奇数和偶数相关练习精编版.docx
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奇数和偶数相关练习精编版
2、奇数和偶数
知识点:
1.奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k(k为整数)表示,奇数则可以用2k+1(k为整数)表示。
特别注意,因为0能被2整除,所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质
性质1:
偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数。
性质2:
偶数±奇数=奇数。
性质3:
偶数个奇数相加得偶数。
性质4:
奇数个奇数相加得奇数。
性质5:
偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数。
利用奇数与偶数的这些性质,我们可以巧妙地解决许多实际问题。
1、1+2+3+…+1993的和是奇数?
还是偶数?
2、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘,所得的两个积相差150,这个数是多少?
3、元旦前夕,同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡,那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数,还是偶数?
为什么?
4、已知a、b、c中有一个是5,一个是6,一个是7。
求证a-1,b-2,c-3的乘积一定是偶数。
5、任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。
6、桌上有9只杯子,全部口朝上,每次将其中6只同时“翻转”.请说明:
无论经过多少次这样的“翻转”,都不能使9只杯子全部口朝下。
7、假设n盏有拉线开关的灯亮着,规定每次拉动(n-1)个开关,能否把所有的灯都关上?
请证明此结论,或给出一种关灯的办法。
8、在圆周上有1987个珠子,给每一珠子染两次颜色,或两次全红,或两次全蓝,或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红,1987次染蓝。
求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。
9、某校六年级学生参加区数学竞赛,试题共40道,评分标准是:
答对一题给3分,答错一题倒扣1分.某题不答给1分,请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。
10、某学校一年级一班共有25名同学,教室座位恰好排成5行,每行5个座位.把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位.问:
让这25个学生都离开原座位坐到原座位的邻位,是否可行?
11、在中国象棋盘任意取定的一个位置上放置着一颗棋子“马”,按中国象棋的走法,当棋盘上没有其他棋子时,这只“马”跳了若干步后回到原处,问:
“马”所跳的步数是奇数还是偶数?
12、线段AB有两个端点,一个端点染红色,另一个端点染蓝色.在这个AB线段中间插入n个交点,或染红色,或染蓝色,得到n+1条小线段(不重叠的线段).试证:
两个端点不同色的小线段的条数一定是奇数。
13、有100个自然数,它们的和是偶数.在这100个自然数中,奇数的个数比偶数的个数多.问:
这些数中至多有多少个偶数?
14、有一串数,最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起,每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问:
在这一串数中,会依次出现1、9、8、8这四个数吗?
15、求证:
四个连续奇数的和一定是8的倍数。
16、把任意6个整数分别填入右图中的6个小方格内,试说明一定有一个矩形,它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。
17、如果两个人通一次电话,每人都记通话一次,在24小时以内,全世界通话次数是奇数的那些人的总数为____。
(A)必为奇数,(B)必为偶数,(C)可能是奇数,也可能是偶数。
18、一次宴会上,客人们相互握手.问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数。
19、有12张卡片,其中有3张上面写着1,有3张上面写着3,有3张上面写着5,有3张上面写着7。
你能否从中选出五张,使它们上面的数字和为20?
为什么?
20、有10只杯子全部口朝下放在盘子里.你能否每次翻动4只杯子,经过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上?
21、电影厅每排有19个座位,共23排,要求每一观众都仅和它邻近(即前、后、左、右)一人交换位置.问:
这种交换方法是否可行?
