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计算机数学基础教案7
第二节谓词逻辑
一、题型分析
本章主要介绍谓词逻辑的基本概念、基本定理与方法等.
经常涉及到的内容有:
(一)谓词公式的翻译
(二)求辖域、约束变元、自由变元、变元换名
(三)在有限个体域下消去量词
(四)谓词推理演算
因此,在本章学习过程中希望大家要清楚地知道:
1.谓词
用以描述个体的性质或个体间关系的语法模式称为谓词.谓词命名式是谓词与个体和个体变元结合的表示形式.谓词命名式也简称为谓词.
谓词一般用大写字母P、Q、R等表示,个体一般用小写字母a、b、c等表示,个体变元就一般用小写字母x、y、z等表示.
谓词可以写成P(x,y)、H(x,y,z)、F(x)等形式.
2.量词
将表明个体取值量上的词“任意”、“所有的”、“全部”、“凡是”、“一切”等称为全称量词.全称量词用表示.
将表明个体取值量上的词“存在”、“有的”、“有些”、“至少有”等称为存在量词.存在量词用表示.
在书写谓词时,通常将个体变元的个体域定义为全总个体域,然后根据需要对各个不同的个体应用描述个体特性的谓词(称为特性谓词)来加以约束限制.
在谓词形式中,特性谓词的加入有两条规则:
(1)对全称量词,特性谓词作为蕴含式(条件式)的前件加入.
(2)对存在量词,特性谓词作为合取项加入.
即在命题符号化时要注意:
使用全称量词,特性谓词后用;使用存在量词,特性谓词后用.
设G(x)是一元谓词,个体域为D.则
命题xG(x)的真值:
xG(x)取1值当且仅当对任意xD,G(x)都取1值.
xG(x)取0值当且仅当有一个x0D,使得G(x0)取0值.
命题xG(x)的真值:
xG(x)取1值当且仅当有一个x0D,使得G(x0)取1值.
xG(x)取0值当且仅当对任意xD,G(x)都取0值.
3.谓词公式
谓词公式可由下述各条规则组成:
(1)原子公式是合式公式.
(2)若A是合式公式,则A是合式公式.
(3)若A与B均是合式公式,则(AB),(AB),(A→B),(AB)是合式公式.
(4)若A是合式公式,x是A中出现的任何变元,(x)A与(x)A均是合式公式.
(5)仅有限次应用规则
(1)至(4)构成的公式为合式公式.
由上定义知,命题演算公式也是谓词合式公式.
4.变元的约束
对于(x)P(x)或(x)P(x)形式的公式,或后面所跟的个体变元x称为相应量词的指导变元.
紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖域.
在量词的辖域内指导变元的一切出现均称为变元的约束出现.约束出现的变元称为约束变元.
在公式中,变元的非约束出现称为变元的自由出现.自由出现的变元称为自由变元.
约束变元的换名规则:
对约束变元进行换名,即将量词辖域中出现的某个约束变元和相应的指导变元,换成另一个辖域中未曾出现过的变元符号,公式中的其余部分不变.
自由变元的代入规则:
对自由变元进行代入,即对自由变元用与原公式中所有变元不同的符号去代替,并且处处代替.
5.在有限个体域下消去量词
当个体域为有限集合{a1,a2,…,an}时,消去量词的规则为:
(x)P(x)P(a1)P(a2)…P(an)
(x)P(x)P(a1)P(a2)…P(an)
6.推理理论
谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充,命题演算中的基本等价式,重言蕴含式以及P规则、T规则、CP规则在谓词演算中仍然适用.
谓词逻辑中几个常用的等价式:
(x)P(x)(x)P(x)
(x)P(x)(x)P(x)
(x)(A(x)B)(x)A(x)B
(x)(A(x)B)(x)A(x)B
(x)(A(x)B)(x)A(x)B
(x)(A(x)B)(x)A(x)B
(注:
子公式B中不出现约束变元x)
(x)(A(x)B(x))(x)A(x)(x)B(x)
(x)(A(x)B(x))(x)A(x)(x)B(x)
谓词逻辑的推理演算新增加了添加与消去量词的四条规则:
(1)全称指定规则(全称量词消去规则),表示为US,即:
(x)P(x)
P(c)
此规则是对量词约束的变元任意指定一个个体,其逻辑含义是,如果(x)P(x)成立,则可以任取个体域中某个任意的个体c,而P(c)也是成立的.
(2)全称推广规则(全称量词附加规则),表示为UG,即:
P(c)
(x)P(x)
此规则是对使得谓词P成立的个体c进行推广,其逻辑含义是,如果对于个体域中任意的个体c,有P(c)成立,则(x)P(x)也成立.
