学年高中数学人教A版必修1同步课时达标检测 第三章 函数的应用 全套打包.docx
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学年高中数学人教A版必修1同步课时达标检测第三章函数的应用全套打包
课时达标检测(二十一)方程的根与函数的零点
一、选择题
1.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)对应值表
x
1
2
3
4
f(x)
136.136
15.552
-3.92
10.88
x
5
6
7
f(x)
-52.488
-232.064
11.238
由表可知函数f(x)存在零点的区间有( )
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
解析:
选D ∵f
(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)·f(5)<0,f(6)f(7)<0,
∴共有4个零点.
2.方程0.9x-
x=0的实数解的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
解析:
选B 设f(x)=0.9x-
x,则f(x)为减函数,值域为R,故有1个.
3.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )
A.若f(a)·f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
B.若f(a)·f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0
C.若f(a)·f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
D.若f(a)·f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
解析:
选C 根据函数零点存在性定理可判断,若f(a)·f(b)<0,则一定存在实数c∈(a,b),使f(c)=0,但c的个数不确定,故B、D错.若f(a)·f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0,如f(x)=x2-1,f(-2)·f
(2)>0,但f(x)=x2-1在(-2,2)内有两个零点,故A错,C正确.
4.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是( )
A.a<α
C.α 解析: 选C ∵α,β是函数f(x)的两个零点, ∴f(α)=f(β)=0. 又∵f(x)=(x-a)(x-b)-2, ∴f(a)=f(b)=-2<0. 结合二次函数f(x)的图象,如图所示, 可知,a,b必在α,β之间,只有C满足. 5.已知x0是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( ) A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 解析: 选B 在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x和函数y= 的图象,如图所示,由图可知函数y=2x和函数y= 的图象只有一个交点,即函数f(x)=2x+ 只有一个零点x0,且x0>1. 因为x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),所以由函数图象可知,f(x1)<0,f(x2)>0. 二、填空题 6.函数f(x)=lnx-x2+2x+5的零点个数为________. 解析: 令lnx-x2+2x+5=0得lnx=x2-2x-5,画图(图略)可得函数y=lnx与函数y=x2-2x-5的图象有2个交点,即函数f(x)的零点个数为2. 答案: 2 7.已知方程mx2-x-1=0在(0,1)上恰有一解,则实数m的取值范围是________. 解析: 设f(x)=mx2-x-1,∵方程mx2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,且当m=0时,方程-x-1=0在(0,1)内无解,∴m≠0,由f(0)f (1)<0,即-1(m-1-1)<0,解得m>2. 答案: (2,+∞) 8.若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________. 解析: 函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,就是函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x+a的图象有两个交点,由图象可知当01时,因为函数y=ax(a>1)的图象过点(0,1),当直线y=x+a与y轴的交点(0,a)在(0,1)的上方时一定有两个交点.所以a>1. 答案: (1,+∞) 三、解答题 9.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围. 解: 令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14. 依题意得 或 即 或 解得- <m<0. 故m的取值范围为 . 10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点. 解: 由题意知方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根. 设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0. 当Δ=0,即m2-4=0时,m=±2; 当m=-2时,t=1; 当m=2时,t=-1不合题意,舍去, ∴2x=1,x=0符合题意. 当Δ>0,即m>2或m<-2时, 设t2+mt+1=0有两个根t1,t2且t1t2=1. 又∵t>0,∴t1>0,t2>0,则原方程有两个根. ∴这种情况不可能. 综上可知: m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0. 11.已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0). (1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围; (2)试确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 解: (1)作出g(x)=x+ (x>0)的图象如图所示: 可知若使g(x)=m有零点, 则只需m≥2e, 故m的取值范围为[2e,+∞). (2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.作出g(x)=x+ (x>0)和f(x)的图象如图所示. ∵f(x)=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2, 其对称轴为直线x=e,开口向下,最大值为m-1+e2, ∴当m-1+e2>2e, 即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点, 即g(x)-f(x)=0有两个相异实根, ∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞). 12.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围. 解: (1)由条件知,抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图 (1)所示,得 ⇒ 即- . (2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内,如图 (2)所示, 列不等式组 ⇒ 即- . 课时达标检测(二十二)用二分法求方程的近似解 一、选择题 1.下列关于函数f(x),x∈[a,b]的命题中,正确的是( ) A.若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点 B.