中考数学尺规作图专题复习导学案.docx
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中考数学尺规作图专题复习导学案
2017年中考数学尺规作图专题复习导学案
2017年中考数学专题练习28《尺规作图》
【知识归纳】
一)尺规作图
1.定义
只用没有刻度的和作图叫做尺规作图.
2.步骤
①根据给出的条和求作的图形,写出已知和求作部分;
②分析作图的方法和过程;
③用直尺和圆规进行作图;
④写出作法步骤,即作法.
二)五种基本作图
1.作一条线段等于已知线段;
2.作一个角等于已知角;
3.作已知角的平分线;
4.过一点作已知直线的垂线;
.作已知线段的垂直平分线.
三)基本作图的应用
1.利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形;
(2)已知两边及其夹角作三角形;(3)已知两角及其夹边作三角形;(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形;()已知一直角边和斜边作直角三角形.
2.与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆).
(2)作三角形的内切圆.
【基础检测】
1.(2013湖北省咸宁市,1,3分)如图,在平面直角坐标系中,以为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点,交轴于点N,再分别以点、N为圆心,大于N的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2a,b+1),则a与b的数量关系为( )A.a=bB.2a+b=﹣1.2a﹣b=1D.2a+b=1
2(2013福建福州)如图,已知△AB,以点B为圆心,A长为半径画弧;以点为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点D,且点A,点D在B异侧,连结AD,量一量线段AD的长,约为()
A.2
B.30
.3
D.40
3(2016•陕西)如图,已知△AB,∠BA=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△AB分成两个相似的三角形(保留作图痕迹,不写作法)
4(2016•四川凉州)如图,在边长为1的正方形网格中,△AB的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是A(4,3)、B(4,1),把△AB绕点逆时针旋转90°后得到△A1B1.
(1)画出△A1B1,直接写出点A1、B1的坐标;
(2)求在旋转过程中,△AB所扫过的面积.
.(2016安徽)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中,给出了四边形ABD的两条边AB与B,且四边形ABD是一个轴对称图形,其对称轴为直线A.
(1)试在图中标出点D,并画出该四边形的另两条边;
(2)将四边形ABD向下平移个单位,画出平移后得到的四边形A′B′′D′.
6.(2016东青岛)已知:
线段a及∠AB.
求作:
⊙,使⊙在∠AB的内部,=a,且⊙与∠AB的两边分别相切.
7.(2016•江苏无锡)如图,A=2,以点A为圆心,1为半径画⊙A与A的延长线交于点,过点A画A的垂线,垂线与⊙A的一个交点为B,连接B
(1)线段B的长等于 ;
(2)请在图中按下列要求逐一操作,并回答问题:
①以点 为圆心,以线段的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使线段D的长等于
②连D,在D上画出点P,使P得长等于,请写出画法,并说明理由.【达标检测】
一、选择题
1.(2016•东德州)如图,在△AB中,∠B=°,∠=30°,分别以点A和点为圆心,大于A的长为半径画弧,两弧相交于点,N,作直线N,交B于点D,连接AD,则∠BAD的度数为( )A.6°B.60°.°D.4°
2(2016河北)如图,已知钝角△AB,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹
步骤1:
以为圆心,A为半径画弧○1;
步骤2:
以B为圆心,BA为半径画弧○2,将弧○1于点D;
步骤3:
连接AD,交B延长线于点H
下列叙述正确的是()第10题图
A.BH垂直分分线段ADB.A平分∠BAD
.S△AB=B•AHD.AB=AD
二、填空题
3(2016•吉林•3分)如图,已知线段AB,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于、D两点,作直线D交AB于点E,在直线D上任取一点F,连接FA,FB.若FA=,则FB= .4(2013四川遂宁,10,4分)如图,在△AB中,∠=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、A于点和N,再分别以、N为圆心,大于N的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交B于点D,则下列说法中正确的是。
①AD是∠BA的平分线;②∠AD=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DA:
S△AB=1:
3.三、解答题
(2016•福建龙岩•12分)图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和站,最终到达终点站D站的格点站路线图.(8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成)
(1)求1路车从A站到D站所走的路程(精确到01);
(2)在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图.(要求:
①与图1路线不同、路程相同;②途中必须经过两个格点站;③所画路线图不重复)
6(2016•黑龙江哈尔滨•7分)图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段A的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)如图1,点P在小正方形的顶点上,在图1中作出点P关于直线A的对称点Q,连接AQ、Q、P、PA,并直接写出四边形AQP的周长;
(2)在图2中画出一个以线段A为对角线、面积为6的矩形ABD,且点B和点D均在小正方形的顶点上.
