《不等式的性质》 精品课教案.docx

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《不等式的性质》精品课教案

《探究不等式的性质》教学设计

一、内容和内容解析

不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，与等式相同的是，它也是一种比较；比等式复杂的是，它是有方向的。

本节课通过对不等式的性质进行探究，让学生熟练运用这种比较的数学思维，更熟悉这种比较方向的特征与性质。

不等式的性质是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。

在此之前，学生已初步经历了建立方程模型和函数关系解决一些简单的实际问题的“数学化”过程，为分析量与量之间的关系积累了一定的经验，以此为基础展开不等式的学习，是前期学习内容的巩固与提升，也是后续不等式方程、函数内容的必要基础。

本节课让学生经历类比、猜想、尝试、归纳、得出结论的合情推理过程，探索不等式的三条基本性质，使学生能够将不等式进行简单转化。

二、目标和目标解析

教学目标：

知识与技能

1、在具体情境中引入不等式，并通过类比等式的性质探索不等式的基本性质，理解不等式的性质与等式性质的区别和联系．

2、通过总结提炼分析过程与结论，学会分别用文字语言和符号语言叙述不等式的基本性质.

3、对实际情境的问题分析后，在经过习题训练，学会运用不等式的基本性质对不等式进行简单变形，并能解决简单问题.

过程与方法

4、通过参与联系等式的性质探索不等式的性质的过程，体会“类比”的思维方法和“分类讨论”的数学思想.

5、通过对不等式的性质的探索，经历观察、实验、猜想、验证、归纳等数学活动的过程，发展抽象思维能力和数学语言表达能力，形成从特殊到一般、由具体到抽象的认知方法和解决问题的基本策略.

情感态度与价值观

6、通过小组合作探究不等式基本性质的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、敢于探究的精神，并从数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心.

7、通过运用不等式的性质对实际问题的探究，认识到数学与现实生活的密切联系，学会用数学的眼光观察、分析生活.

目标解析：

本节课是在学生学习了等式性质、认识不等关系之后，再进一步深入探究不等式性质。

既要求学生掌握等式的两条性质的本质，即运算对等式的影响，又要求学生对不等关系的本质有深刻认识，即比较的方向性。

从式子运算、不等关系上升到不等式性质，需要经历具体的探究过程，包含从具体生活情境中提炼出不等关系、具体操作对不等关系的影响、对结果的总结提炼并用文字与符号表述、将不等式性质内化并会用性质解决数学问题。

在整个过程中，要关注学生的交流与表达，尤其是学生的思维过程，要能够自己陈述清楚，体现逻辑能力，在学习前后的表达中，显现出思维在学习中提高的过程。

三、教学问题诊断分析

在本节课中，学生容易受已有知识的限制，将不等式性质和跟等式性质混淆，不自觉的把不等式性质2和不等式性质3混合，忽略了不等号的方向特征，不去深入思考在乘以或除以一个负数的时候，需要变号的本质原因。

为了解决学生的这个思维弱项，在教学时，利用数轴上比较有理数大小的方法，绝对值越大，变负数之后，在数轴上位置越在左边，数值就越小。

不等式的性质三，其实就是有理数比较大小的升级版本，在不等式左右同时乘或除以-1，原来大的一侧，将会变小，从而不等号的方向发生了改变。

四、教学支持条件分析

本节课的教学中，需要用到的辅助手段有多媒体一体机、PowerPoint，在课件中以图片的形式展示本节课的生活情境：

共享单车，让学生能够更快更方便地融入情境，更好地分析问题。

并在重点分析不等式性质3时，在多媒体一体机上显示数轴，并在数轴上比较大小，能够直观体验性质3的操作过程，加深记忆。

五、教学过程设计

教学过程

教学环节

教学内容

学生活动

设计说明

一

创设情境

引入新知

创设情境：

全国各地兴起的的共享单车为民众的出行提供了极大的便利。

哥哥和妹妹通过搜索资料，获得了两个城市两种品牌的共享单车投放量，并展开了思考。

我们可以从信息中提取出不等关系。

给出定义：

类似于：

x＞y、a＜b、m≥n、p≤q这样的式子就是不等式。

复习旧识：

让学生回忆等式的两条性质，并猜想不等式会有怎样的性质。

教师小结：

当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到它是否与等式有相类似的性质.这节课我们就通过类比的方法来探究不等式的基本性质.

