新定义函数中考新题型汇编.docx
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新定义函数中考新题型汇编
函数图形变换
方法总结:
1.掌握函数平移的规律,包括一次函数、反比例函数和二次函数;
2.确定函数的特征点为基准移动函数,并确定移动后的解析式;
3.根据题目要求结合函数性质解决问题。
例1.我们规定:
形如的函数叫做“奇特函数”.当时,“奇特函数”就是反比例函数.
(1)若矩形的两边长分别是2和3,当这两边长分别增加x和y后,得到的新矩形的面积为8,求y与x之间的函数关系式,并判断这个函数是否为“奇特函数”;
(2)如图,在平面直角坐标系中,点O为原点,矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为(9,0)、(0,3).点D是OA的中点,连结OB,CD交于点E,“奇特函数”的图象经过B,E两点.
①求这个“奇特函数”的解析式;
②把反比例函数的图象向右平移6个单位,再向上平移 个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于P,Q两点,若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为,请直接写出点P的坐标.
例2.定义{a,b,c}为函数y=ax2+bx+c的“特征数”.如:
函数y=x2-2x+3的“特征数”是{1,-2,3},函数y=2x+3的“特征数”是{0,2,3},函数y=-x的“特征数”是{0,-1,0}
(1)将“特征数”是的函数图象向下平移2个单位,得到一个新函数,这个新函数的解析式是;
(2)在
(1)中,平移前后的两个函数分别与y轴交于A、B两点,与直线分别交于D、C两点,判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状,请说明理由并计算其周长;
(3)若
(2)中的四边形与“特征数”是的函数图象的有交点,求满足条件的实数b的取值范围.
变式
如果二次函数的二次项系数为l,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].
(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标.
(2)探究下列问题:
①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位,求得到的图象对应的函数的特征数.
②若一个函数的特征数为[2,3],问此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3,4]?
例3.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与x轴平行,且与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形,线段AB称为碟宽,顶点M称为碟顶,点M到线段AB的距离称为碟高.
(1)抛物线对应的碟宽为 ;抛物线y=4x2对应的碟宽为 ;抛物线y=ax2(a>0)对应的碟宽为 ;抛物线y=a(x-2)2+3(a>0)对应的碟宽为 ;
(2)抛物线(a>0)对应的碟宽为6,且在x轴上,求a的值;
(3)将抛物线y=anx2+bnx+cn(an>0)的对应准蝶形记为Fn(n=1,2,3…),定义F1,F2,…,Fn为相似准蝶形,相应的碟宽之比即为相似比.若Fn与Fn﹣1的相似比为,且Fn的碟顶是Fn﹣1的碟宽的中点,现将
(2)中求得的抛物线记为y1,其对应的准蝶形记为F1.
①求抛物线y2的表达式;
②若F1的碟高为h1,F2的碟高为h2,…Fn的碟高为hn,则hn= ,Fn的碟宽有端点横坐标为2;若F1,F2,…,Fn的碟宽右端点在一条直线上,请直接写出该直线的表达式;若不是,请说明理由。
例4.如图①,直线l:
y=mx+n(m<0,n>0)与x,y轴分别相交于A,B两点,将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD,过点A,B,D的抛物线P叫做l的关联抛物线,而l叫做P的关联直线.
(1)若l:
y=-2x+2,则P表示的函数解析式为 ;若P:
y=-x2-3x+4,则l表示的函数解析式为.
(2)求P的对称轴(用含m,n的代数式表示);
(3)如图②,若l:
y=-2x+4,P的对称轴与CD相交于点E,点F在l上,点Q在P的对称轴上.当以点C,E,Q,F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时,求点Q的坐标;
(4)如图③,若l:
y=mx-4m,G为AB中点,H为CD中点,连接GH,M为GH中点,连接OM.若OM=,直接写出l,P表示的函数解析式.
参考答案:
例1【解析】
(1),是“奇特函数”;
(2)①;②或或或.
