九年级数学难题精选有答案.docx
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九年级数学难题精选有答案
0
一、
如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N,其顶点为D.
(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?
若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;
(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
解:
(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,
,解得
,
故抛物线为y=﹣x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A(﹣1,0)及C(2,3)得
,解得
故直线AC为y=x+1;
(2)作N点关于直线x=3的对称点N',则N'(6,3),
由
(1)得D(1,4),
故直线DN'的函数关系式为y=﹣
x+
,
当M(3,m)在直线DN'上时,
MN+MD的值最小,则m=﹣
×
=
;
(3)由
(1)、
(2)得D(1,4),B(1,2)
∵点E在直线AC上,设E(x,x+1),
①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,x+3),
∵F在抛物线上,
∴x+3=﹣x2+2x+3,
解得,x=0或x=1(舍去)
∴E(0,1);
②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,
点F在点E下方,
则F(x,x﹣1)
由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3
解得x=
或x=
∴E(
,
)或(
,
)
综上,满足条件的点E为E(0,1)、(
,
)或(
,
);
(4)方法一:
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;
过点C作CG⊥x轴于点G,如图1设Q(x,x+1),
则P(x,-x2+2x+3)
∴PQ=(-x2+2x+3)-(x﹣1)=-x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=
PQ·AG=
(-x2+x+2)×3=-
(x﹣
)2+
∴面积的最大值为
.
二、
已知:
直角梯形OABC中,BC∥OA,∠AOC=90°,以AB为直径的圆M
交OC于D、E,连结AD、BD、BE。
(1)在不添加其他字母和线的前提下,直接写出图1中的两对相似三角形。
_____________________,______________________
(2)直角梯形OABC中,以O为坐标原点,A在x轴正半轴上建立直角坐标系(如图2),
若抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)经过点A、B、D,且B为抛物线的顶点。
①写出顶点B的坐标(用a的代数式表示)___________。
②求抛物线的解析式。
③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P:
过点P做PN⊥x轴于N,
使得⊿PAN与⊿OAD相似?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。
图1 图2
1)△OAD∽△CDB. △ADB∽△ECB
(2)①(1,-4a)
②∵△OAD∽△CDB
∴
∵ax2-2ax-3a=0,可得A(3,0)
又OC=-4a,OD=-3a,CD=-a,CB=1,
∴
∴
∵
∴
故抛物线的解析式为:
③存在,
设P(x,-x2+2x+3)
∵△PAN与△OAD相似,且△OAD为等腰三角形 ∴PN=AN
当x<0(x<-1)时,-x+3=-(-x2+2x+3),x1=-2,x2=3(舍去),∴P(-2,-5)
当x>0(x>3)时,x-3=-(-x2+2x+3),x1=0,x2=3(都不合题意舍去)
符合条件的点P为(-2,-5)
三、
如图,在平面直角坐标系中,点C在x轴上,∠OCD=∠D=90°,AO=OC=10cm,CD=6cm.
(1)请求出点A的坐标.
(2)如图2,动点P、Q以每秒1cm的速度分别从点O和点C同时出发,点P沿OA、AD、DC运动到点C停止,点Q沿CO运动到点O停止.设P、Q同时出发t秒.
①是否存在某个时间t(秒),使得△OPQ为直角三角形?
若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
②若记△POQ的面积为y(cm2),求y(cm2)关于t(秒)的函数关系式.
解:
(1)如图1,作AE⊥OC于E.
∴AE∥CD,
∵∠OCD=∠D=90°,
∴AD∥OC,
∵CD=6cm,
∴AE=DC=6cm,
∵OA=OC=10cm,
∴OE=8cm,
∴A(8,6);
(2)作AN⊥OA,设与OC的延长线交于N点,延长DA,与y轴交于点M.
①如图2,
∵AD∥OC,
∴AM⊥OM,
∴DM∥OC,
∵A(8,6),
∴AM=8cm,OM=CD=6cm,
∴∠AON=∠MAO,
∵∠AMO=∠OAN=90°,
∴△OMA∽△NAO,
∴
OM
AN
=
MA
AO
=
OA
ON
,
∵OM=6cm,AM=8cm,OA=10cm,
∴AN=
15
2
cm,ON=
25
2
cm,
如图,若∠OPQ=90°,则△OPQ为直角三角形,
∴PQ∥AN,
∴
OP
OA
=
OQ
ON
,
∵P,Q两点的运动时间为t秒,OC=OA=10cm,
∴
t
10
=
10-t
25
2
∴t=
40
9
,
如图,若∠OQP=90°,则△OPQ为直角三角形,
∵∠AON=∠QOP,
∴∠AON∽△QOP,
∴
OP
ON
=
OQ
OA
,
∴
t
25
2
=
10-t
10
,
∴t=
50
9
cm,
∴当t=
40
9
cm或者t=
50
9
cm时,△OPQ为直角三角形;
②如图3,作QH⊥OA于H.
∵AN⊥OA,
∴QH∥AN,
∴
QH
AN
=
OQ
ON
,
∵OQ=10-t,AN=
15
2
,ON=
25
2
,
∴QH=
30-3t
5
cm,
∵OP=t,
∴S△OPQ=
QH•OP
2
=
30t-3t2
10
,
∴S=-
3
10
t2+3t(0<t<10).
四、
如图,在矩形OABC中
,OA=8,OC=4,OA、OC分别在x轴与y轴上,D为OA上一点,且CD=AD.
(1)求点D的坐标;
(2)若经过B、C、D三点的抛物线与x轴的另一个交点为E,请直接写出点E的坐标;
(3)在
(2)中的抛物线上位于x轴上方的部分,是否存在一点P,使△PBC的面积等于梯形DCBE的面积?
若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(1)设OD=x,则AD=CD=8-x
Rt△OCD中,(8-x)2=x2+42 得x=3
∴OD=3
∴D(3,0)
(2) 由题意知,抛物线的对称轴为直线x=4
(3) ∵D(3,0),∴另一交点E(5,0)
(3)若存在这样的P,则由S梯形=20, 得S△PBC=
·BC·h=20.
∴h=5
∵B(8,-4), C(0,-4), D(3,0)
∴该抛物线函数关系式为:
y=-
x2+
x-4.
顶点坐标为(4,
)
∴顶点到
BC的距离为4+
=
<5
∴不存在这样的点P,使得△PBC的面积等于梯形DCBE的面积.
0
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