高考数学文热点题型和提分秘籍专题24 等比数列及其前n项和含答案解析.docx
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高考数学文热点题型和提分秘籍专题24等比数列及其前n项和含答案解析
1.理解等比数列的概念
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题
4.了解等比数列与指数函数的关系
热点题型一等比数列的基本运算
例1、已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2013?
若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由。
故数列{an}的通项公式为an=3(-2)n-1。
(2)由
(1)有Sn==1-(-2)n。
若存在n,使得Sn≥2013,
则1-(-2)n≥2013,即(-2)n≤-2012。
当n为偶数时,(-2)n>0.上式不成立;
当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2012,
即2n≥2012,则n≥11。
综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}。
【提分秘籍】
1.对于等比数列的有关计算问题,可类比等差数列问题进行,在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法,同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用。
2.在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论。
【举一反三】
设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和。
已知a2a4=1,S3=7,则S5=__________。
【答案】
热点题型二等比数列的判定与证明
例2、已知数列{an}和{bn}满足:
a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数。
(1)对任意实数λ,证明:
数列{an}不是等比数列;
(2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论。
(2)因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1=-(-1)n(an-3n+21)=-bn。
又b1=-(λ+18),所以当λ=-18时,
bn=0(n∈N*),此时{bn}不是等比数列;
当λ≠-18时,b1=-(λ+18)≠0,
由bn+1=-bn。
可知bn≠0,所以=-(n∈N*)。
故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列。
【提分秘籍】
证明数列{an}是等比数列常用的方法:
一是定义法,证明=q(n≥2,q为常数);二是等比中项法,证明a=an-1·an+1。
若判断一个数列不是等比数列,则只需举出反例即可,也可以用反证法。
【举一反三】
设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n,设bn=an+3,求证:
数列{bn}是等比数列,并求an。
证明:
由Sn=2an-3n对于任意的正整数都成立,
得Sn+1=2an+1-3(n+1),
两式相减,得Sn+1-Sn=2an+1-3(n+1)-2an+3n,
所以an+1=2an+1-2an-3,即an+1=2an+3,
所以an+1+3=2(an+3),即==2对一切正整数都成立,所以数列{bn}是等比数列。
由已知得:
S1=2a1-3,
即a1=2a1-3,所以a1=3,所以b1=a1+3=6,即bn=6·2n-1。
故an=6·2n-1-3=3·2n-3。
热点题型三等比数列的性质及其应用
例3.
(1)在各项均为正数的等比数列{an}中,a3=-1,a5=+1,则a+2a2a6+a3a7=( )
A.4B.6
C.8D.8-4
(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于( )
A.80B.30
C.26D.16
(2)由等比数列性质得,
Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,
则(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n),
所以(S2n-2)2=2×(14-S2n)。
又S2n>0,得S2n=6,
又(S3n-S2n)2=(S2n-Sn)(S4n-S3n),
所以(14-6)2=(6-2)(S4n-14)。
解得S4n=30。
【提分秘籍】
等比数列的性质可以分为三类:
①通项公式的变形,
②等比中项的变形,
③前n项和公式的变形,根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口。
【举一反三】
在等比数列中,已知a1aa15=243,则的值为( )
A.3B.9C.27D.81
【答案】B
【2016高考天津文数】(本小题满分13分)
已知是等比数列,前n项和为,且.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)若对任意的是和的等差中项,求数列的前2n项和.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)解:
设数列的公比为,由已知,有,解得.又由,知,所以,得,所以.
(Ⅱ)解:
由题意,得,即是首项为,公差为的等差数列.
设数列的前项和为,则
【2015高考广东,文13】若三个正数,,成等比数列,其中,,则.
【答案】1
【解析】因为三个正数,,成等比数列,所以,因为,所以,所以答案应填:
1.
【2015高考新课标1,文13】数列中为的前n项和,若,则.
【答案】6
1.(2014·重庆卷)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9,成等比数列
【答案】D
【解析】因为在等比数列中an,a2n,a3n,…也成等比数列,所以a3,a6,a9成等比数列.
2.(2014·安徽卷)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=________.
【答案】1
【解析】因为数列{an}是等差数列,所以a1+1,a3+3,a5+5也成等差数列.又a1+1,a3+3,a5+5构为公比为q的等比数列,所以a1+1,a3+3,a5+5为常数列,故q=1.
3.(2014·广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.
【答案】50
【解析】本题考查了等比数列以及对数的运算性质.∵{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,
∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,
∴lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=
ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.
4.(2014·全国卷)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前8项和等于( )
A.6B.5
C.4D.3
【答案】C
5.(2014·湖北卷)已知等差数列{an}满足:
a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?
若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.
【解析】
(1)设数列{an}的公差为d,
依题意得,2,2+d,2+4d成等比数列,
故有(2+d)2=2(2+4d),
化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.
当d=0时,an=2;
当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2.
从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.
(2)当an=2时,Sn=2n,显然2n<60n+800,
此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.
当an=4n-2时,Sn==2n2.
令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,
解得n>40或n<-10(舍去),
此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.
综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n;
当an=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41.
6.(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)证明++…+<.
(2)证明:
由
(1)知=.
因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,
所以≤,即=≤.
于是++…+≤1++…+=<.
所以++…+<.
7.(2014·山东卷)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(-1)n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】
(1)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,
S4=4a1+×2=4a1+12,
由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,
所以an=2n-1.
(2)由题意可知,
bn=(-1)n-1
=(-1)n-1
=(-1)n-1.
当n为偶数时,
Tn=-+…+-
=1-
=.
当n为奇数时,
Tn=-+…-+
=1+
=.
所以Tn=
8.(2014·陕西卷)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a,b,c成等差数列,证明:
sinA+sinC=2sin(A+C);
(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.
由余弦定理得
cosB==≥=,
当且仅当a=c时等号成立,
∴cosB的最小值为.
9.(2014·天津卷)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为________.
【答案】-
【解析】∵S2=2a1-1,S4=4a1+×(-1)=4a1-6,S1,S2,S4成等比数列,
∴(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-.
10.(2014·天津卷)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},
集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.
(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.
(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:
若an 【解析】 (1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3},可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}. (2)证明: 由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1 ≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn-2-qn-1 =-qn-1 =-1<0, 所以s 11.(2013·新课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=________. 【答案】(-2)n-1 12.(2013·北京卷)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2,…的最小值记为Bn,dn=An-Bn. (1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,an+4=an),写出d1,d2,d3,d4的值; (2)设d是非负整数,证明: dn=-
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