(3)存在指定规则(存在量词消去规则),表示为ES,即:
(x)P(x)
P(c)
此规则是对量词约束的变元指定一个个体,其逻辑含义是,如果(x)P(x)成立,则个体域中有某个个体c使得P(c)成立.
(4)存在推广规则(存在量词附加规则),表示为EG,即:
P(c)
(x)P(x)
此规则是对使得谓词P成立的个体c进行推广,其逻辑含义是,如果对于个体域中存在某个个体c,使P(c)成立,则(x)P(x)也成立.
二、知识点分析
知识点1:
命题公式的翻译
将语句“有人去上课.”翻译成谓词公式.
[解题过程]设P(x):
x是人,Q(x):
x去上课.则语句“有人去上课.”翻译成谓词公式为
.
易错点:
有学生会误表示为(x)(P(x)Q(x)).
提示:
用存在量词“”来表明个体的取值量,对各个不同的个体应用描述个体特性的特性谓词P(x)来加以约束限制时,特性谓词作为合取项加入.
将语句“所有的人都学习努力.”翻译成谓词公式.
[解题过程]设P(x):
x是人,Q(x):
x学习努力.则语句“所有的人都学习努力.”翻译成谓词公式为
(x)(P(x)Q(x)).
易错点:
有学生会误表示为(x)(P(x)Q(x)).
提示:
用全你量词“”来表明个体的取值量,对各个不同的个体应用描述个体特性的特性谓词P(x)来加以约束限制时,特性谓词作为条件式的前件加入.
知识点2:
量词辖域、约束变元、自由变元
设谓词公式
,试
(1)写出量词的辖域;
(2)指出该公式的自由变元和约束变元.
[解题过程]
(1)量词的辖域为
,
第1个量词的辖域为
,
第2个量词的辖域为
.
(2)
与
中的y,以及
中的z为自由变元.
中的x,
中的z,以及
中的y为约束变元.
易错点:
求辖域容易出错,要注意式中括号的配对.
提示:
紧跟量词后面的个体变元为该量词的指导变元,在该量词的辖域中与指导变元相同的变元为约束变元,与指导变元不同的或不在任何量词的辖域中的变元为自由变元。
知识点3:
变元换名
下面的推理是否正确,试予以说明.
(1)(x)F(x)G(x)前提引入
(2)F(y)G(y)US
(1).
[解题过程]错误.
第2步应为:
F(y)G(x)
因为F(x)中的x是约束变元,而G(x)中的x是自由变元,换名时,约束变元与自由变元不能混淆.
易错点:
约束变元与自由变元容易混淆.
提示:
详细过程应为:
(1)xF(x)G(x)前提引入
(2)uF(u)G(x)T
(1)换名规则
(3)u(F(u)G(x))T
(2)
(4)F(y)G(x)US(3)
知识点4:
在有限个体域下消去量词
设个体域
,则谓词公式
消去量词后的等值式为.
答(A(a)A(b))(B(a)B(b))
[解题过程](x)A(x)A(a)A(b),(x)B(x)B(a)B(b),所以
(x)A(x)(x)B(x)(A(a)A(b))(B(a)B(b))
易错点:
容易用错合取、析取符号.
提示:
当个体域为有限集合{a1,a2,…,an}时,消去量词的规则为:
(x)P(x)P(a1)P(a2)…P(an)
(x)P(x)P(a1)P(a2)…P(an)
知识点5:
谓词推理演算
试证明
.
[证明过程]
(1)
P
(2)
ES
(1)
(3)
T
(2)I(化简规则)
(4)
EG(3)
(5)
T
(2)I(化简规则)
(6)
EG(5)
(7)
T(4)(6)I
易错点:
推理规则不易理解和掌握.
提示:
(1)式引入前提后,根据存在指定规则提到
(2)式,根据化简规则得到(3)式、(5)式,再根据存在推广规则分别得到(4)式、(6)式,最后根据合取引入规则要证明的结果(7)式.
三、模拟练习
练习1:
将语句“所有人都去工作.”翻译成谓词公式.
练习2:
设A(x):
x是人,B(x):
x是学生,则命题“不是所有人都是学生”可符号化为().
A.(x)(A(x)B(x))B.(
x)(A(x)B(x))
C.(x)(A(x)B(x))D.(
x)(A(x)B(x))
练习3:
设A(x):
x是人,B(x):
x是工人,则命题“有人是工人”可符号化为().
A.(x)(A(x)B(x))B.(x)(A(x)B(x))
C.(x)(A(x)B(x))D.(x)(A(x)B(x))
练习4:
(x)(P(x)Q(x)R(x,y))中的自由变元为.
练习5:
设谓词公式
,试
(1)写出量词的辖域;
(2)指出该公式的自由变元和约束变元.
练习6:
将下列表达式中的变元换名,使得约束变元不是自由的,自由变元不是约束的:
xP(x,y)Q(z)y(R(x,y)zS(z)).
