概率论与数理统计ch12.docx
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概率论与数理统计ch12
上次课主要内容:
一、基本概念
二.样本空间
会根据试验E写出样本空间,随机事件
三.事件间的关系与运算
、
的含义?
.
德摩根(DeMorGen)定理
四、古典概率:
练习:
从1-10中任取3个数,求下列事件的概率:
(1)最小数是3;
(2)最大数是5;
(3)恰好1个数小于3
(4)三个数全不同.
4.概率的基本性质
古典概率具备以下基本性质:
(1)非负性0≤P(A)≤1
(2)正规性P(Ω)=1
(3)P(φ)=0
(4)有限可加性设事件A1,A2,…,Am互斥,则P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am)
证明:
性质
(1)
(2)(3)是显然的.下面就两个事件的情形证明性质(4).
不妨设Ω={ω1,ω2,…,ωn}A1={ωi1,ωi2,…,ωin1}A2={ωj1,ωj2,…,ωjn2}
因为A1、A2互斥,即A1A2=φ,所以
A1∪A2={ωi1,ωi2,…,ωin1,ωj1,ωj2,…,ωjn2}
从而由概率的古典定义得
这个结论很容易推广到任意有限个互斥事件的场合.证毕
三.概率的几何定义——不作要求!
四.概率的公理化定义——请同学自己看,不作要求!
按公理化定义,概率满足:
(1)非负性0≤P(A)≤1,
为事件
(2)正规性P(Ω)=1
(3)可列可加性设事件A1,A2,…,
互斥,则P(A1∪A2∪…∪
)=P(A1)+P(A2)+…+P(
五.概率的性质
性质1.不可能事件的概率为0.即P()=0.
性质2.概率具有有限可加性
即若AiAj=φ(i≠j,i,j=1,2,…n),则
性质3.对任一随机事件A,有
性质4.若AB,则P(A-B)=P(A)-P(B).
推论若AB,则P(A)≥P(B)
推论对于任意两个事件A、B,都有
P(A-B)=P(A)-P(AB).
性质5.对于任意两个事件A、B,都有
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).
推论P(A∪B)≤P(A)+P(B)
性质5还可以用归纳法推广到任意有限个事件:
设A1,A2,…,An是任意n个随机事件,则有
这个公式也称为概率的一般加法公式.
例1.设事件
及
的概率分别为
,求:
例2.设
求:
例3.在某城市中共发行三种报纸:
甲乙丙.在这个城市的居-中,订甲报的有45%,订乙报的有35%,订丙报的有30%,同时订甲乙两报的有10%,同时订甲丙两报的有8%,同时订乙丙两报的5%,同时订三种报纸的有3%,求下述百分比:
(1)只订甲报的;
(2)只订甲乙两个报的;
(3)至少订一种报纸的;
§1.3条件概率、全概公式和贝叶斯公式
一.条件概率和乘法公式
已知事件A发生,事件B发生的可能性多大?
这就是条件概率,记作P(B|A).
例4.一个家庭有两个小孩,假定男、女出生率一样,令B={这两个小孩一男一女},A={两个小孩中至少有一女孩}.则两个孩子依大小排列的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的.也就是说
Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}
基本事件总数n=4,B的有利基本事件数nB=2,所以
P(B)=2/4=1/2
但若已知A发生了,即至少有一女孩,则考虑B发生的概率时,样本空间就缩减为Ω={(男,女),(女,男),(女,女)},总数nA=3,而有利基本事件(至少有一女孩,且有一男一女)数nAB=2,从而
这里P(B|A)≠P(B),说明预知A发生这个信息起了作用.
另外,
,所以
定义1.3.1设A、B为试验E的两个随机事件,且P(A)>0,则称
为事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.
将上式变形得
P(AB)=P(A)P(B|A)
称上式为概率的乘法公式.
乘法公式可以推广到n个事件A1,A2,…,An的场合.即
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)
例5.已知
,
,
求:
例6.某零件寿命超过1年的概率为0.99,超过2年的概率为0.9,求已经使用1年后还能使用1年的概率。
二.全概公式和贝叶斯公式
互斥完备事件组:
设A1,A2,…是随机试验E下的一组事件,如果满足
(1)
(完备性)
(2)AiAj=φ(i≠j,i,j=1,2,…)(互斥性)
则称A1,A2,…为互斥完备事件组.或称A1,A2,…构成样本空间Ω的一个划分.
显然,若事件组A1,A2,…是
的一个划分,则任做一次试验,A1,A2,…中必有且仅有一个发生.
特别地,可列样本空间
的所有基本事件构成Ω的一个划分;另外,对于任何事件A,A与
是Ω的一个划分.
定理1.3.1设A1,A2,…是一互斥完备事件组,P(Ai)>0,i=1,2,…,B是任一事件,则有
(1)
称上式为全概公式.
(2)进一步若假设P(B)>0,则j=1,2,…
称上式为贝叶斯公式.
例7.某工厂有四条流水线生产同一种产品,该四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%和35%,又这四条流水线的不合格品率依次为0.05,0.04,0.03和0.02.现在从出厂产品中任取一件,问恰好抽到不合格品的概率是多少?
例8.(续例7)在上述例子中,若该厂规定,出了不合格品要追究有关流水线的经济责任.现在在出厂产品中任取一件,结果为不合格品,但该件产品是哪一条流水线生产的标志已经脱落,问这件产品是第4条流水线生产的可能性有多大?
例8.假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌,设C={被检验者患有肝癌},A={被检验者被判断患有肝癌}.已知P(A|C)=0.95,
,P(C)=0.0004.现在若有一人被此检验法诊断为患有肝癌,求此人真正患有肝癌的概率P(C|A).
解由贝叶斯公式
因此,虽然检验法相当可靠,但是被诊断为肝癌的人确实患有肝癌的可能性并不大,这是一个值得读者进一步思考的结果.
Ex16,17
(1),24,26,28,29
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