届高考数学二轮复习函数的图象和性质学案含答案全国通用.docx
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届高考数学二轮复习函数的图象和性质学案含答案全国通用
函数与导数
第14讲 函数的图象和性质
题型1 函数的图象判断
(对应生用书第47页)
■核心知识储备………………………………………………………………………·
函数的图象包括作图、识图、用图,三者在习中的侧重点为:
(1)作图:
常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换.尤其注意y=f(x)与y=f(-x),y=-f(x),y=-f(-x),y=f(|x|),y=|f(x)|及y=af(x)+b的相互关系.
(2)识图:
从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.
(3)用图:
图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题1】 (考查建模类函数图象的识别)(2017·石家庄质量预测一)在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且BD⊥CD,AB=BD=CD,点P在棱AC上运动,设CP的长度为x,若△PBD的面积为f(x),则f(x)的图象大致是( )
图141
[思路分析] 鳖臑的定义→找△BPD的高→建立函数f(x)的表达式→识别f(x)的图象.
[解析] 法一:
(直接法)如图,作PQ⊥BC于Q,作QR⊥BD于R,连接PR,则由鳖臑的定义知PQ∥AB,QR∥CD.设AB=BD=CD=1,则==,即PQ=,又===,所以QR=,所以PR==
=,所以f(x)=
=,故选A.
法二:
(特殊位置法)由题意可知,当P位于AC的中点时f(x)取得最小值,又f(x)是非均匀变化的,故排除选项B,C,D,故选A.
[答案] A
【典题2】 (考查解析式类函数图象的识别)(2016·全国Ⅰ卷)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( )
[解析] ∵f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数,
又f
(2)=8-e2∈(0,1),
故排除A,B.
设g(x)=2x2-ex,则g′(x)=4x-ex.
又g′(0)<0,g′
(2)>0,
∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,
∴f(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D.
[答案] D
【典题3】 (考查函数图象的应用)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=( )
【导号:
07804099】
A.0B.m C.2m D.4m
[解析] 因为f(-x)=2-f(x),所以f(-x)+f(x)=2.因为=0,=1,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称.函数y==1+,故其图象也关于点(0,1)对称.所以函数y=与y=f(x)图象的交点(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)成对出现,且每一对均关于点(0,1)对称,所以xi=0,yi=2×=m,所以(xi+yi)=m.
[答案] B
[类题通法]函数图象的判断方法
(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置.
(2)根据函数的单调性,判断图象的变化趋势.
(3)根据函数的奇偶性,判断图象的对称性.
(4)根据函数的周期性,判断图象的循环往复.
(5)取特殊值代入,进行检验.
■对点即时训练………………………………………………………………………·
1.已知定义在区间[0,4]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为( )
图
D [法一:
先作出函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图象,得到y=f(-x)的图象;
然后将y=f(-x)的图象向右平移2个单位,得到y=f(2-x)的图象;
再作y=f(2-x)的图象关于x轴的对称图象,得到y=-f(2-x)的图象.故选D.
法二:
先作出函数y=f(x)的图象关于原点的对称图象,得到y=-f(-x)的图象;然后将y=-f(-x)的图象向右平移2个单位,得到y=-f(2-x)的图象.故选D.]
2.如图142所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的,它们的圆心分别是O,O1,O2,动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动(其中A,O,O1,O2,B五点共线),记点P运动的路程为x,设y=|O1P|2,y与x的函数关系为y=f(x),则y=f(x)的大致图象是( )
图142
A [当x∈[0,π]时,y=1.
当x∈(π,2π)时,=-,设与的夹角为θ,||=1,||=2,由弧长公式得θ=x-π,所以y=||2=(-)2=5-4cosθ=5+4cosx,x∈(π,2π),所以函数y=f(x)的图象是曲线,且单调递增,排除C,D.
当x∈[2π,4π)时,因为=-,设,的夹角为α,||=2,||=1,由弧长公式得α=2π-x,所以y=||2=(-)2=5-4cosα=5-4cosx,x∈[2π,4π),所以函数y=f(x)的图象是曲线,且单调递减,排除B.故选A.]
■题型强化集训………………………………………………………………………·
(见专题限时集训T2、T6、T8、T11)
题型2 函数性质的综合应用
(对应生用书第48页)
■核心知识储备………………………………………………………………………·
1.若f(x)在定义域上单调递增,则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2;若f(x)在定义域上单调递减,则f(x1)<f(x2)⇔x1>x2.