学生进入情境，一起思考、认识

学生回忆所学内容

积极口答，

用身边常见的事物，引出思考，更容易让学生进入情境，并利于解释解决问题.

通过复习既找准了新知发展点，又创设了一种情境，给学生提供了类比、想象的空间，为后续学习做好了铺垫.

二

探索思考

获取新知

『思考分析一』

问题1．若两家公司在北京都多投放相同数量的单车，两家投放量会有什么样的关系？

此时教师加以引导，“＝”没有方向性，所以可以说所得结果仍是等式，而不等号：

“＞，＜，≥，≤”具有方向性，我们应该重点研究它在方向上的变化.

分析过程：

当两家都多投放1万辆：

ofo：

150+1（万辆），摩拜：

30+1（万辆）

可以看出151＞31

当两家都多投放2万辆：

ofo：

150+2（万辆），摩拜：

30+2（万辆）

可以看出152＞32

若两边加上的是相同的量，可以用相同的字母a表示，就能得到：

150+a＞30+a

问题2．若两家公司在北京都损失相同数量的单车，又会有什么样的关系？

分析过程：

当两家都损失1万辆：

ofo：

150-1（万辆），摩拜：

30-1（万辆）

可以看出149＞29

当两家都损失2万辆：

ofo：

150-2（万辆），摩拜：

30-2（万辆）

可以看出148＞28

若两边减去的是相同的量，可以用相同的字母b表示，就能得到：

150-b＞30-b

结论：

不等式两边同时加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

练习．

学生大胆猜测：

不等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式.

运用情境验证，自己得到结论.

在此处引出字母表示形式，为后面不等式性质的数学语言描述做铺垫。

通过对现实问题的分析，引发学生思考，自然而然感受不等式的性质1

三

探索合作

获取新知

『思考分析二』

问题3．如果两家都将租金提升，获得的收入会有什么样的关系？

当两家都从1元翻倍至2元：

ofo：

150×2（万元）＞摩拜：

30×2（万元）

当两家都从1元翻倍至3元

ofo：

150×3（万元）＞摩拜：

30×3（万元）

如用字母c表示一个正数，就可以得到：

150×c＞30×c

问题4．如果两家都实行优惠将租金减少，获得的收入会有什么样的关系？

当两家都从1元减半：

ofo：

150÷2（万元）＞摩拜：

30÷2（万元）

当两家都从1元减为三分之一

ofo：

150÷3（万元）＞摩拜：

30÷3（万元）

如用字母d表示一个正数，就可以得到：

150÷d＞30÷d

结论：

不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。

『思考分析三』

问题5．每天平均每辆单车将会消耗人工维护费，这将对两家公司产生怎样的影响？

每家公司为每辆车损失0.1元记作-0.1：

ofo：

150×（-0.1）（万元）＜摩拜：

30×（-0.1）（万元）

每家公司为每辆车损失0.2元：

ofo：

150×（-0.2）（万元）＜摩拜：

30×（-0.2）（万元）

如用字母e表示一个数，就可以得到：

150×e＜30×e

结论：

不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。

总结：

不等式的性质：

用文字语言描述不等式的三条性质，再用数学语言对应描述三条性质。

学生小组合作，类比等式的基本性质1，运用天平或数学式子对自己的猜想进行验证.

以小组为单位发言，相互交流，达成共识.

学生大胆猜测：

不等式两边都乘或除以同一个数（除数不能是0），不等号的方向不变.

学生在小组内合作交流，发现了在不等式两边都乘或除以同一个数时，不等号的方向会出现两种情况.

在充分的用实验进行验证之后，以组为单位发言，分别从天平的角度，数学式子的角度和数轴的角度对验证的过程进行说明.

