acm动态规划总结.docx
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acm动态规划总结.docx
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acm动态规划总结
动态规划题目总结
Pkuacm1163theTriangle动态规划题目总结
(一)
题目:
对于一个有数字组成的二叉树,求由叶子到根的一条路径,使数字和最大,如:
7
38
810
2744
45265
这个是经典的动态规划,也是最最基础、最最简单的动态规划,典型的多段图。
思路就是建立一个数组,由下向上动态规划,保存页子节点到当前节点的最大值,Java核心代码如下:
for(inti=num-2;i>=0;i--){
for(intj=0;j<=i;j++){
//该句是整个动态规划的核心
number[i][j]=Math.max(number[i+1][j],number[i+1][j+1])+number[i][j];
}
}
带有详细注释的代码可以在
Pkuacm1579FunctionRunFun动态规划题目总结
(二)
Considerathree-parameterrecursivefunctionw(a,b,c):
ifa<=0orb<=0orc<=0,thenw(a,b,c)returns:
1
ifa>20orb>20orc>20,thenw(a,b,c)returns:
w(20,20,20)
ifa w(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c) otherwiseitreturns: w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1) 这本身就是一个递归函数,要是按照函数本身写递归式,结果肯定是TLE,这里我开了一个三维数组,从w(0,0,0)开始递推,逐步产生到w(20,20,20)的值,复杂度O(n^3). 总结: 这道题是很地道的DP,因为它的子问题实在是太多了,所以将问题的结果保存起来,刘汝佳《算法艺术和信息学竞赛》中115页讲到自底向上的递推,这个例子就非常典型。 总体来说这个题目还是非常简单的,不过这个思想是地道的动态规划。 带有详细注释的代码可以在 Pkuacm2081Recaman'sSequence动态规划题目总结(三) 一道很简单的动态规划,根据一个递推公式求一个序列,我选择顺序的求解,即自底向上的递推,一个int数组result根据前面的值依此求出序列的每一个结果,另外一个boolean数组flag[i]记录i是否已经出现在序列中,求result的时候用得着,这样就避免了查找。 核心的java代码为: for(i=1;i<=500000;i++) { if(result[i-1]-i>0&&flag[result[i-1]-i]==false) { result[i]=result[i-1]-i; flag[result[i-1]-i]=true; } else { result[i]=result[i-1]+i; flag[result[i-1]+i]=true; } } 带有详细注释的代码可以在 Pkuacm1953WorldCupNoise动态规划题目总结(四) 给定一个小于45的整数n,求n位2进制数中不含相邻1的数的个数。 看似简单的一道题,如果当n=45时,对2的45次方检查,是无法完成的任务。 先分析一下这个问题: N 以1结尾的个数 以0结尾的个数 总和 1 1 1 2 2 1 2 3 3 … … … 对于n=1来说,以1结尾、以0结尾个数都是1,总和是2,下面过度到2: 对于所有以1结尾的数,后面都可以加上0,变为n=2时以0结尾的,而只有结尾为0的数才能加上1(因为不能有两个连续0),这样就可以在n=2的格里分别填上1、2,总和算出来为3,以此类推,我们可以算出所有n<=45的值,然后根据输入进行相应输出。 核心代码如下: inti,num,count,array[50][2],j=0; array[1][1]=1; array[1][0]=1; for(i=2;i<50;i++) { array[i][0]=array[i-1][1]; array[i][1]=array[i-1][1]+array[i-1][0]; } 我们可以继续找出规律,其实这个就是斐波那切数列数列: F[N]=F[N-1]+F[N-2];可以继续简化代码。 带有详细注释的代码可以在 Pkuacm1458CommonSubsequence动态规划题目总结(五) 求两个string的最大公共字串,动态规划的经典问题。 算法导论有详细的讲解。 下面以题目中的例子来说明算法: 两个string分别为: abcfbc和abfca。 创建一个二维数组result[][],维数分别是两个字符串长度加一。 我们定义result[i][j]表示Xi和Yj的最长子串(LCS).当i或j等于0时,result[i][j]=0.LCS问题存在一下递归式: result[i][j]=0i=0orj=0 result[i][j]=result[i-1][j-1]Xi==Yj result[i][j]=MAX(result[i-1][j],result[i][j-1])Xi! =Yj 对于以上例子,算法如下: Result[i][j]: a b c f b a 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 a 1 0 1 1 1 1 1 1 b 2 0 1 2 2 2 2 2 f 3 0 1 2 2 3 3 3 c 4 0 1 2 3 3 3 3 a 5 0 1 2 3 3 3 4 从最后一个格向上顺着箭头的方向可以找到最长子串的构成,在有箭头组成的线段中,含有斜向上的箭头对应的字符是其中的一个lcs。 