高考数学总复习提素能高效题组训练75.docx
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高考数学总复习提素能高效题组训练75
[命题报告·教师用书独具]
一、选择题
1.(2013年深圳模拟)已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,要使n⊥β,则应增加的条件是( )
A.m∥n B.n⊥m
C.n∥αD.n⊥α
解析:
已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,增加条件n⊥m,由平面与平面垂直的性质定理可得n⊥β,B正确;A、C、D均不符合,选B.
答案:
B
2.已知直线m,n与平面α,β,给出下列三个命题:
①若m∥α,n∥α,则m∥n; ②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;
③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.
其中真命题的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
解析:
②③正确,故选C.
答案:
C
3.(2013年泉州质检)设α,β,γ是三个互不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ
B.若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n
C.若α⊥β,m⊥α,则m∥β
D.若α∥β,m⊄β,m∥α,则m∥β
解析:
对于A,若α⊥β,β⊥γ,α,γ可以平行,也可以相交,A错;对于B,若m∥α,n∥β,α⊥β,则m,n可以平行,可以相交,也可以异面,B错;对于C,若α⊥β,m⊥α,则m可以在平面β内,C错;D正确.
答案:
D
4.(2013年青岛模拟)如图所示,b,c在平面α内,a∩c=B,b∩c=A,且a⊥b,a⊥c,b⊥c,若C∈a,D∈b,E在线段AB上(C,D,E均异于A,B),则△ACD是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
解析:
∵a⊥b,b⊥c,a∩c=B,
∴b⊥面ABC,
∴AD⊥AC,故△ACD为直角三角形.
答案:
B
5.(2012年高考浙江卷)已知矩形ABCD,AB=1,BC=
,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中( )
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
解析:
找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.
对于选项A,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作CF⊥BD,垂足为F,在图
(1)中,由边AB,BC不相等可知点E,F不重合.在图
(2)中,连接CE,若直线AC与直线BD垂直,又∵AC∩AE=A,∴BD⊥面ACE,∴BD⊥CE,与点E,F不重合相矛盾,故A错误.
对于选项B,若AB⊥CD,又∵AB⊥AD,AD∩CD=D,∴AB⊥面ADC,∴AB⊥AC,由AB 对于选项C,若AD⊥BC,又∵DC⊥BC,AD∩DC=D, ∴BC⊥面ADC,∴BC⊥AC.已知BC= ,AB=1,BC>AB,∴不存在这样的直角三角形.∴C错误. 由上可知D错误,故选B. 答案: B 二、填空题 6.(2013年南昌调研)已知平面α,β和直线m,给出条件: ①m∥α;②m⊥α;③m⊂α;④α∥β.当满足条件________时,有m⊥β.(填所选条件的序号) 解析: 若m⊥α,α∥β,则m⊥β.故填②④. 答案: ②④ 7.如图PA⊥⊙O所在平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论: ①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中真命题的序号是________. 解析: ①AE⊂平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA⇒AE⊥BC, 故①正确,②AE⊥PB,AF⊥PB⇒EF⊥PB,故②正确,③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC,则AF∥AE与已知矛盾, 故③错误,由①可知④正确. 答案: ①②④ 8.(2013年淮北模拟)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,点E,F分别是棱PC,PD的中点,则 ①棱AB与PD所在的直线垂直; ②平面PBC与平面ABCD垂直; ③△PCD的面积大于△PAB的面积; ④直线AE与直线BF是异面直线. 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) 解析: 由条件可得AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD,故①正确; ∵PA⊥平面ABCD, ∴平面PAB、平面PAD都与平面ABCD垂直, 故平面PBC不可能与平面ABCD垂直,②错; S△PCD= CD·PD,S△PAB= AB·PA, 由AB=CD,PD>PA知③正确; 由E,F分别是棱PC,PD的中点可得EF∥CD, 又AB∥CD,所以EF∥AB,故AE与BF共面,故④错. 答案: ①③ 9.(2013年哈尔滨三校联考)如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是________. 