第7讲奇偶性
(一)
整数按照能不能被2整除,可以分为两类:
(1)能被2整除的自然数叫偶数,例如
0,2,4,6,8,10,12,14,16,…
(2)不能被2整除的自然数叫奇数,例如
1,3,5,7,9,11,13,15,17,…
整数由小到大排列,奇、偶数是交替出现的。
相邻两个整数大小相差1,所以肯定是一奇一偶。
因为偶数能被2整除,所以偶数可以表示为2n的形式,其中n为整数;因为奇数不能被2整除,所以奇数可以表示为2n+1的形式,其中n为整数。
每一个整数不是奇数就是偶数,这个属性叫做这个数的奇偶性。
奇偶数有如下一些重要性质:
(1)两个奇偶性相同的数的和(或差)一定是偶数;两个奇偶性不同的数的和(或差)一定是奇数。
反过来,两个数的和(或差)是偶数,这两个数奇偶性相同;两个数的和(或差)是奇数,这两个数肯定是一奇一偶。
(2)奇数个奇数的和(或差)是奇数;偶数个奇数的和(或差)是偶数。
任意多个偶数的和(或差)是偶数。
(3)两个奇数的乘积是奇数,一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
(4)若干个数相乘,如果其中有一个因数是偶数,那么积必是偶数;如果所有因数都是奇数,那么积就是奇数。
反过来,如果若干个数的积是偶数,那么因数中至少有一个是偶数;如果若干个数的积是奇数,那么所有的因数都是奇数。
(5)在能整除的情况下,偶数除以奇数得偶数;偶数除以偶数可能得偶数,也可能得奇数。
奇数肯定不能被偶数整除。
(6)偶数的平方能被4整除;奇数的平方除以4的余数是1。
因为(2n)2=4n2=4×n2,所以(2n)2能被4整除;
因为(2n+1)2=4n2+4n+1=4×(n2+n)+1,所以(2n+1)2除以4余1。
(7)相邻两个自然数的乘积必是偶数,其和必是奇数。
(8)如果一个整数有奇数个约数(包括1和这个数本身),那么这个数一定是平方数;如果一个整数有偶数个约数,那么这个数一定不是平方数。
整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。
有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有,例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等,但只要想办法编上号码,成为整数问题,便可利用整数的奇偶性加以解决。
例1下式的和是奇数还是偶数?
1+2+3+4+…+1997+1998。
分析与解:
本题当然可以先求出算式的和,再来判断这个和的奇偶性。
但如果能不计算,直接分析判断出和的奇偶性,那么解法将更加简洁。
根据奇偶数的性质
(2),和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关,与加数中的偶数无关。
1~1998中共有999个奇数,999是奇数,奇数个奇数之和是奇数。
所以,本题要求的和是奇数。
例2能否在下式的□中填上“+”或“-”,使得等式成立?
1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。
分析与解:
等号左端共有9个数参加加、减运算,其中有5个奇数,4个偶数。
5个奇数的和或差仍是奇数,4个偶数的和或差仍是偶数,因为“奇数+偶数=奇数”,所以题目的要求做不到。
例3任意给出一个五位数,将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变,得到一个新的五位数。
那么,这两个五位数的和能不能等于99999?
分析与解:
假设这两个五位数的和等于99999,则有下式:
其中组成两个加数的5个数码完全相同。
因为两个个位数相加,和不会大于9+9=18,竖式中和的个位数是9,所以个位相加没有向上进位,即两个个位数之和等于9。
同理,十位、百位、千位、万位数字的和也都等于9。
所以组成两个加数的10个数码之和等于9+9+9+9+9=45,是奇数。
另一方面,因为组成两个加数的5个数码完全相同,所以组成两个加数的10个数码之和,等于组成第一个加数的5个数码之和的2倍,是偶数。
奇数≠偶数,矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于99999,所以假设不成立,即这两个数的和不能等于99999。
例4在一次校友聚会上,久别重逢的老同学互相频频握手。
请问:
握过奇数次手的人数是奇数还是偶数?
请说明理由。
分析与解:
通常握手是两人的事。
甲、乙两人握手,对于甲是握手1次,对于乙也是握手1次,两人握手次数的和是2。
所以一群人握手,不论人数是奇数还是偶数,握手的总次数一定是偶数。
把聚会的人分成两类:
A类是握手次数是偶数的人,B类是握手次数是奇数的人。
A类中每人握手的次数都是偶数,所以A类人握手的总次数也是偶数。
又因为所有人握手的总次数也是偶数,偶数-偶数=偶数,所以B类人握手的总次数也是偶数。
握奇数次手的那部分人即B类人的人数是奇数还是偶数呢?
如果是奇数,那么因为“奇数个奇数之和是奇数”,所以得到B类人握手的总次数是奇数,与前面得到的结论矛盾,所以B类人即握过奇数次手的人数是偶数。
例5五
(2)班部分学生参加镇里举办的数学竞赛,每张试卷有50道试题。
评分标准是:
答对一道给3分,不答的题,每道给1分,答错一道扣1分。
试问:
这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数?