试题分析:
(1)根据题意列式并化为,根据定义作出判断.
(2)①求出点B,D的坐标,应用待定系数法求出直线OB解析式和直线CD解析式,二者联立即可得点E的坐标,将B(9,3),E(3,1)代入函数即可求得这个“奇特函数”的解析式.
②根据题意可知,以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP,据此求出点P的坐标.
试题解析:
(1)根据题意,得,
∵,∴.∴.
根据定义,是“奇特函数”.
(2)①由题意得,.
易得直线OB解析式为,直线CD解析式为,
由解得.∴点E(3,1).
将B(9,3),E(3,1)代入函数,得,整理得,解得.∴这个“奇特函数”的解析式为.
②∵可化为,
∴根据平移的性质,把反比例函数的图象向右平移6个单位,再向上平移2个单位就可得到.∴关于点(6,2)对称.
∵B(9,3),E(3,1),∴BE中点M(6,2),即点M是的对称中心.
∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.
由勾股定理得,.
设点P到EB的距离为m,
∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为,
∴.
∴点P在平行于EB的直线上.
∵点P在上,
∴或.
解得.
∴点P的坐标为或或或.
考点:
1.新定义和阅读理解型问题;2.平移问题;3.反比例函数的性质;4.曲线上点的坐标与方程的关系;5.勾股定理;6.中心对称的性质;7.平行四边形的判定和性质;8.分类思想的应用.
例2【解析】
(1)根据函数“特征数”写出函数的解析式,再根据平移后一次函数的变化情况写出函数图象向下平移2个单位的新函数的解析式.
(2)判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状,可根据一次函数图象向下平移2个单位与原函数图象的关系,得出AB=2,并确定为平行四边形,由直线相交计算交点坐标后,求出线段BC=2,再根据菱形的判定(邻边相等的平行四边形是菱形)得出,其周长=2×4=8;
(3)根据函数“特征数”写出二次函数的解析式,化为顶点式为y=(x-b)2+,确定二次函数的图象不会经过点B和点C,再将菱形顶点A(0,1),D()代入二次函数解析式得出实数b的取值范围.
【解析】
(1)y=(1分)“特征数”是的函数,
即y=+1,
该函数图象向下平移2个单位,得y=.
(2)由题意可知y=向下平移两个单位得y=
∴AD∥BC,AB=2.
∵,
∴AB∥CD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
,
得C点坐标为(,0),
∴D()
由勾股定理可得BC=2
∵四边形ABCD为平行四边形,AB=2,BC=2
∴四边形ABCD为菱形.
∴周长为8.
(3)二次函数为:
y=x2-2bx+b2+,化为顶点式为:
y=(x-b)2+,
∴二次函数的图象不会经过点B和点C.
设二次函数的图象与四边形有公共部分,
当二次函数的图象经过点A时,将A(0,1),代入二次函数,
解得b=-,b=(不合题意,舍去),
当二次函数的图象经过点D时,
将D(),代入二次函数,
解得b=+,b=(不合题意,舍去),
所以实数b的取值范围:
.
例3【解析】
试题分析:
(1)根据定义可算出y=ax2(a>0)的碟宽为、碟高为,由于抛物线可通过平移y=ax2(a>0)得到,得到碟宽为、碟高为,由此可得碟宽、碟高只与a有关,与别的无关,从而可得.
(2)由
(1)的结论,根据碟宽易得a的值.
(3)①根据y1,容易得到y2.
②结合画图,易知h1,h2,h3,…,hn﹣1,hn都在直线x=2上,可以考虑hn∥hn﹣1,且都过Fn﹣1的碟宽中点,进而可得.画图时易知碟宽有规律递减,由此可得右端点的特点.对于“F1,F2,…,Fn的碟宽右端点是否在一条直线上?
”,我们可以推测任意相邻的三点是否在一条直线上,如果相邻的三个点不共线则结论不成立,反之则成立,所以可以考虑基础的几个图形关系,利用特殊点求直线方程即可.