若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可以用二分法求x0的近似值 C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点 D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似解 解析: 选A 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件,B不正确;f(x)=0的根也一定是函数f(x)的零点,C不正确;用二分法求方程的根时,得到的也可能是精确解,D不正确,只有A正确. 2.设f(x)=lgx+x-3,用二分法求方程lgx+x-3=0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0,f(2.75)>0,f(2.5)<0,f(3)>0,则方程的根落在区间( ) A.(2,2.25) B.(2.25,2.5) C.(2.5,2.75)D.(2.75,3) 解析: 选C 因为f(2.25)<0,f(2.75)>0,由零点存在性定理知,在区间(2.25,2.75)内必有根,利用二分法得f(2.5)<0,由零点存在性定理知,方程的根在区间(2.5,2.75),选C. 3.已知函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,3)内近似解的过程中,取区间中点x0=2,那么下一个有根区间为( ) A.(1,2)B.(2,3) C.(1,2)或(2,3)D.不能确定 解析: 选A ∵f (1)=-2<0,f (2)=7>0,f(3)=28>0, ∴f(x)在(1,2)内有解,故选A. 4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表: f (1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260 f(1.4375)≈0.162 f(1.40625)≈-0.054 那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度0.04)为( ) A.1.5B.1.25 C.1.375D.1.4375 解析: 选D 由参考数据知,f(1.40625)≈-0.054, f(1.4375)≈0.162, 即f(1.40625)·f(1.4375)<0, 且1.4375-1.40625=0.03125<0.04, 所以方程的一个近似解可取为1.4375,故选D. 5.已知曲线y= x与y=x的交点的横坐标是x0,则x0的取值范围是( ) A. B. C. D.(1,2) 解析: 选A 设f(x)= x-x, 则f(0)=1>0, f = - = - <0, f (1)= -1<0,f (2)= 2-2<0, 显然有f(0)·f <0. 二、填空题 6.某方程有一无理根在区间D=(1,3)内,若用二分法求此根的近似值,将D等分________次后,所得近似值可精确到0.1. 解析: 由 <0.1,得2n-1>10,∴n-1≥4,即n≥5. 答案: 5 7.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称________次就可以发现这枚假币. 解析: 将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚即是假币,若不平衡,则质量小的那一枚即是假币. 综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币. 答案: 4 8.某同学在借助计算器求“方程lgx=2-x的近似解(精确到0.1)”时,设f(x)=lgx+x-2,算得f (1)<0,f (2)>0;在以下过程中,他用“二分法”又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断: 方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________________________________________________________________________. 解析: 第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.8125). 答案: 1.5,1.75,1.875,1.8125 三、解答题 9.从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现某接点发生故障,需及时修理,为了尽快找出故障的发生点,一般最多需要检查多少个接点? 解: 先检查中间的1个接点,若正常,则可断定故障在其另一侧的7个接点中;然后检查这一段中间的1个接点,若仍正常,则可断定故障在其另一侧的3个接点中;最后只需检查这3个接点中间的1个,即可找出故障所在.故一般最多只需检查3个接点. 10.证明方程6-3x=2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解,并求出这个实数解(精确度为0.1). 解: 设函数f(x)=2x+3x-6. ∵f (1)=-1<0,f (2)=4>0, 又∵f(x)是R上的增函数,所以函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一的零点, 则方程6-3x=2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解. 设该解为x0,则x0∈[1,2],取x1=1.5, f(1.5)≈1.33>0,f (1)·f(1.5)<0, ∴x0∈[1,1.5]. 取x2=1.25,f(1.25)≈0.128>0, f (1)·f(1.25)<0,∴x0∈[1,1.25]. 取x3=1.125,f(1.125)≈-0.44<0. f(1.125)·f(1.25)<0. ∴x0∈[1.125,1.25]. 取x4=1.1875,f(1.1875)≈-0.16<0, f(1.1875)·f(1.25)<0, ∴x0∈[1.1875,1.25]. ∵1.25-1.1875=0.0625<0.1, ∴可取x0=1.2, ∴满足要求的方程的实数解为1.2. 11.判断函数f(x)=2x3-1的零点个数,并用二分法求零点的近似值(精确度0.1). 解: f(0)=-1<0,f (1)=1>0,即f(0)·f (1)<0,f(x)在(0,1)内有零点, 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1). 取区间(0,1)的中点x1=0.5,f(0.5)=-0.75<0, ∴f(0.5)·f (1)<0,即x0∈(0.5,1). 取区间(0.5,1)的中点x2=0.75, f(0.75)=-0.15625<0, ∴f(0.75)·f (1)<0,即x0∈(0.75,1). 取区间(0.75,1)的中点x3=0.875, f(0.875)≈0.34>0. ∴f(0.75)·f(0.875)<0,即x0∈(0.75,0.875). 取区间(0.75,0.875)的中点x4=0.8125, f(0.8125)≈0.073>0. ∴f(0.75)·f(0.8125)<0,即x0∈(0.75,0.8125), 而|0.8125-0.75|<0.1. 所以,f(x)的零点的近似值可取为0.75. 12.现有12个小球,从外观上看完全相同,除了1个小球质量不合标准外,其余的小球质量均相同.用一架天平,限称三次,把这个“坏球”找出来,并说明此球是偏轻还是偏重.如何称? 解: 第一次,天平左右各4球,有两种情况: (1)若平,则“坏球”在剩下的4球中.第二次,取剩下的4球中的3球为一边,取3个好球为另一边,放在天平上. ①若仍平,则“坏球”为剩下的4球中未取到的那个球,将此球与1个好球放上天平一看,即知“坏球”是偏轻还是偏重; ②若不平,则“坏球”在一边3球之中,且知是轻还是重.任取其中2球放在天平上,无论平还是不平,均可确定“坏球”; (2)若不平,则“坏球”在天平上的8球中,不妨设右边较重. 从右边4球中取出3球,置于一容器内,然后从左边4球中取3球移入右边,再从外面好球中取3个补入左边.看天平,有三种可能. ①若平,则“坏球”是容器内3球之一且偏重; ②若左边重,“坏球”已从一边换到另一边.因此,“坏球”只能是从左边移入右边的3球之一,并且偏轻; ③若右边重,据此知“坏球”未变动位置,而未被移动过的球只有两个(左右各一),“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重). 