分析与解:
本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的,所以应从每个人得分的情况入手分析。
因为每道题无论答对、不答或答错,得分或扣分都是奇数,共有50道题,50个奇数相加减,结果是偶数,所以每个人的得分都是偶数。
因为任意个偶数之和是偶数,所以这部分学生的总分必是偶数。
奇数与偶数作业
一、填空题
1、五个连续奇数的和是85,其中最大的数是_____,最小的数是_____。
2、三个质数、、,如果>>1,+=,那么=_____。
3、已知a、b、c都是质数,且a+b=c,那么a
b
c的最小值是_____。
4、已知a、b、c、d都是不同的质数,a+b+c=d,那么a
b
c
d的最小值是_____。
5、a、b、c都是质数,c是一位数,且a
b+c=1993,那么a+b+c=_____。
6、三个质数之积恰好等于它们和的7倍,则这三个质数为_____。
7、如果两个两位数的差是30,下面第_____种说法有可能是对的。
(1)这两个数的和是57。
(2)这两个数的四个数字之和是19。
(3)这两个数的四个数字之和是14。
8、一本书共186页,那么数字1,3,5,7,9在页码中一共出现了_____次。
9、筐中有60个苹果,将它们全部取出来,分成偶数堆,使得每堆的个数相同,则有_____种分法。
10、从1至9这九个数字中挑出六个不同的数,填在下图所示的六个圆圈内,使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数.那么最多能找出_____种不同的挑法来.(六个数字相同,排列次序不同算同一种)
二、解答题
1、能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数,使这5个数的和等于22?
2、任意交换一个三位数的数字,得一个新的三位数,一位同学将原三位数与新的三位数相加,和是999。
这位同学的计算有没有错?
3、甲、乙两人做游戏。
任意指定七个整数(允许有相同数),甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内,乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里,然后计算出所有同一列的两个数的差(大数减小数),再将这七个差相乘。
游戏规则是:
若积是偶数,则甲胜;若积是奇数,则乙胜。
请说明谁将获胜。
4、某班学生毕业后相约彼此通信,每两人间的通信量相等,即甲给乙写几封信,乙也要给甲写几封信。
问:
写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数?
5、A市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛,竞赛题30道,记分方法是:
底分15分,每答对一道加5分,不答的题,每道加1分,答错一道扣1分。
如果有333名学生参赛,那么他们的总得分是奇数还是偶数?
6、把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数?
试讲出理由。
7、红星影院有1999个座位,上、下午各放映一场电影。
有两所学校各有1999名学生包场看这两场电影,那么一定有这样的座位,上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生,为什么?
8、在一张9行9列的方格纸上,把每个方格所在的行数和列数加起来,填在这个方格中,例如a=5+3=8.问:
填入的81个数字中,奇数多还是偶数多?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
123456789
9、能不能在下式:
123456789=10的每个方框中,分别填入加号或减号,使等式成立?
10、在八个房间中,有七个房间开着灯,一个房间关着灯.如果每次同时拨动四个房间的开关,能不能把全部房间的灯关上?
为什么?
11、一个工人将零件装进两种盒子中,每个大盒子装12只零件,每个小盒子装5只零件,恰好装完.如果零件一共是99只,盒子个数大于10,这两种盒子各有多少个?
第8讲奇偶性
(二)
例1用0~9这十个数码组成五个两位数,每个数字只用一次,要求它们的和是奇数,那么这五个两位数的和最大是多少?
分析与解:
有时题目的要求比较多,可先考虑满足部分要求,然后再调整,使最后结果达到全部要求。
这道题的几个要求中,满足“和最大”是最容易的。
暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。
要使组成的五个两位数的和最大,应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上,即十位上放5,6,7,8,9,而个位上放0,1,2,3,4。
根据奇数的定义,这样组成的五个两位数中,有两个是奇数,即个位是1和3的两个两位数。
要满足这五个两位数的和是奇数,根据奇、偶数相加减的运算规律,这五个数中应有奇数个奇数。
现有两个奇数,即个位数是1,3的两位数。
所以五个数的和是偶数,不合要求,必须调整。
调整的方法是交换十位与个位上的数字。
要使五个数有奇数个奇数,并且五个数的和尽可能最大,只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换,并且交换的两个的数码之差尽可能小,由此得到交换5与4的位置。
满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4,6,7,8,9,个位上的数码是0,1,2,3,5,所求这五个数的和是(4+6+7+8+9)×10+(0+1+2+3+5)=351。
例27只杯子全部杯口朝上放在桌子上,每次翻转其中的2只杯子。
能否经过若干次翻转,使得7只杯子全部杯口朝下?