练习7:
(2008年9月试卷第10题)设个体域D={1,2},则谓词公式
消去量词后的等值式为.
练习8:
设个体域D={a,b,c},则谓词公式(x)A(x)消去量词后的等值式为.
练习9:
设个体域D={1,2,3},P(x)为“x小于2”,则谓词公式(x)P(x)的真值为.
练习10:
设个体域D={1,2},A(x)为“x大于1”,则谓词公式(x)A(x)的真值为.
练习11:
试证明xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
四、模拟练习解答
1.解设P(x):
x是人,Q(x):
x去工作.
则语句翻译成谓词公式为:
(x)(P(x)Q(x)).
解析这里“所有”用全称量词表示.带全称量词的公式,特性谓词P(x)应作为蕴含式(条件式)的前件加入,所以P(x)后面使用符号“”.
2.答C
解析选项A,错了.
带全称量词的公式,特性谓词A(x)应作为蕴含式(条件式)的前件加入,A(x)后面应使用符号“”.
选项B,错了.
其逻辑含义是“没有人是学生”.
选项C,正确.
这里“所有”用全称量词表示.带全称量词的公式,特性谓词A(x)应作为蕴含式(条件式)的前件加入,所以A(x)后面使用符号“”.(x)(A(x)B(x))的逻辑含义是“所有人都是学生”,原命题是它的否定.
选项D,错了.
其逻辑含义是“没有人不是学生”.
3.答A
解析选项A,正确.
这里“有”用存在量词表示.带存在量词的公式,特性谓词A(x)应作为合取项加入,所以此处A(x)后面使用符号“”.
选项B,错了.
带全称量词的公式,特性谓词A(x)应作为蕴含式(条件式)的前件加入,A(x)后面应使用符号“”.
选项C,错了.
其逻辑含义是“不是所有人都是工人”.
选项D,错了.
其逻辑含义是“没有人不是工人”.
4.答y
解析在量词的辖域P(x)Q(x)R(x,y)中,变元y不受该量词的指导变元x的约束,所以y是自由就元.
5.解
(1)量词的辖域为
,
量词的辖域为
.
(2)
中的y为自由变元.
中的x和
中的z为约束变元.
解析
(1)紧接于量词之后最小的子公式为
,它即为量词的辖域.紧接于量词之后最小的子公式为
,它即为量词的辖域.
(2)在量词的辖域
中,变元y不受该量词的指导变元x的约束,所以y是自由变元.
在量词的辖域
中,变元x是指导变元的约束出现,因而是约束变元.在量词的辖域
中,变元z是指导变元的约束出现,因而是约束变元.
6.解xP(x,y)Q(z)y(R(x,y)zS(z))
uP(u,y)Q(z)v(R(x,v)wS(w))
(或xP(x,v)Q(w)y(R(u,y)zS(z)))
解析P(x,y)中的x、R(x,y)zS(z)中的y、S(z)中的z为约束变元,
而R(x,y)zS(z)中的x、P(x,y)中的y、Q(z)中的z为自由变元.
变元换名可对公式中的约束变元x、y、z分别换名为u、v、w(或对公式中的自由变元x、y、z分别换名为u、v、w).
7.答A
(1)A
(2)
解析当个体域为有限集合{a1,a2,…,an}时,消去存在量词的规则为:
(x)P(x)P(a1)P(a2)…P(an)
8.答A(a)A(b)A(c)
解析当个体域为有限集合{a1,a2,…,an}时,消去全称量词的规则为:
(x)P(x)P(a1)P(a2)…P(an)
9.答0(或F,或假)
解析(x)P(x)P
(1)P
(2)P(3)1000
10.答1
解析(x)A(x)A
(1)A
(2)011
11.证明
(1)xA(x)xB(x)P
(2)xA(x)yB(y)T
(1)(换名规则)
(3)xy(A(x)B(y))T
(2)(量词辖域扩张)
(4)y(A(a)B(y))US(3)
(5)A(a)B(a)US(4)
(6)x(A(x)B(x))UG(5)
解析不能从
(1)式直接得出A(a)xB(x)或xA(x)B(a),因为没有相关规则.
证明二(反证法)
(1)(x(A(x)B(x)))P(附加前提)
(2)x(A(x)B(x))T
(1)
(3)A(a)B(a)ES
(2)
(4)A(a)T(3)
(5)xA(x)EG(4)
(6)xA(x)T(5)
(7)xA(x)xB(x)P
(8)xB(x)T(6)(7)(析取三段论)
(9)B(a)T(3)
(10)xB(x)EG(9)
(11)xB(x)T(10)
(12)xB(x)xB(x)T(8)(11)(合取引入)
(13)x(A(x)B(x))反证法
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