含<===>dr）

3.相切两圆的性质:

如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.

4.相交两圆的性质:

相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

7.圆内接四边形

若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.

圆内接四边形的特征:

①圆内接四边形的对角互补;

②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.

8.弧长及扇形的面积

1.圆周长公式:

圆周长C=2

R（R表示圆的半径）

2.弧长公式:

弧长

（R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数）

3.扇形定义:

一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.

4.弓形定义:

由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.

弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.

5.圆的面积公式.

圆的面积

（R表示圆的半径）

6.扇形的面积公式:

扇形的面积

（R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数）

弓形的面积公式:

（如图5）

（1）当弓形所含的弧是劣弧时,

（2）当弓形所含的弧是优弧时,

（3）当弓形所含的弧是半圆时,

二、例题解析

【例题1】如图1，⊙

是

的外接圆，

是直径，若

，则

等于（）

A．60ºB．50ºC．40ºD．30º

图1图2图3

【例题2】如图2，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为

10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为cm．

【例题3】如图3，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝_________．

【例题4】如图4已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70o，∠c=50o，那么sin∠AEB的值为（）

A.

B.

C.

D.

图4

【例题5】如图5，半圆的直径

，点C在半圆上，

．

（1）求弦

的长；

（2）若P为AB的中点，

交

于点E，求

的长．

三、课堂练习

1、如图6，在⊙O中，∠ABC=40°，则∠AOC＝度．

图6图7图8

2、如图7，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO=32°，则∠COB的度数等于．

3、已知⊙O的直径AB=8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC=30º，则BC=______cm.

4、如图8，已知在

中，

，

，分别以

，

为直径作半圆，面积分别记为

，

，则

+

的值等于．

5、如图9，⊙O的半径OA＝10cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为___________cm。

图9

6、如图10，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=

，

（1）求∠BAC的度数；

（2）求⊙O的周长

7、已知：

如图11，⊙O的直径AB与弦CD相交于Ｅ，弧BC＝弧BD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．

（1）求证:

CD∥BF．

（2）连结BC,若⊙O的半径为4,cos∠BCD=

求线段AD、CD的长．

8、如图12，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，

交AB的延长线于E，垂足为F．

（1）求证：

直线DE是⊙O的切线；

（2）当AB=5，AC=8时，求cosE的值．

图12

四、经典考题解析

1.如图13，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝6

0○，AC＝3，则△ABC的周长是____________.

图13图14图15

2.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：

“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图14，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD

于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）

A．12．5寸B．13寸C．25寸D．26寸

3.如图15，已知AB是半圆O的直径，弦AD和BC相交于点P，那么

等于（）

A．sin∠BPDB．cos∠BPDC．tan∠BPDD．cot∠BPD

4.⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8，

求AB与CD之间的距离．

5.如图16，在⊙M中，弧AB所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系，点C是y轴与弧AB的交点。

（1）求圆心M的坐标；

（

2）若点D是弦AB所对优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积

图16

五、课后训练

1.如图17，在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30○，则⊙O的直径等于_________cm．

图17图18图19

2.如图18，C是⊙O上一点，O是圆心．若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）

A．35○B．70○C．105○D．150○

3.如图19，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中和∠1相等的角有______

4.在半径为1的圆中，弦AB、AC分别是

和

，则∠BAC的度数为多少？

5.如图20，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上，则∠C的度数是_______.

图20图21图22

6.如图21，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）

A．50°B．80°C．100°D．130°

7.如图22，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果∠BOD=120°

，那么∠BCE等于（）

A．30°B．60°C．90°D．120°

8.如图，⊙O的直径AB=10，DE⊥AB于点H，AH=2．

（1）求D

E的长；

（2）延长ED到P，

过P作⊙O的切线，切点为C，

若PC=22

，求PD

的长．

九年级数学圆练习题

一、填空题：

（21分）

1、如图，在⊙O中，弦AB∥OC，

，则

=_________

2、如图，在⊙O中，AB是直径，

，则

=__________

3、如图，点O是

的外心，已知

，则

=___________

（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）

4、如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧BD，

，则

．

（5题图）（6题图）（7题图）

5、如图，⊙O的直径为8，弦CD垂直平分半径OA，则弦CD＝．

6、已知⊙O的半径为2cm，弦AB＝2cm，P点为弦AB上一动点，则线段OP的范围是．

7、如图，在⊙O中，∠B=50º，∠C=20º，则∠BOC的=____________

二、解答题（70分）

1、如图，AB是⊙O的直径.若OD∥AC，

与的大小有什么关系？

为什么？

2、已知：

如图，在⊙O中，弦AB=CD.求证：

⑴弧AC=弧BD；⑵∠AOC=∠BOD

3、如图，已知：

⊙O中，AB、CB为弦，OC交AB于D，求证：

（1）∠ODB>∠OBD，

（2）∠ODB>∠OBC；

4、已知如图，，AB、AC为弦，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，MN是△ABC的中位线吗？

5、已知如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE，求证：

∠D=∠B

6、已知如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，CE平分∠DCO，交⊙O于E，

求证：

弧AE=弧EB

7、如图，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.

（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外.

（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.

（2）当r在什么范围时，⊙C与线段AB相切。

三、计算下列各题：

（40分）

1、如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，OD=

，求BC的长；

2、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长．

3、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，求CD的长。

4、如图，在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长.

5、如图所示，已知矩形ABCD的边

。

（1）以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？

（2）若以点A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？

四、作图题：

（9分）

如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片,试找出它的圆心,并将它还原成一个圆．要求：

１、尺规作图；２、保留作图痕迹．（可不写作法．）

五、探究拓展与应用（10分）

1、在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图

（1）所示：

∵∠AOC是△ABO的外角

∴∠AOC=∠ABO+∠BAO

又∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA

∴∠AOC=2∠ABO

即∠ABC=

∠AOC

如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图

（2）、（3），那么上述结论是否成立？

请你说明理由。