分析与解:
盲目的试验,可能总也找不到要领。
如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性,就会发现问题所在。
一开始杯口朝上的杯子有7只,是奇数;第一次翻转后,杯口朝上的变为5只,仍是奇数;再继续翻转,因为只能翻转两只杯子,即只有两只杯子改变了上、下方向,所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。
类似的分析可以得到,无论翻转多少次,杯口朝上的杯子数永远是奇数,不可能是偶数0。
也就是说,不可能使7只杯子全部杯口朝下。
例3有m(m≥2)只杯子全部口朝下放在桌子上,每次翻转其中的(m-1)只杯子。
经过若干次翻转,能使杯口全部朝上吗?
分析与解:
当m是奇数时,(m-1)是偶数。
由例2的分析知,如果每次翻转偶数只杯子,那么无论经过多少次翻转,杯口朝上(下)的杯子数的奇偶性不会改变。
一开始m只杯子全部杯口朝下,即杯口朝下的杯子数是奇数,每次翻转(m-1)即偶数只杯子。
无论翻转多少次,杯口朝下的杯子数永远是奇数,不可能全部朝上。
当m是偶数时,(m-1)是奇数。
为了直观,我们先从m=4的情形入手观察,在下表中用∪表示杯口朝上,∩表示杯口朝下,每次翻转3只杯子,保持不动的杯子用*号标记。
翻转情况如下:
由上表看出,只要翻转4次,并且依次保持第1,2,3,4只杯子不动,就可达到要求。
一般来说,对于一只杯子,要改变它的初始状态,需要翻奇数次。
对于m只杯子,当m是偶数时,因为(m-1)是奇数,所以每只杯子翻转(m-1)次,就可使全部杯子改变状态。
要做到这一点,只需要翻转m次,并且依次保持第1,2,…,m只杯子不动,这样在m次翻转中,每只杯子都有一次没有翻转,即都翻转了(m-1)次。
综上所述:
m只杯子放在桌子上,每次翻转(m-1)只。
当m是奇数时,无论翻转多少次,m只杯子不可能全部改变初始状态;当m是偶数时,翻转m次,可以使m只杯子全部改变初始状态。
例4一本论文集编入15篇文章,这些文章排版后的页数分别是1,2,3,…,15页。
如果将这些文章按某种次序装订成册,并统一编上页码,那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇?
分析与解:
可以先研究排版一本书,各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。
一篇有奇数页的文章,它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的,即排版奇数页的文章,第一面是奇数页码,最后一面也是奇数页码,而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶数页码上。
一篇有偶数页的文章,它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相异的,即排版偶数页的文章,第一面是奇(偶)数页码,最后一面应是偶(奇)数页码,而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇(偶)数页码上。
以上说明本题的解答主要是根据奇偶特点来处理。
题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。
首先考虑有偶数页的文章,只要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上(如第1页),那么接着每一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上,共有7篇这样的文章。
然后考虑有奇数页的文章,第一篇的第一面排在奇数页码上,第二篇的第一面就会排在偶数页码上,第三篇的第一面排在奇数页码上,如此等等。
在8篇奇数页的文章中,有4篇的第一面排在奇数页码上。
因此最多有7+4=11(篇)文章的第一面排在奇数页码上。
例5有大、小两个盒子,其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子,小盒内装有足够多的黑棋子。
阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子,若摸出的两枚棋子同色,则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内;若摸出的两枚棋子异色,则把其中白棋子放回大盒内。
问:
从大盒内摸了1999次棋子后,大盒内还剩几枚棋子?
它们都是什么颜色?