全班学生通过分析、比较探索规律，从而形成共识，归纳概括出不等式性质2和3.

学生独立思考，回答.

学生类比等式的基本性质的表达形式，独立运用符号语言表达不等式的基本性质.

教师指导学生先作变形再填不等号，对字母c的取值进行讨论，培养学生的分类意识.

学生思考，独立总结异同点.

采用学生小组讨论的形式，把主动权交给学生，体现学生的主体地位，在讨论中培养学生与人交流的意识.

设计意图：

把猜想作为教学的出发点，启发学生积极思维，探索规律，把课堂变为学生再发现、再创造的乐园.

学生在探究的过程中自然产生争端，激发其学习积极性.

生生互动，让学生在“做”数学中学数学，真正成为学习的主人.

及时的概念作出解释，运用反例丰富概念的内涵.

把文字语言转化为数学语言，是数学学习中的一项基本能力，这里有意识地进行渗透，发展学生的符号感和数学语言表达能力.

设计意图：

引导学生把二者进行比较，有助于加深对不等式基本性质的理解，促成知识的“正迁移”.

四

应用新知

解决问题

例1．

将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：

（1）X-5＞-1

（2）-2x＞3

请两位同学来讲解自己的解题思路。

（3）–x＜5/6

（4）（1/2）x+1≤3

请两位同学上黑板板书解题过程

教师引导学生观察每个问题是由a

思考：

已知3＞2，那么3x＞2x成立吗？

（x≠0）

根据不等式性质，式子两边同时乘以相同正数，不等号方向不变；式子两边同时乘以相同负数，不等号方向改变。

但是这里乘以的是字母，我们就需要讨论不同的情况了。

分组讨论：

请各个小组派代表学生表述小组讨论结果，教师利用课件展示。

在多媒体课件上，利用数轴来分析。

在数轴上越在右边越大，直观比较大小。

如果x=3，则3x=9，2x=6，可以看出3x＞2x。

如果x=-3，则3x=-9，2x=-6

可以看出3x小于2x。

从刚才的大于号，变成现在的小于号。

所以，遇到需要乘或除相同字母时应该怎么办？

讨论结果：

遇到需要乘或除相同字母时应该分类讨论。

不等式的性质和利用不等式性质解题我们已经掌握了，那么我们再来利用已经掌握的方法，来分析一下，上一节课留的问题：

例1．

在上一节课中，我们猜想，无论绳长取何值，所围成的圆的面积总大于正方形的面积，即l2/4π＞l2/16，你相信这个结论吗？

你能用不等式的基本性质解释这一结论吗？

对4＞π进行乘、除运算，可以得到结论。

练一练．

请学生作答，并分析其过程，巩固本节课所学。

由学生思考后口答，教师投影示范.

第①②题，学生口答教师板书，要求学生说出变形的根据.

③④题学生板书

学生交流心得体会，自由发言.

学生通过解决例题，进一步理解不等式的3条基本性质.

对学生进行推理训练，让学生明白，叙述要有根据，进一步提高学生的逻辑思维能力和语言表达能力.

五

反思新知

归纳小结

这节课你有哪些收获？

有何体会？

你认为自己的表现如何？

教师引导学生知识技能、思想方法和情感等方面进行总结.

教师重点关注：

①学生归纳总结能力；②能否对问题有进一步思考；③能否发表自己的见解，倾听他人的意见，反思学习过程；④学生对性质的理解程度.

学生自由发言，畅谈自己的学习体会.

总结得到本课学到的数学知识、技能和方法

①不等式的基本性质

②类比的方法和分类讨论的数学思想.

③数学的应用价值

回顾、总结、矫正、提高，学生自觉形成本节的课的知识网络.

六

分层作业

拓展新知

记作业

分层次布置作业，必做题促进知识的巩固，选做题提高学生思维的深度及广度.既面向全体学生，又因材施教，照顾到学有余力的学生.