显然对于以上三种情况的任一种,再用一次天平,即可找出“坏球”,且知其是轻还是重. 课时达标检测(二十三)几类不同增长的函数模型 一、选择题 1.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程s与时间t的函数关系如下图所示,则下列说法正确的是( ) A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲比乙先到达终点 解析: 选D 由题图可知,甲到达终点用时短,故选D. 2.已知y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2 A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2D.y2>y3>y1 解析: 选B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3. 3.有一组实验数据如下表所示: x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 下列所给函数模型较适合的是( ) A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1) C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1) 解析: 选C 通过所给数据可知y随x增大,其增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,而B中的函数增长速度保持不变,故选C. 4.若x∈(0,1),则下列结论正确的是( ) A.2x>x >lgxB.2x>lgx>x C.x >2x>lgxD.lgx>x >2x 解析: 选A 结合y=2x,y=x 及y=lgx的图象易知,当x∈(0,1)时,2x>x >lgx. 5.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致为( ) 解析: 选D 设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),函数为对数函数,所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象,故选D. 二、填空题 6.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表: x 1 2 3 4 5 6 7 8 … y1 2 4 8 16 32 64 128 256 … y2 1 4 9 16 25 36 49 64 … y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 … 其中,关于x呈指数函数变化的函数是____________________. 解析: 从表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y1呈指数函数变化,故填y1. 答案: y1 7.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位: 年)的函数关系如图所示. 以下四种说法: ①前三年产量增长的速度越来越快; ②前三年产量增长的速度越来越慢; ③第三年后这种产品停止生产; ④第三年后产量保持不变. 其中说法正确的序号是________. 解析: 由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y=xα(0<α<1),反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.由t∈[3,8]的图象可知,总产量C没有变化,即第三年后停产,所以②③正确. 答案: ②③ 8.表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息: ①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h; ②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动; ③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者; ④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样. 其中,正确信息的序号是________. 解析: 看时间轴易知①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故③正确,④错误. 答案: ①②③ 三、解答题 9.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=x 的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点). 解: 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=x ,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1. 由题图知,当x<1时,f(x)>h(x)>g(x); 当1 当e 当a 当b 当c 当x>d时,f(x)>h(x)>g(x). 10.截止到1999年底,我国人口约为13亿,若今后能将人口平均增长率控制在1%,经过x年后,我国人口为y(单位: 亿). (1)求y与x的函数关系式y=f(x); (2)求函数y=f(x)的定义域; (3)判断函数f(x)是增函数还是减函数,并指出函数增减的实际意义. 解: (1)1999年底人口数: 13亿. 经过1年,2000年底人口数: 13+13×1%=13×(1+1%)亿. 经过2年,2001年底人口数: 13×(1+1%)+13×(1+1%)×1% =13×(1+1%)2亿. 经过3年,2002年底人口数: 13×(1+1%)2+13×(1+1%)2×1% =13×(1+1%)3亿. … ∵经过年数与(1+1%)的指数相同, ∴经过x年后人口数为13×(1+1%)x亿. ∴y=f(x)=13×(1+1%)x. (2)∵此问题以年作为单位时间, ∴x∈N*是此函数的定义域. (3)y=f(x)=13×(1+1%)x. ∵1+1%>1,13>0, ∴y=f(x)=13×(1+1%)x是增函数, 即只要递增率为正数,随着时间的推移,人口的总数总在增长. 11.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为了估计以后每个月的产量,以这3个月的产品数量为依据,用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数y=a·bx+c(a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件,试问: 用以上哪个函数作为模拟函数较好? 请说明理由. 解: 设两个函数: y1=f(x)=px2+qx+r(p≠0),y2=g(x)=a·bx+c. 依题意, 解得 ∴y1=f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7, ∴f(4)=1.3(万件). 依题意,得 解得 ∴y2=g(x)=-0.8×0.5x+1.4. ∴g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35(万件). 经比较,g(4)=1.35(万件)比f(4)=1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件. ∴选y2=g(x)=-0.8×0.5x+1.4作为模拟函数较好. 课时达标检测(二十四)函数模型的应用实例 一、选择题 1.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍,那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( ) A. B. C. -1D. -1 解析: 选D 设每月的产量增长率为x,1月份产量为a,则a(1+x)11=ma,所以1+x= ,即x=
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