Java代码的核心部分如下: for(inti=0;i result[i][0]=0; } for(inti=0;i result[0][i]=0; } for(inti=1;i<=length1;i++){ for(intj=1;j<=length2;j++){ if(str1.charAt(i-1)==str2.charAt(j-1)) result[i][j]=result[i-1][j-1]+1; else result[i][j]=result[i-1][j]>result[i][j-1]? result[i-1][j]: result[i][j-1]; } } System.out.println(result[length1][length2]); 带有详细注释的代码可以在 Pkuacm2250Compromise动态规划题目总结(六) 这个也是求最长公共字串,只是相比CommonSubsequence需要记录最长公共字串的构成,此时箭头的标记就用上了,在程序中,用opt[][]存放标记,0表示朝向左上方,1表示指向上,-1表示指向左。 result[][]存放当前最大字串长度。 在求最优解时,顺着箭头从后向前寻找公共字串的序号,记录下来,输出即可。 该算法在算法导论中有详细的讲解。 带有详细注释的代码可以在 Pkuacm1159Palindrome动态规划题目总结(七) 给一个字符串,求这个字符串最少增加几个字符能变成回文,如Ab3bd可以增加2个字符变为回文: Adb3bdA。 通过这样的结论可以和最长公共子串联系起来(未证明): S和S'(注: S'是S的反串)的最长公共子串其实一定是回文的。 这样我们就可以借助lcs来解决该题,即用s的长度减去lcs的值即可。 核心的Java代码为: total-LCS(string,newStringBuffer(string).reverse().toString()); //函数LCS返回两个string的lcs的长度 带有详细注释的代码可以在 Pkuacm1080HummanGeneFunction动态规划题目总结(八) 这是一道比较经典的DP,两串基因序列包含A、C、G、T,每两个字母间的匹配都会产生一个相似值,求基因序列(字符串)匹配的最大值。 这题有点像求最长公共子序列。 只不过把求最大长度改成了求最大的匹配值。 用二维数组opt[i][j]记录字符串a中的前i个字符与字符串b中的前j个字符匹配所产生的最大值。 假如已知AG和GT的最大匹配值,AGT和GT的最大匹配值,AG和GTT的最大匹配值,求AGT和GTT的最大匹配值,这个值是AG和GT的最大匹配值加上T和T的匹配值,AGT和GT的最大匹配值加上T和-的匹配值,AG和GTT的最大匹配值加上-和T的匹配值中的最大值,所以状态转移方程: opt[i][j]=max(opt[i-1][j-1]+table(b[i-1],a[j-1]),opt[i][j-1]+table('-',a[j-1]),opt[i-1][j]+table('-',b[i-1])); Null A G T G A T G Null -3 -5 -6 -8 -11 -12 -14 G -2 T -3 T -4 A -7 G -9 第0行,第0列表示null和字符串匹配情况,结果是’-’和各个字符的累加: for(i=1;i<=num1;i++) opt[0][i]=opt[0][i-1]+table('-',a[i-1]); for(i=1;i<=num2;i++) opt[i][0]=opt[i-1][0]+table('-',b[i-1]); opt[num2][num1]即为所求结果。 带有详细注释的代码可以在 Pkuacm2192Zipper动态规划题目总结(九) 这个题目要求判断2个字符串能否组成1个字符串,例如cat和tree能组成tcraete。 我们定义一个布尔类型的二维数组array,array[i][j]表示str1[i]和str2[j]能否组成str[i+j].i=0或者j=0表示空字符串,所以初始化时,array[0][j]表示str1的前j个字符是否和str都匹配。 对于str=tcraete: Null c a t Null 1 0 0 0 t 1 r 0 e 0 e 0 可以证明: 当array[i-1][j](array[i][j]上面一格)和array[i][j-1](array[i][j]左面一格)都为0时,array[i][j]为0.当array[i-1][j](array[i][j]上面一格)为1且左面字母为str[i+j]时或者当array[i][j-1](array[i][j]左面一格)为1且上面字母为str[i+j]时,array[i][j]为1.这就是状态转移方程为。 核心的Java代码: if(array[i][j-1]&&str1.charAt(j-1)==str.charAt(i+j-1)||array[i-1][j]&&str2.charAt(i-1)==str.charAt(i+j-1)) array[i][j]=true; else array[i][j]=false; 带有详细注释的代码可以在 Pkuacm3356AGTC动态规划题目总结(十) 一个字符串可以插入、删除、改变到另一个字符串,求改变的最小步骤。 和最长公共子序列类似,用二维数组opt[i][j]记录字符串a中的前i个字符到字符串b中的前j个字符匹配所需要的最小步数。 假如已知AG到GT的最小步数,AGT到GT的最小步数,AG到GTT的最小步数,求AGT到GTT的最小步数,此时T==T,这个值是AG到GT的最小步数,AGT到GT的最小步数加一(AGT到GT的最小步数等于AGTT到GTT的最小步数,加一是将T删除的一步),AG到GTT的最小步数加一(AG到GTT的最小步数等于AGT到GTTT的最小步数,加一是在AGT上增加T的一步)。 假如已知AG到GT的最小步数,AGA到GT的最小步数,AG到GTT的最小步数,求AGA到GTT的最小步数,此时A! =T,这个值是AG到GT的最小步数加一(A改变为T),AGA到GT的最小步数加一(AGA到GT的最小步数等于AGAT到GTT的最小步数,加一是将T删除的一步),AG到GTT的最小步数加一(AG到GTT的最小步数等于AGA到GTTA的最小步数,加一是在GTTA上删除A的一步)。 