7如图,已知△AB,∠BA=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△AB分成两个相似的三角形(保留作图痕迹,不写作法)
8(2016年浙江衢州)如图,已知BD是矩形ABD的对角线.
(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD、B于E、F(保留作图痕迹,不写作法和证明).
(2)连结BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形?
请说明理由.9(2016•四川巴中)如图,方格中,每个小正方形的边长都是单位1,△AB在平面直角坐标系中的位置如图.
(1)画出将△AB向右平移2个单位得到△A1B11;
(2)画出将△AB绕点顺时针方向旋转90°得到的△A2B22;
(3)求△A1B11与△A2B22重合部分的面积.
【知识归纳答案】
一)尺规作图
1.定义
只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图.
2.步骤
①根据给出的条和求作的图形,写出已知和求作部分;②分析作图的方法和过程;③用直尺和圆规进行作图;④写出作法步骤,即作法.
二)五种基本作图
1.作一条线段等于已知线段;2.作一个角等于已知角;3.作已知角的平分线;4.过一点作已知直线的垂线;.作已知线段的垂直平分线.
三)基本作图的应用
1.利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形;
(2)已知两边及其夹角作三角形;(3)已知两角及其夹边作三角形;(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形;()已知一直角边和斜边作直角三角形.
2.与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆).
(2)作三角形的内切圆.
【基础检测答案】
1.(2013湖北咸宁)如图,在平面直角坐标系中,以为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点,交轴于点N,再分别以点、N为圆心,大于N的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2a,b+1),则a与b的数量关系为( )A.a=bB.2a+b=﹣1.2a﹣b=1D.2a+b=1
【解析】作图—基本作图;坐标与图形性质;角平分线的性质.根据作图过程可得P在第二象限角平分线上,有角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|,再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0,进而得到a与b的数量关系.
【解答】解:
根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上,
则P点横纵坐标的和为0,
故2a+b+1=0,
整理得:
2a+b=﹣1,
故选:
B.
【点评】此题主要考查了每个象限内点的坐标特点,以及角平分线的性质,关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点|横坐标|=|纵坐标|.
2(2013福建福州,8,4分)如图,已知△AB,以点B为圆心,A长为半径画弧;以点为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点D,且点A,点D在B异侧,连结AD,量一量线段AD的长,约为()
A.2
B.30
.3
D.40
【答案】B
【解析】首先根据题意画出图形,由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,可知四边形ABD是平行四边形,再根据平行四边形的性质对角线相等,得出AD=B.最后利用刻度尺进行测量即可.
【方法指导】此题主要考查了复杂作图以及平行四边形的判定和性质,关键是正确理解题意,画出图形.
3(2016•陕西)如图,已知△AB,∠BA=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△AB分成两个相似的三角形(保留作图痕迹,不写作法)【考点】作图—相似变换.
【分析】过点A作AD⊥B于D,利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠,则可判断△ABD与△AD相似.
【解答】解:
如图,AD为所作.
4(2016•四川凉州•8分)如图,在边长为1的正方形网格中,△AB的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是A(4,3)、B(4,1),把△AB绕点逆时针旋转90°后得到△A1B1.
(1)画出△A1B1,直接写出点A1、B1的坐标;
(2)求在旋转过程中,△AB所扫过的面积.【考点】作图-旋转变换;扇形面积的计算.
【分析】
(1)根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置,然后顺次连接即可,根据A、B的坐标建立坐标系,据此写出点A1、B1的坐标;
(2)利用勾股定理求出A的长,根据△AB扫过的面积等于扇形AA1的面积与△AB的面积和,然后列式进行计算即可.
【解答】解:
(1)所求作△A1B1如图所示:
由A(4,3)、B(4,1)可建立如图所示坐标系,
则点A1的坐标为(﹣1,4),点B1的坐标为(1,4);
(2)∵A===,∠AA1=90°
∴在旋转过程中,△AB所扫过的面积为:
S扇形AA1+S△AB
=+×3×2
=+3.
.(2016安徽,17,8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中,给出了四边形ABD的两条边AB与B,且四边形ABD是一个轴对称图形,其对称轴为直线A.
(1)试在图中标出点D,并画出该四边形的另两条边;
(2)将四边形ABD向下平移个单位,画出平移后得到的四边形A′B′′D′.【考点】作图-平移变换.
【分析】
(1)画出点B关于直线A的对称点D即可解决问题.
(2)将四边形ABD各个点向下平移个单位即可得到四边形A′B′′D′.