分析与解:
大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001(枚)。
因为每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子,所以每摸一次少1枚棋子,摸了1999次后,还剩2001-1999=2(枚)棋子。
从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况:
(1)所摸到的两枚棋子是同颜色的。
此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。
当所摸两枚棋子同是黑色,这时大盒内少了一枚黑棋子;当所摸两枚棋子同是白色,这时大盒内多了一枚黑棋子。
(2)所摸到的两枚棋子是不同颜色的,即一黑一白。
这时要把拿出的白棋子放回到大盒,大盒内少了一枚黑棋子。
综合
(1)
(2),每摸一次,大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚,即改变了黑棋子数的奇偶性。
原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋子,摸了1999次,即改变了1999次奇偶性后,还剩奇数枚黑棋子。
因为大盒内只剩下2枚棋子,所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白。
例6一串数排成一行:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…
到这串数的第1000个数为止,共有多少个偶数?
分析与解:
首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。
1+1=2,2+3=5,3+5=8,5+8=13,…
这串数的规律是,从第三项起,每一个数等于前两个数的和。
根据奇偶数的加法性质,可以得出这串数的奇偶性:
奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,……
容易看出,这串数是按“奇,奇,偶”每三个数为一组周期变化的。
1000÷3=333……1,这串数的前1000个数有333组又1个数,每组的三个数中有1个偶数,并且是第3个数,所以这串数到第1000个数时,共有333个偶数。
练习
1、在11,111,1111,11111,…这些数中,任何一个数都不会是某一个自然数的平方。
这样说对吗?
2、一本书由17个故事组成,各个故事的篇幅分别是1,2,3,…,17页。
这17个故事有各种编排法,但无论怎样编排,故事正文都从第1页开始,以后每一个故事都从新一页码开始。
如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少,那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的?
3、桌子上放着6只杯子,其中3只杯口朝上,3只杯口朝下。
如果每次翻转5只杯子,那么至少翻转多少次,才能使6只杯子都杯口朝上?
4、70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和,这一行数的最左边的几个数是这样的:
0,1,3,8,21,…问:
最右边的一个数是奇数还是偶数?
5、学校组织运动会,小明领回自己的运动员号码后,小玲问他:
“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数?
”小明说:
“除开我的号码,把今天发的其它号码加起来,再减去我的号码,恰好是100。
”今天发放的运动员号码加起来,到底是奇数还是偶数?
6、在黑板上写出三个整数,然后擦去一个换成所剩两数之和,这样继续操作下去,最后得到88,66,99。
问:
原来写的三个整数能否是1,3,5?
7、将888件礼品分给若干个小朋友。
问:
分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数?
第9讲奇偶性(三)
利用奇、偶数的性质,上两讲已经解决了许多有关奇偶性的问题。
本讲将继续利用奇偶性研究一些表面上似乎与奇偶性无关的问题。
例1在7×7的正方形的方格表中,以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子,要求每个方格中放置不多于1枚棋子,且每行正好放3枚棋子,则在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子,这是为什么?
分析与解:
题目说在指定的这条对角线上的格子里必定至少放有一枚棋子,假设这个说法不对,即对角线上没放棋子。
如下图所示,因为题目要求摆放的棋子以MN为对称轴,所以对于MN左下方的任意一格A,总有MN右上方的一格A',A与A'关于MN对称,所以A与A'要么都放有棋子,要么都没放棋子。
由此推知方格表中放置棋子的总枚数应是偶数。
而题设每行放3枚棋子,7行共放棋子3×7=21(枚),21是奇数,与上面的推论矛盾。
所以假设不成立,即在指定的对角线上的格子中必定至少有一枚棋子。
例2对于左下表,每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数,能否经过若干次后(各次减去或加上的数可以不同),变为右下表?
为什么?
分析与解:
因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数,所以表中九个数码的总和经过变化后,等于原来的总和加上或减去那个数的2倍,因此总和的奇偶性没有改变。
原来九个数的总和为1+2+…+9=45,是奇数,经过若干次变化后,总和仍应是奇数,与右上表九个数的总和是4矛盾。
所以不可能变成右上表。
例3左下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门。
有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?
分析与解:
如右上图所示,将相邻的房间黑、白相间染色。
无论从哪个房间开始走,因为总是黑白相间地走过各房间,所以走过的黑、白房间数最多相差1。
而右上图有7黑5白,所以不可能不重复地走遍每一个房间。
例4左下图是由14个大小相同的方格组成的图形。
试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形?
分析与解:
将这14个小方格黑白相间染色(见右上图
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