所以状态转移方程: if(str1.charAt(i-1)==str2.charAt(j-1)) array[i][j]=Math.min(Math.min(array[i-1][j-1],array[i-1][j]+1),array[i][j-1]+1); else array[i][j]=Math.min(Math.min(array[i-1][j-1]+1,array[i-1][j]+1),array[i][j-1]+1); 初始化的时候和最长公共子序列不同,因为第0行,第0列表示null转化到字符串情况,结果是字符串的长度: for(inti=0;i<=m;i++){ array[i][0]=i; } for(inti=0;i<=n;i++){ array[0][i]=i; } Null A G T G A T G Null 0 1 2 3 4 5 6 7 G 1 T 2 T 3 A 4 G 5 结果是array[m][n] 带有详细注释的代码可以在 Pkuacm1887TestingtheCATCHER动态规划题目总结(十一) 题目叙述很繁琐,其实就是求最长下降子序列,这一类题也是动态规划的典型题。 这类问题有两种算法,一种T(o)=O(n^2),另一种T(o)=O(nlogn),这里用第一种,在1631Bridgingsignals的解题报告中介绍第二种。 创建一个一维数组num_array[j],max_array[],num_array[j]表示序列的元素,max_array[i]表示以第i个元素结尾的序列中的最长下降子序列,初始化为1,对于一个max_array[i],遍历前面的每个元素j,如果num_array[j]>num_array[i]且max_array[j]>=max_array[i],那么max_array[j]就要加1,所以递推公式为: if(num_array[i]<=num_array[j]&&max_array[i]<=max_array[j]) max_array[i]++; 最后选最大的一个max_array[i]就是最长下降子序列的个数。 Java关键部分的代码: for(inti=1;i for(intj=0;j if(num_array[i]<=num_array[j]&&max_array[i]<=max_array[j]) max_array[i]++; } max_value=(max_array[i]>max_value)? max_array[i]: max_value; } max_value是最后的结果。 带有详细注释的代码可以在 Pkuacm2533LongestOrderedSubsequence动态规划题目总结(十二) 这个题目和1887TestingtheCATCHER一模一样,没有什么值得说的,关键的c代码如下: for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j if(max[i]<=max[j]&&num[i]>num[j]) max[i]++; if(max[i]>result) result=max[i]; } printf("%d\n",result); 带有详细注释的代码可以在 Pkuacm1631Bridgingsignals动态规划题目总结(十三) 这个题目可以转化为最长上升子序列,这样这个题目似乎就和2533LongestOrderedSubsequence1887TestingtheCATCHER一样了,迅速写下代码,结果超时! 看来只能用O(nlogn)的算法了。 在O(n^2)的算法中: 创建一个一维数组array[j],opt[],array[j]表示序列的元素,opt[i]表示以第i个元素结尾的序列中的最长下降子序列,初始化为1,对于一个opt[i],遍历前面的每个元素j,如果array[j]>array[i]且opt[j]>=opt[i],那么opt[j]就要加1,在这里,遍历前面的每个元素j,寻找此前最大的子序列时间复杂度为O(n),如果我们在一个有序的序列中查找此前最大的序列长度,我们就可以用二分查找,时间复杂度就会降为O(logn),总的时间复杂度就会为O(nlogn)。 为此,我们增加一个一维数组B,B[i]表示当前序列为i的末尾元素的最小值。 例如对于序列: 426315: i 1 2 3 4 5 6 array 4 2 6 3 1 5 opt 1 1 2 2 1 3 B 1 3 5 构建过程如下: i=1时,opt[i]=1B[i]=4(当前为1的序列的末尾元素的最小值) opt 1 1 1 1 1 1 B 4 i=2时,2不大于4,所以opt[i]=1,将B[1]更新为2 opt 1 1 1 1 1 1 B 2 i=3时,6大于2,所以opt[i]=1+1,将B[2]更新为6 opt 1 1 2 1 1 1 B 2 6 i=4时,3在26之间,所以opt[i]=1+1,将B[2]更新为3 opt 1 1 2 2 1 1 B 2 3 i=5时,1小于2,所以opt[i]=1,将B[1]更新为1 opt 1 1 2 2 1 1 B 1 3 i=6时,5大于3,所以opt[i]=2+1,将B[3]更新为5 opt 1 1 2 2 1 3 B 1 3 5 opt[6]就是最后的结果。 从构建的过程可以容易的证明一下两点: B是递增的。 B是当前序列为i的末尾元素的最小值。 以上“2不大于4”,“3在26之间”等等的判断采用二分查找,所以总的时间复杂度为: O(nlogn),核心的c代码如下: for(i=1;i<=n;i++) { num=array[i]; left=1; right=Blen; while(left<=right) { mid=(left+right)/2; if(B[mid] left=mid+1; else right=mid-1; } o
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