【解答】解:
(1)点D以及四边形ABD另两条边如图所示.
(2)得到的四边形A′B′′D′如图所示.
6.(2016东省青岛市,4分)已知:
线段a及∠AB.
求作:
⊙,使⊙在∠AB的内部,=a,且⊙与∠AB的两边分别相切.【考点】作图—复杂作图.
【分析】首先作出∠AB的平分线D,再截取=a得出圆心,作E⊥A,由角平分线的性质和切线的判定作出圆即可.
【解答】解:
①作∠AB的平分线D,
②在D上截取=a,
③作E⊥A于E,以我圆心,E长为半径作圆;
如图所示:
⊙即为所求.7.(2016•江苏无锡)如图,A=2,以点A为圆心,1为半径画⊙A与A的延长线交于点,过点A画A的垂线,垂线与⊙A的一个交点为B,连接B
(1)线段B的长等于 ;
(2)请在图中按下列要求逐一操作,并回答问题:
①以点 A 为圆心,以线段 B 的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使线段D的长等于
②连D,在D上画出点P,使P得长等于,请写出画法,并说明理由.【考点】作图—复杂作图.
【分析】
(1)由圆的半径为1,可得出AB=A=1,结合勾股定理即可得出结论;
(2)①结合勾股定理求出AD的长度,从而找出点D的位置,根据画图的步骤,完成图形即可;
②根据线段的三等分点的画法,结合A=2A,即可得出结论.
【解答】解:
(1)在Rt△BA中,AB=A=1,∠BA=90°,
∴B==.
故答案为:
.
(2)①在Rt△AD中,A=2,D=,∠AD=90°,
∴AD===B.
∴以点A为圆心,以线段B的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使线段D的长等于.
依此画出图形,如图1所示.故答案为:
A;B.
②∵D=,P=,=A+A=3,A=2,
∴.
故作法如下:
连接D,过点A作AP∥D交D于点P,P点即是所要找的点.
依此画出图形,如图2所示.【达标检测答案】
一、选择题
1.(2016•东省德州市•3分)如图,在△AB中,∠B=°,∠=30°,分别以点A和点为圆心,大于A的长为半径画弧,两弧相交于点,N,作直线N,交B于点D,连接AD,则∠BAD的度数为( )A.6°B.60°.°D.4°
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=D,根据等腰三角形的性质得到∠=∠DA,求得∠DA=30°,根据三角形的内角和得到∠BA=9°,即可得到结论.
【解答】解:
由题意可得:
N是A的垂直平分线,
则AD=D,故∠=∠DA,
∵∠=30°,
∴∠DA=30°,
∵∠B=°,
∴∠BA=9°,
∴∠BAD=∠BA﹣∠AD=6°,
故选A.
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质,三角形的内角和,正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.
2(2016河北3分)如图,已知钝角△AB,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹
步骤1:
以为圆心,A为半径画弧○1;
步骤2:
以B为圆心,BA为半径画弧○2,将弧○1于点D;
步骤3:
连接AD,交B延长线于点H
下列叙述正确的是()第10题图
A.BH垂直分分线段ADB.A平分∠BAD
.S△AB=B•AHD.AB=AD
答案:
A
解析:
AD相当于一个弦,BH、H⊥AD;B、D两项不一定;项面积应除以2。
知识点:
尺规作图
二、填空题
3(2016•吉林•3分)如图,已知线段AB,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于、D两点,作直线D交AB于点E,在直线D上任取一点F,连接FA,FB.若FA=,则FB= .【考点】作图—基本作图;线段垂直平分线的性质.
【分析】根据线段垂直平分线的作法可知直线D是线段AB的垂直平分线,利用线段垂直平分线性质即可解决问题.
【解答】解:
由题意直线D是线段AB的垂直平分线,
∵点F在直线D上,
∴FA=FB,
∵FA=,
∴FB=.
故答案为.4(2013四川遂宁,10,4分)如图,在△AB中,∠=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、A于点和N,再分别以、N为圆心,大于N的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交B于点D,则下列说法中正确的是。
①AD是∠BA的平分线;②∠AD=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DA:
S△AB=1:
3.【解析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BA的角平分线;
②利用角平分线的定义可以推知∠AD=30°,则由直角三角形的性质求∠AD的度数;
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上;
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式求两个三角形的面积之比.
【解答】解:
①根据作图的过程可知,AD是∠BA的平分线.
故①正确;
②如图,∵在△AB中,∠=90°,∠B=30°,
∴∠AB=60°.
