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测量平差概论
測量平差概論
前言
高職土木建築科測量學及實習九八課綱,包含誤差理論與平差單元。
目前已有之教科書對於該單元之說明,或者偏重於艱深之理論,或者偏於一隅未能全面說明,不易為學生接受,甚而導致誤解。
本文省略理論推導,僅從簡易實例著手,廣泛說明誤差傳播及平差概念,重點放在觀念說明與簡易平差,希望能夠對技職院校之測量學與實習之教學有所助益。
對於作者疏漏之處,期望同行賢達給予指教。
致謝
本文承蒙矩陣出版公司打字排版,成大測量及空間資訊系同仁轉檔編輯,謹致十二萬分之謝意。
民國98年9月23日退休講師白巨川敬啟
測量實習2測量平差概論
一、實習項目:
1.求英制與公制長度之換算係數
2.誤差之意義
3.誤差傳播概論
4.測量平差概論
二、儀器工具:
一般文具行販賣之透明塑膠尺,長度30公分,刻註公分與英寸,每組同式2支。
四開圖畫紙一張,膠帶。
三、地點:
教室
四、觀念:
一般的測量學教科書,通常一開始就講授測量平差法,其實大部份學生都不知道何謂測量?
也還沒有親自測量,馬上就學一大堆測量平差的名詞與理論,學生,尤其高職一年級學生,更是難以理解,本文擬從數個簡單例子或實驗著手,引導學生入門。
1.打靶的例子
所謂百步穿楊與百發百中,似乎都是演義小說中的故事,實際情況是,神槍手以校正好的槍枝射擊,子彈多會密集於靶紙中央,且分佈之範圍甚小,如圖2-1(a)。
若槍枝的瞄準器偏了,則所有的子彈均會統一偏移,如﹙b﹚圖。
正確度高低低低
精密度高高低低
(a)(b)(c)(d)
[圖(a)、(b)各有10個彈著點,數目與圖(c)、(d)相同。
其實神槍手打靶時,某些彈孔幾乎完全重疊而難以辨別,且假設打靶過程中看不見彈著點。
]
圖2-1打靶的正確度與精密度
生手打靶,則彈著點就不會那麼集中於靶心,離散程度甚大,亦即分佈範圍較之於神槍手的為大,如(c)及(d)圖。
將打靶的例子引用於測量,觀測值如果靠近真值,叫做正確度高,(a)圖。
如果只是彼此靠攏,則叫做精密度高,(b)圖。
測量之要求為在正確度高之前提下,精密度亦高。
如果像(d)圖所示,所有彈著點分佈甚廣(精密度低),雖然他們的平均坐標接近原點(靶心),仍不能稱做正確度高。
2.威特T2讀數試驗
威特T2光學測微器經緯儀,度盤刻劃到20’,利用一系列之透鏡與稜鏡,將度盤直徑兩端之刻劃線合在一處讀數,一次讀數就相當於A、B游標取平均,20’÷2=10’,所以它的光學測微器讀數範圍僅需10’,最小刻劃間隔為1”,由於間隔還算大,有些測量教科書建議估讀到0.1”。
其實估讀到0.1”沒有實用價值,茲以試驗說明之。
首先將T2置妥,望遠鏡大約水平,固定水平及垂直制動螺旋,假設已用它瞄準一個目標,欲讀取水平度盤數值。
調整好水平度盤反光鏡,旋轉讀數目鏡環,使刻劃線及數字清晰。
順鐘向旋轉測微鼓,使刻畫線對齊,只讀秒數,且估讀至0.1”,逆鐘向旋轉測微鼓,使刻畫線錯開,再順鐘向旋轉測微鼓,使刻畫線對齊,讀數。
依照此種方式讀數共120次,每做20次休息數分鐘。
此種作業方式在於儘量排除某些不必要的誤差,試驗數據如表2-1。
(先讀到0.1”,最後計算說明讀到1”比較合理)。
表2-1威特T2讀數試驗
A
範
圍
上
14.4
15.4
16.4
17.4
18.4
19.4
20.4
21.4
22.4
23.4
↗
下
↙
14.5
15.5
16.5
17.5
18.5
19.5
20.5
21.5
22.5
23.5
B
觀測值ℓ
≦14”
15”
16”
17”
18”
19”
20”
21”
22”
23”
≧24”
C
次數m
0
0
1
8
29
44
22
13
2
1
0
D
誤差Δ
≦-5”
-4”
-3”
-2”
-1”
0”
+1”
+2”
+3”
+4”
≧+5”
觀測值總和〔ℓ〕=1·16”+8·17”+29·18”+44·19”+22·20”+13·21”
說+2·22”+1·23”=2290”
全部次數n=〔m〕=1+8+29+44+22+13+2+1=120
明平均值x=〔ℓ〕÷n=19.1”=19”
誤差Δ=觀測值ℓ-平均值x=B欄各值-19”
※因為讀數值分佈在16”~23”,間隔7”,所以平均值取19”,不取19.1”。
表2-2威特T2符合法讀數誤差分佈表
代表值ℓ
≦14”
15”
16”
17”
18”
19”
20”
21”
22”
23”
≧24”
誤差Δ
≦-5”
-4”
-3”
-2”
-1”
0”
+1”
+2”
+3”
+4”
≧+5”
次數m
0
0
1
8
29
44
22
13
2
1
0
頻率p
0
0
0.01
0.07
0.24
0.37
0.18
0.11
0.02
0.01
0
頻率密度d(秒-1)
0
0
0.01
0.07
0.24
0.37
0.18
0.11
0.02
0.01
0
頻率=各組次數÷全部次數,(頻率總和=1.011)
說頻率密度=頻率÷組距,本例取組距為1”。
〔Δ²〕=1.(-3)²+8.(-2)²+29.(-1)²+44.0²+22.1²+13.2²
