篇三:
《优化探究》201X届高三数学理科二轮复习专题演练1-7-2第二讲椭圆、双曲线、抛物线
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1-7-2第二讲椭圆、双曲线、抛物线
一、选择题
x22
1.(201X年长沙一中月考)已知△ABC的顶点B、C在椭圆3+y=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是()
A.23C.3
B.6D.12
解析:
根据椭圆定义可知,△ABC的周长等于椭圆长轴长的二倍,即3.答案:
C
x2y2
2.(201X年北京东城模拟)若双曲线6-3=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则r=()
A.3C.3
B.2D.6
x2y22
解析:
双曲线6-31的渐近线为y=2x,因为双曲线的渐近线与圆(x2
-3)2+y2=r2(r>0)相切,故圆心(3,0)到直线y=2的距离等于圆的半径r,则r=
2×3±2×0|
3.
2+4
答案:
A
3.(201X年大同模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与曲线x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为()
A.21C.2
B.11D.4
p
解析:
注意到抛物线y2=2px的准线方程是x=-2曲线x2+y2-6x-7=0,p即(x-3)2+y2=16是圆心为(3,0),半径为4的圆.
于是依题意有|2+3|=4.又p>0,
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p
因此有2+3=4,解得p=2,故选A.
答案:
A
x2y2
4.过双曲线ab1(a>0,b>0)的右焦点F作与x轴垂直的直线,分别与→=4MN→,则双曲
双曲线、双曲线的渐近线交于点M、N(均在第一象限内),若FM线的离心率为()
5A.43C.5
5B.34D.5
b2bc→=4MN→
解析:
由题意知F(c,0),则易得M、N的纵坐标分别为aa,由FMb2bcb2b4c5得a(a-a),即c=5,又c2=a2+b2,则e=a=3.
答案:
B
x2y2
5.(201X年高考山东卷)已知双曲线C1:
ab1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:
x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()
3
A.x2=3yC.x2=8y
163
B.x2=3yD.x2=16y
解析:
根据离心率的大小和距离列出方程或方程组求解.x2y2
∵双曲线C1:
ab=1(a>0,b>0)的离心率为2,a+bcb=3a,a=a=2,∴
∴3x±y=0,
p
|3×2|p2
∴抛物线C2:
x=2py(p>0)的焦点(02到双曲线的渐近线的距离为
2=2,∴p=8.
∴所求的抛物线方程为x2=16y.答案:
D
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二、填空题
3
6.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为2,且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为________.
x2y2
解析:
设椭圆的方程为ab1(a>b>0),根据椭圆定义知2a=12,即a=6,c3x2y2222
由a=2c=33,b=a-c=36-27=9,故所求的椭圆方程为3691.
x2y2
答案:
36+9=1
7.(201X年高考辽宁卷)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________.
解析:
根据双曲线的定义列方程求解.
设P在双曲线的右支上,|PF1|=2+x,|PF2|=x(x>0),因为PF1⊥PF2,所以(x+2)2+x2=(2c)2=8,所以x3-1,x+2=3+1,所以|PF2|+|PF1|=3.
答案:
3
8.(201X年高考辽宁卷)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________.
解析:
根据题意先求出P,Q的坐标,再应用导数求出切线方程,然后求出交点.
1
因为y=2x2,所以y′=x,易知P(4,8),Q(-2,2),所以在P、Q两点处切线斜率的值为4或-2.
所以这两条切线的方程为l1:
4x-y-8=0,l2:
2x+y+2=0,
将这两个方程联立方程组求得y=-4.答案:
-4三、解答题
x2y2
9.(201X年广州模拟)设椭圆M:
a2=1(a2)的右焦点为F1,直线l:
x
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a2→→
=与x轴交于点A,若OF1+2AF1=0(其中O为坐标原点).
a-2
(1)求椭圆M的方程;
(2)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:
x2+(y-2)2=1的任意一条直→·→的最大值.
径(E、F为直径的两个端点),求PEPF
a2
解析:
(1)由题设知,A(,0),F1(a-2,0),
a-2→+2AF→=0,由OF11得
a2
a-2=2(a-2),
a-2
解得a2=6.
x2y2
所以椭圆M的方程为6+2=1.
(2)设圆N:
x2+(y-2)2=1的圆心为N,→·→=(NE→-NP→)·→-NP→)则PEPF(NF→-NP→)·→-NP→)=(-NF(NF→2-NF→2=NP→2-1.=NP
→·→的最大值转化为求NP→2的最大值.
从而将求PEPF因为P是椭圆M上的任意一点,设P(x0,y0),x2y201X6+2=1,即x20=6-3y0.→2因为点N(0,2),所以NP
2=x0+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12.
→2取得最大值12.因为y0∈[-2,2],所以当y0=-1时,NP→·→的最大值为11.所以PEPF
110.已知抛物线C:
x2=2py(p>0),其焦点F到准线的距离为2
(1)试求抛物线C的方程;
(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t>0),过P的直线交C于另一点Q,
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交x轴于M,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N,若MN是C的切线,求t的最小值.
11
解析:
(1)因为焦点F到准线的距离为2,所以p=2故抛物线C的方程为x2=y.
2
(2)设P(t,t2),Q(x,x2),N(x0,x0),则直线MN的方程为y-x20=2x0(x-x0).
x令y=0,得M(2,0),
2
x2t22t20-x
所以kPM=x=,k=x0+x.
2t-x0NQx0-xt-2
因为NQ⊥QP,且两直线斜率存在,2t2所以kPM·kNQ=-1,即·(x+x)=-1,
2t-x002t2x+2t
整理,得x0=①
1-2t又Q(x,x2)在直线PM上,2xt→→
则MQ与MP共线,得x0=②
x+t2t2x+2t2xt
由①②,得=(t>0),
1-2tx+t
x2+122
所以t=-3xt≥3或t≤-3(舍去).2
所以所求t的最小值为3.
x2y2
11.如图,已知F(2,0)为椭圆a+b=1(a>b>0)的右焦点,AB为椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦),线段OF的垂直平分线与椭圆相交于两点C、D,且∠CAD=90°.