又∵AD是∠BA的平分线,
∴∠1=∠2=∠AB=30°,
∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠AD=60°.
故②正确;
③∵∠1=∠B=30°,
∴AD=BD,
∴点D在AB的中垂线上.
故③正确;
④∵如图,在直角△AD中,∠2=30°,
∴D=AD,
∴B=D+BD=AD+AD=AD,S△DA=A•D=A•AD.
∴S△AB=A•B=A•AD=A•AD,
∴S△DA:
S△AB=A•AD:
A•AD=1:
3.
故④正确.
综上所述,正确的结论是:
①②③④.
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图.解题时,需要熟悉等腰三角形的判定与性质.
三、解答题
(2016•福建龙岩•12分)图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和站,最终到达终点站D站的格点站路线图.(8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成)
(1)求1路车从A站到D站所走的路程(精确到01);
(2)在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图.(要求:
①与图1路线不同、路程相同;②途中必须经过两个格点站;③所画路线图不重复)
【考点】作图—应用与设计作图;勾股定理的应用.
【分析】
(1)先根据网格求得AB、B、D三条线段的长,再相加求得所走的路程的近似值;
(2)根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可.
【解答】解:
(1)根据图1可得:
,,D=3
∴A站到B站的路程=≈97;
(2)从A站到D站的路线图如下:
6(2016•黑龙江哈尔滨•7分)图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段A的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)如图1,点P在小正方形的顶点上,在图1中作出点P关于直线A的对称点Q,连接AQ、Q、P、PA,并直接写出四边形AQP的周长;
(2)在图2中画出一个以线段A为对角线、面积为6的矩形ABD,且点B和点D均在小正方形的顶点上.【考点】作图-轴对称变换.
【分析】
(1)直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案;
(2)直接利用网格结合矩形的性质以及勾股定理得出答案.
【解答】解:
(1)如图1所示:
四边形AQP即为所求,它的周长为:
4×=4;
(2)如图2所示:
四边形ABD即为所求.7如图,已知△AB,∠BA=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△AB分成两个相似的三角形(保留作图痕迹,不写作法)【考点】作图—相似变换.
【分析】过点A作AD⊥B于D,利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠,则可判断△ABD与△AD相似.
【解答】解:
如图,AD为所作.8(2016年浙江衢州)如图,已知BD是矩形ABD的对角线.
(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD、B于E、F(保留作图痕迹,不写作法和证明).
(2)连结BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形?
请说明理由.【考点】矩形的性质;作图—基本作图.
【分析】
(1)分别以B、D为圆心,比BD的一半长为半径画弧,交于两点,确定出垂直平分线即可;
(2)连接BE,DF,四边形BEDF为菱形,理由为:
由EF垂直平分BD,得到BE=DE,∠DEF=∠BEF,再由AD与B平行,得到一对内错角相等,等量代换及等角对等边得到BE=BF,再由BF=DF,等量代换得到四条边相等,即可得证.
【解答】解:
(1)如图所示,EF为所求直线;
(2)四边形BEDF为菱形,理由为:
证明:
∵EF垂直平分BD,
∴BE=DE,∠DEF=∠BEF,
∵AD∥B,
∴∠DEF=∠BFE,
∴∠BEF=∠BFE,
∴BE=BF,
∵BF=DF,
∴BE=ED=DF=BF,
∴四边形BEDF为菱形.
9.(2016•四川巴中)如图,方格中,每个小正方形的边长都是单位1,△AB在平面直角坐标系中的位置如图.
(1)画出将△AB向右平移2个单位得到△A1B11;
(2)画出将△AB绕点顺时针方向旋转90°得到的△A2B22;
(3)求△A1B11与△A2B22重合部分的面积.【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换.
【分析】
(1)将△AB向右平移2个单位即可得到△A1B11.
(2)将△AB绕点顺时针方向旋转90°即可得到的△A2B22.
(3)B22与A1B1相交于点E,B2A2与A1B1相交于点F,如图,求出直线A1B1,B22,A2B2,列出方程组求出点E、F坐标即可解决问题.
【解答】解:
(1)如图,△A1B11为所作;
(2)如图,△A2B22为所作;(3)B22与A1B1相交于点E,B2A2与A1B1相交于点F,如图,
∵B2(0,1),2(2,3),B1(1,0),A1(2,),A2(,0),
∴直线A1B1为=x﹣,
直线B22为=x+1,
直线A2B2为=﹣x+1,
由解得,∴点E(1,2),
由解得,∴点F(,).
∴S△BEF=.
∴△A1B11与△A2B22重合部分的面积为.
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