板书设计

不等式的性质

基本性质1：

例题：

基本性质2：

基本性质3：

练习1：

注意：

遇见字母乘除运算应讨论范围

练习2：

小结

拓展：

.

现代信息技术应作为教学的辅助手段，不等忽视板书的示范作用，故采用信息技术与传统板书相结合的方法呈知识

教案说明

本节课采用探究式与合作式相结合的教学方式，让学生在具体情境中对等式的基本性质进行迁移，运用类比的思维方法，以小组讨论的形式，在自主探索，合作交流的数学活动中真正理解和掌握不等式的基本性质，获得丰富的数学活动经验.

在探索不等式性质的活动中学生运用天平、列表和数轴多种方法验证自己的猜想，充分调动学生思维.例题通过多媒体以不同的方式呈现，题型多样，生动活泼，能激发学生的探究愿望，满足多样化的学习需求.

六、目标检测设计

1、请大家一起回忆

文字语言

符号语言

性质1

等式两边同时_______同一个数（或式子），结果仍相等

如果a=b,那么a+c____b+c,

a-c____b-c

性质2

等式两边____同一个数，或_____同一个不为_______的数，结果仍相等

如果a=b,那么ac___bc

如果a=b,那么____

设计意图：

帮助学生回忆等式的性质，一遍跟后面的知识做好衔接工作

2、不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？

本节课我们将加以验证

文字语言

符号语言

不等式性质1

不等式的两边都加（或减）同一个_____，不等号的________

如果a>b，

那么a±c____b±c

不等式性质2

不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向＿＿＿＿。

如果a>b，且c>0，那么ac____bc，a/c___b/c；

如果a0，那么ac____bc，a/c___b/c；

不等式性质3

不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号______

如果a>b，且c<0，那么ac____bc，a/c___b/c；

如果a

设计意图：

学生自己书写一篇，这样可以巩固知识记忆

1、快速判断:

已知

，下列不等式一定成立吗？

（1）

（2）

（3）

（4）3+2m＞1+2m（5）-2x+5＞-2x+7（6）

设计意图：

在初步接触不等式的性质一之后，让学生快速去判断，可以很清晰的掌握学生对不等式性质1的掌握情况

2.例题讲解:

将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：

（1）x－5＞-1;

（2）－2x＞3;

设计意图：

书本上的例题讲解。

3、练习：

将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.

（1）－x＜

（2）

x+1≤3

设计意图：

仿照例题出了类似的两道题，在第二题上稍稍做了点提高，把仅仅运用一次不等式性质2的基础上加了先运用不等式性质1以提高学生能够多次灵活运用不等式的性质

4、证明：

设计意图：

课本上在例题之前的题目，需要达到学以致用的目的，但是考虑到学生接受能力的问题，在做设计的时候，稍稍做了调整，让学生先把例题和练习巩固，熟悉掌握了性质之后再来解决这道生活中的应用问题，可以缓解该题的难度，提高学生答正确的可能性，以提高自信心。

5、下列不等式变形正确的是：

（）

A、由a＞b得ac＞bcB、由a＞b得-2a＜-2b

C、由a＞b得-a＞-bD、由a＞b得a-2＜b-2

设计意图：

为了理清学生对不等式性质2和不等式性质3的混淆，教师对题目进行设计引入字母的问题，为后面的分类讨论做铺垫

6、若x为有理数，则4x2_______-3x2（x≠0）

设计意图：

此题运用不等式性质2的问题还结合了字母，但是却不需要分类讨论，为了不对学生在填不等号的时候产生疑惑，就对字母取值范围做了点点限制，加了不等于零的条件

7、若ax＞2,则x_______

设计意图：

基于前面几道题的练习，学生们基本上已经掌握三个不等式性质运用，此题可以解决不等式性质2和不等式性质3的混淆问题，并涉及到分类讨论的思想，以提高学生考虑问题的全面性，在生活中思考问题更加细致。

8、若1/x＜1/y,则x______y

设计意图：

在第7题的分类讨论类型的层次上再提高难度，让学生们的练习有个梯度，难度逐渐提高，以便更好的掌握不等式性质。