试题解析:
(1)4;1;;.
∵a>0,
∴y=ax2的图象大致如下:
其必过原点O,记AB为其碟宽,AB与y轴的交点为C,连接OA,OB.
∵△DAB为等腰直角三角形,AB∥x轴,
∴OC⊥AB,∴∠OCA=∠OCB=∠AOB=×90°=45°,
∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形,
∴AC=OC=BC,
∴xA=-yA,xB=yB,代入y=ax2,
∴A(﹣,),B(,),C(0,),
∴AB=,OC=,
即y=ax2的碟宽为.
①抛物线y=x2对应的a=,得碟宽为4;
②抛物线y=4x2对应的a=4,得碟宽为为;
③抛物线y=ax2(a>0),碟宽为;
④抛物线y=a(x﹣2)2+3(a>0)可看成y=ax2向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度后得到的图形,
∵平移不改变形状、大小、方向,
∴抛物线y=a(x﹣2)2+3(a>0)的准碟形与抛物线y=ax2的准碟形全等,
∵抛物线y=ax2(a>0),碟宽为,
∴抛物线y=a(x﹣2)2+3(a>0),碟宽为.
(2)∵y=ax2﹣4ax﹣,
∴由
(1),其碟宽为,
∵y=ax2﹣4ax﹣的碟宽为6,
∴=6,解得A=,
∴y=x2﹣x﹣=(x﹣2)2﹣3
(3)①∵F1的碟宽:
F2的碟宽=2:
1,∴=,
∵a1=,∴a2=.
∵y=(x﹣2)2﹣3的碟宽AB在x轴上(A在B左边),
∴A(﹣1,0),B(5,0),
∴F2的碟顶坐标为(2,0),∴y2=(x﹣2)2.
②∵Fn的准碟形为等腰直角三角形,
∴Fn的碟宽为2hn,
∵2hn:
2hn﹣1=1:
2,
∴hn=hn﹣1=()2hn﹣2=()3hn﹣3=…=()n+1h1,
∵h1=3,∴hn=.
∵hn∥hn﹣1,且都过Fn﹣1的碟宽中点,
∴h1,h2,h3,…,hn﹣1,hn都在一条直线上,
∵h1在直线x=2上,
∴h1,h2,h3,…,hn﹣1,hn都在直线x=2上,
∴Fn的碟宽右端点横坐标为2+.
另,F1,F2,…,Fn的碟宽右端点在一条直线上,直线为y=﹣x+5.
分析如下:
考虑Fn﹣2,Fn﹣1,Fn情形,关系如图2,
Fn﹣2,Fn﹣1,Fn的碟宽分别为AB,DE,GH;C,F,I分别为其碟宽的中点,都在直线x=2上,连接右端点,BE,EH.
∵AB∥x轴,DE∥x轴,GH∥x轴,
∴AB∥DE∥GH,
∴GH平行且等于FE,DE平行且等于CB,
∴四边形GFEH,四边形DCBE都为平行四边形,
∴HE∥GF,EB∥DC,
∵∠GFI=∠GFH=∠DCE=∠DCF,
∴GF∥DC,∴HE∥EB,
∵HE,EB都过E点,∴HE,EB在一条直线上,
∴Fn﹣2,Fn﹣1,Fn的碟宽的右端点是在一条直线,
∴F1,F2,…,Fn的碟宽的右端点是在一条直线.
∵F1:
y1=(x﹣2)2﹣3准碟形右端点坐标为(5,0),
F2:
y2=(x﹣2)2准碟形右端点坐标为(2+,),
∴待定系数可得过两点的直线为y=﹣x+5,
∴F1,F2,…,Fn的碟宽的右端点是在直线y=﹣x+5上.
考点:
1、等腰直角三角形;2、二次函数的性质;3多点共线
例4解析:
参考题目:
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,
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