2.周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;
(2)若f(x+a)=,则T=2a;
(3)若f(x+a)=-,则T=2a.(a>0)
3.与函数对称性有关的三条结论
(1)函数y=f(x)关于x=对称⇔f(a+x)=f(b-x)⇔f(x)=f(b+a-x);
特例:
函数y=f(x)关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x);
函数y=f(x)关于x=0对称⇔f(x)=f(-x)(即为偶函数);
(2)函数y=f(x)关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔f(2a+x)+f(-x)=2b;
特例:
函数y=f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=0⇔f(2a+x)+f(-x)=0;
函数y=f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)+f(-x)=0(即为奇函数);
(3)y=f(x+a)是偶函数⇔函数y=f(x)关于直线x=a对称;
y=f(x+a)是奇函数⇔函数y=f(x)关于(a,0)对称.
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题1】 (考查基本初等函数的性质)(2016·全国Ⅰ卷)若a>b>1,0 A.ac<bc B.abc<bac C.alogbc<blogacD.logac<logbc [思路分析] 根据选项构造函数→根据所构造的函数的单调性比较大小→结论. [解析] ∵y=xα,α∈(0,1)在(0,+∞)上是增函数, ∴当a>b>1,0<c<1时,ac>bc,选项A不正确. ∵y=xα,α∈(-1,0)在(0,+∞)上是减函数, ∴当a>b>1,0<c<1,即-1<c-1<0时, ac-1<bc-1,即abc>bac,选项B不正确. ∵a>b>1,∴lga>lgb>0,∴alga>blgb>0, ∴>.又∵0<c<1,∴lgc<0. ∴<,∴alogbc<blogac,选项C正确. 同理可证logac>logbc,选项D不正确. [答案] C 【典题2】 (考查应用复合函数的奇偶性、单调性解不等式)(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是( ) 【导号: 07804100】 A.B.∪(1,+∞) C.D.∪ [思路分析] 判断f(x)的奇偶性→判断f(x)的单调性→解关于x的不等式. [解析] ∵f(-x)=ln(1+|-x|)-=f(x), ∴函数f(x)为偶函数. ∵当x≥0时,f(x)=ln(1+x)-, 在(0,+∞)上y=ln(1+x)递增,y=-也递增, 根据单调性的性质知,f(x)在(0,+∞)上单调递增. 综上可知: f(x)>f(2x-1)⇔f(|x|)>f(|2x-1|)⇔|x|>|2x-1|⇔x2>(2x-1)2⇔3x2-4x+1<0⇔ [答案] A 【典题3】 (考查抽象函数的奇偶性、周期性的应用)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,有f(x+3)=-f(x),且当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,则f(-2017)+f(2018)=( ) A.3B.2 C.1D.0 [解析] 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数, 所以f(-2017)=-f(2017), 因为当x≥0时,有f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)的周期为6. 又当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,所以f(2017)=f(336×6+1)=f (1)=2,f(2018)=f(336×6+2)=f (2)=3, 故f(-2017)+f(2018)=-f(2017)+3=-2+3=1.故选C. [答案] C [类题通法]函数三大性质的应用 (1)奇偶性: 具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上的图象、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上.尤其注意偶函数f(x)的性质: f(|x|)=f(x). (2)单调性: 可以用比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性等. (3)周期性: 利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解. ■对点即时训练………………………………………………………………………· 1.已知函数f(x)=3ln(x+)+a(7x+7-x),x∈R,则“a=0”是“函数f(x)为奇函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C [由题意知f(x)的定义域为R,易知y=ln(x+)为奇函数,y=7x+7-x为偶函数.当a=0时,f(x)=3ln(x+)为奇函数,充分性成立;当f(x)为奇函数时,则a=0,必要性成立.因此“a=0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件,故选C.] 2.已知函数f(x)为奇函数,且在[0,2]上单调递增,若f(log2m)<f(log4(m+2))成立,则实数m的取值范围是( ) A.≤m<2B.≤m≤2 C.2<m≤4D.2≤m≤4 A [因为函数f(x)是奇函数,且在[0,2]上单调递增, 所以函数f(x)在[-2,2]上单调递增. 故由f(log2m)<f(log4(m+2)), 可得 解-2≤log2m≤2,得≤m≤4; 解-2≤log4(m+2)≤2,得≤m+2≤16,即-≤m≤14; 由log2m<log4(m+2),得log4m2<log4(m+2), 故有解得-1<m<2,且m≠0. 综上可知,m的取值范围是≤m<2,故选A.] ■题型强化集训………………………………………………………………………· (见专题限时集训T1
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