解析: 如图,过D作DG⊥AF,垂足为G,连接GK, ∵平面ABD⊥平面ABC, DK⊥AB, ∴DK⊥平面ABC,∴DK⊥AF. ∴AF⊥平面DKG,∴AF⊥GK. 容易得到,当F接近E点时,K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点. ∴t的取值范围是 . 答案: 三、解答题 10.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面ABCD是正方形,DM⊥PC,垂足为M. (1)求证: BD⊥平面PAC; (2)求证: 平面MBD⊥平面PCD. 证明: (1)连接AC, ∵底面ABCD是正方形, ∴BD⊥AC. ∵PA⊥底面ABCD, BD⊂平面ABCD, ∴PA⊥BD. ∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC. (2)由 (1)知BD⊥平面PAC, ∵PC⊂平面PAC,∴BD⊥PC, ∵DM⊥PC,BD∩DM=D, ∴PC⊥平面DBM. ∵PC⊂平面PDC, ∴平面MBD⊥平面PCD. 11.(2013年泉州模拟)如图所示,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点. (1)求证: B1D1∥平面A1BD; (2)求证: MD⊥AC; (3)试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D. 解析: (1)证明: 由直四棱柱,得BB1∥DD1, 又∵BB1=DD1, ∴BB1D1D是平行四边形, ∴B1D1∥BD. ∵BD⊂平面A1BD,B1D1⊄平面A1BD ∴B1D1∥平面A1BD. (2)证明: ∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD, ∴BB1⊥AC. 又∵BD⊥AC,且BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D. 而MD⊂平面BB1D,∴MD⊥AC. (3)当点M为棱BB1的中点时,平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于O,连接OM,如图所示. ∵N是DC的中点,BD=BC, ∴NB⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线, 而平面ABCD⊥平面DCC1D1, ∴BN⊥平面DCC1D1. 又可证得O是NN1的中点, ∴BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四边形. ∴BN∥OM,∴OM⊥平面CC1D1D. ∵OM⊂平面DMC1, ∴平面DMC1⊥平面CC1D1D. 12.(能力提升)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中,M是BD的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示. (1)求出该几何体的体积; (2)求证: EM∥平面ABC; (3)试问在棱DC上是否存在点N,使NM⊥平面BDE? 若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由. 解析: 由题意,EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC, AE∥DC,AE=2, DC=4,AB⊥AC,且AB=AC=2. (1)∵EA⊥平面ABC,∴EA⊥AB,又AB⊥AC, ∴AB⊥平面ACDE. ∴四棱锥BACDE的高h=AB=2,梯形ACDE的面积S=6, ∴VBACDE= Sh=4,即所求几何体的体积为4. (2)证明: ∵M为DB的中点,取BC中点G,连接EM,MG,AG, ∴MG∥DC,且MG= DC, ∴MG平行且等于AE, ∴四边形AGME为平行四边形, ∴EM∥AG,又AG⊂平面ABC,EM⊂平面ABC, ∴EM∥平面ABC. (3)由 (2)知,EM∥AG, 又∵平面BCD⊥底面ABC,AG⊥BC, ∴AG⊥平面BCD. ∴EM⊥平面BCD,又∵EM⊂平面BDE, ∴平面BDE⊥平面BCD. 在平面BCD中,过M作MN⊥DB交DC于点N, ∴MN⊥平面BDE,点N即为所求的点, △DMN∽△DCB, ∴ = ,即 = , ∴DN=3,∴DN= DC, ∴边DC上存在点N,满足DN= DC时,有NM⊥平面BDE. [因材施教·学生备选练习] 1.(2013年西安质检)如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,下列命题正确的是( ) A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC 解析: 在平面图形中CD⊥BD,折起后仍有CD⊥BD,由于平面ABD⊥平面BCD,故CD⊥平面ABD,CD⊥AB.又AB⊥AD,故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC.D选项正确.易知选项A、B、C错误. 答案: D 2.正四棱锥SABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为________. 解析: 如图,取CD的中点F、SC的中点G,连接EF,EG,FG,设EF交AC于点H,易知AC⊥EF, 又GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD, ∴AC⊥GH,GH∩EF=H, ∴AC⊥平面EFG. 故点P的轨迹是△EFG,其周长为 + . 答案: +
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