福建省高中数学联赛福建省赛区预赛试题.docx
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福建省高中数学联赛福建省赛区预赛试题
2018年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛
暨2018年福建省高中数学竞赛试卷
(考试时间:
2018年5月20日上午9:
00—11:
30,满分160分)
一、填空题(共10小题,每小题6分,满分60分.请直接将答案写在题中的横线上)
1.将正偶数集合从小到大按第组有个数进行分组:
,,则位于第组.
2.在中,内角所对的边分别是,若,则.
3.设复数满足,则的最大值为.(为虚数单位,为复数的共轭复数)
4.已知定义在上的奇函数的图像关于直线对称,当时,,则.
5.从如图所示的由9个单位小方格组成的方格表的16个顶点中任取三个顶点,则这三个点构成直角三角形的概率为.
6.如图,在三棱锥中,都是边长为的等边三角形,若二面角的大小为,则三棱锥外接球的面积为.
7.已知分别为双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,分别为的重心、内心,若轴,则的外接圆半径.
8.最近网络上有一篇文章很火.源于一道常见题目:
(见图),这貌似易解的题目,里面竟然蕴藏了深奥的大道理.
(本题不作为本次考试的试题,本次试题如下)
设,则的最大值为.
9.已知整数系数多项式,若,则.
10.已知函数满足:
对任意实数,都有成立,且,则.
二、解答题(共5小题,每小题20分,满分100分.要求写出解题过程)
11.已知数列的前项和满足,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,为数列的前项和,求使成立的最小正整数的值.
12.已知分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,且的垂心为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆的左顶点,过点的直线交椭圆于两点,记直线的斜率分别为,若,求直线的方程.
13.如图,在锐角中,是边上的点,的外心分别为.
证明:
(1)∽;
(2)若,则.
14.已知.
(1)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(2)若是函数的两个零点,求证:
.
15.设是由有限个正整数构成的集合,且,这里,并对任意的,都有,.
已知对任意的,若,则,求集合的元素个数的最小值.(这里,表示集合的元素个数)
试卷答案
一、填空题:
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.
二、解答题:
11.解:
(1)由,得.
将上述两式相减,得;
①②
1②,得
数列为等差数列;
又由,及,得,的公差;
.
解法二:
用数学归纳法(略)
注:
若猜出,没有证明,扣5分.
(2)由
(1)知,
由,得
,,
使得成立的最小正整数的值为.
12.解:
设.由的垂心为,得.
,解得.
由点在椭圆上,得.结合,解得.
椭圆的方程为.
(2)由
(1),知
若斜率不存在,则由对称性,,不符合要求
若斜率存在,设为,则的方程为
由,得①
设,则
又,因此,直线的方程为:
,即.
13.解:
(1)连结
分别为的外心,
为线段的垂直平分线.
,
.
∽.
(2)连结,延长与相交于点,由分别为的外心,知分别是线段的垂直平分线.
.
又,
四点共圆,.
又,,,
四点共圆,.
设的延长线分别与相交于,则
四点共圆,
又
.
14.解:
(1)设,则
时,不等式恒成立时,恒成立.
,
时,,在区间上为增函数.
另由,知.
1若,则
此时,在区间内有唯一零点,设为,则时,
在区间上为减函数,.因此,不符合要求.
2若,则时,,此时,在上为增函数.
时,.因此,符合要求.
由①、②,得的取值范围为.
(2)是函数的两个零点,
,.
不妨设,易知,联立上述两式,消,得
又由
(1)知,对,当时,恒成立.
当时,恒成立.
当时,.
,;
当时,同理可得:
,.
15.解:
记
不妨设;.
设,.
对任意的,都有,
互不相同,,即.
对任意的,若,则,
当时,
即当时,.
若,则,
若,则
总有
另一方面,取,
则符合要求.
此时,.
综上所述,集合的元素个数的最小值为.
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