+2.3²+1.4²=178秒²
明σ={〔Δ²〕÷(n-1)}1/2={178÷(120-1)﹜1/2=±1.2”
σ=±1.2”即為(任何)一次讀數之中誤差
備1.表中120個讀數,Δ值從–3”〜+4”,跨距7”,Δ值所對應之ℓ為16”〜23”,在相同情況下,精度相等,所以每一個觀測值(讀數)ℓ之中誤差相等。
註2.在實際測量作業中,每一次瞄準目標通常只讀數1次(最多二次),中誤差±1.2”,所以讀到0.1”不合理。
使用T2讀數資料作直方圖,而作直方圖之基本要求為觀測值的總數要多,組距大小恰當,依組距分組之組數大約10個,最少6個,最多不要超過15個(6,10,15,為大約之數,請不要追究太多,若有興趣,請參考統計學)。
本試驗取組距1”,共有8組,依據表2-2取頻率密度d與誤差Δ作頻率密度直方圖,如圖2-2。
將各個直方柱頂點中央連線,即為頻率密度折線圖。
當觀測量總數加倍,組距由1”減半為0.5”,再作頻率密度折線圖…則其圖形將會趨近於圖中以虛線描繪之曲線圖。
而其極限之圖形就會趨近標準正態分佈密度函數之圖形,如圖2-3。
頻率頻率密度f(△)
0.400.40秒-1
0.300.30秒-1
0.200.20秒-1
直方圖
0.100.10秒-1
折線圖
15”16”17”18”19”20”21”22”23”觀測值ℓ
-4”-3”-2”-1”0”+1”+2”+3”+4”誤差Δ
圖2-2頻率密度直方圖、折線圖與曲線圖
標準正態分佈密度函數之曲線如圖2-3,在該函數
f(Δ)=(1/√(2π))e-Δ²/2曲線下之面積為機率。
(1)誤差Δ=a~b之機率為圖中深色之區域。
(2)誤差Δ=-σ~+σ(一倍中誤差σ)之機率為68.3%。
(3)誤差Δ=-2σ~+2σ之機率為95.4%。
(4)誤差Δ=-∞~+∞之機率為1。
機率密度
f(Δ)=(1/√(2π))e-Δ²/2
Δ=a之機率密度
反曲點Δ=b之機率密度
Δ
-σ+σab
圖2-3標準正態分佈密度函數
五、方法
(一)準備
1.將桌面整理乾淨,再將四開圖畫紙平鋪於桌面。
2.將一支透明塑膠尺翻面,並使英制刻劃的一側朝向自己(朝後),公制刻劃朝前。
3.用膠帶將該尺粘妥於圖畫紙中央,勿使鬆動。
膠帶宜貼在不礙事之處,勿貼在刻劃線上。
4.將第二支尺公制刻劃的一側朝前,且將該尺與第一支尺並排緊靠,使公分刻註的0與英寸刻註的0對齊。
5.再用膠帶將第二支尺貼牢。
(二)讀數
本次實驗係以英寸刻劃線為準,讀取對應之毫米(mm)數值,有兩種方式,甲式為尋找儘可能對齊之整數毫米,乙式為估讀到0.1mm,本次採取甲式,為了排除錯誤,宜在全尺多處觀察且讀數,一共測取11個數值,如表2-3。
表2-3英制尺換算公制尺之係數試驗
i
A
觀測值
改正數
v²
讀取值
導出值
v=x-ℓ
B
ℓ=B÷A
C=ℓ−x0
(mm/inch)²
mm/inch
吋
inch
mm
mm/inch
mm/inch
1
1½
1.5
38
25.33
0.03
0.01
0.0001
2
3
3.0
76
25.33
0.03
0.01
0.0001
3
3⅝
3.625
92
25.38
0.08
-0.04
0.0016
4
4½
4.5
114
25.33
0.03
0.01
0.0001
5
×
×
5.25
×
132
×
25.14
×
/
/
/
6
5.875
149
25.36
0.06
-0.02
0.0004
7
6.3125
160
25.35
0.05
-0.01
0.0001
8
7½
7.5
190
25.33
0.03
0.01
0.0001
9
9
9.0
228
25.33
0.03
0.01
0.0001
10
9¾
9.75
247
25.33
0.03
0.01
0.0001
11
10.9375
277
25.33
0.03
0.01
0.0001
令x0=25.3mm/inch
x=x0+Δx
=25.3+0.04
=25.34mm/inch
[0.40]
Δx=0.40/10
=0.04
[0]
[0.0028]
σ=(0.0028/(10-1))1/2=±0.018mm/inch≈±0.02mm/inch
(三)計算
假設使用的二支尺完全相同,英制尺與公制尺刻劃均勻,以英制尺子之刻線為依據,即為表2-1中之A欄,找出公制尺之整數毫米(mm)數值,表中B欄數值為讀取值,再依B÷A=ℓ得導出值,例如第3個值25.38,以下之計算取導出值ℓ做為觀測值。
觀察表中11個ℓ值,其中第5個為25.14,相對於其他10個明顯偏小,可能在實驗之中發生錯誤。
重新觀察二支並列之尺子,發現讀錯,應為133mm。
在實際測量工作中,通常無法或不易還原現場重測更正,所以只要查出了錯誤,就將它刪除,只剩10個觀測量。
為了減化計算工作,可令x₀=25.3為轉換係數之近似值。
再令C=ℓ-x₀,將10個C值相加得0.40,被10除得Δx=0.04,求得換算係數x,
x=x₀+
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