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Lingo教程
LINGO教程
LINGO是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。
LINGO内置了一种建立最优化模型的语言,可以简便地表达大规模问题,利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果。
§1LINGO快速入门
●安装:
实验室的所有电脑都已经事先安装好了Lingo8(或者9,10,11)。
如果要在自己的电脑上安装这个软件,建议从网上下载一个破解版的,按照提示一步一步地安装完毕。
●简单例子:
当你在windows系统下开始运行LINGO时,会得到类似下面的一个窗口:
外层是主框架窗口,包含了所有菜单命令和工具条,其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。
在主窗口内的标题为LINGOModel–LINGO1的窗口是LINGO的默认模型窗口,建立的模型都要在该窗口内编码实现。
下面举两个例子。
例1某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品,已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗,如表所示。
产品I
产品II
设备
1
2
8台时
原材料A
4
0
16kg
原材料B
0
4
12kg
该工厂每生产一件产品I可获利2元,每生产一件产品II可获利3元,问应该如何安排生产计划使该厂获利最多?
我们用下面的数学模型来描述这个问题。
设x_1、x_2分别表示在计划期内产品I、II的产量。
因为设备的有效台时是8,这是一个限制产量的条件,所以在确定产品I、II的产量时,要考虑不超过设备的有效台时数,即可用不等式表示为
x_1+2x_2<=8
同理,因原材料A、B的限量,可以得到以下不等式
4x_1<=16
4x_2<=12
该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下,如何确定产量x_1、x_2以得到最大的利润。
若用z表示利润,这时z=2x_1+3x_2.综合上述,该计划问题可用数学模型表示为:
目标函数maxz=2x_1+3x_2
约束条件x_1+2x_2<=8
4x_1<=16
4x_2<=12
x_1、x_2>=0
一个优化模型一般有三部分组成:
1.目标函数(ObjectiveFunction):
要达到的目标。
2.决策变量(Decisionvariables):
每组决策变量的值代表一种方案。
在优化模型中需要确定决策变量的最优值,优化的目标就是找到决策变量的最优值使得目标函数取得最优。
3.约束条件(Constraints):
对于决策变量的一些约束,它限定决策变量可以取得值。
在写数学模型时,一般第一行是目标函数,接下来是约束条件,再接着是一些非负限制等。
在模型窗口输入如下代码:
MAx=2*x1+3*x2;
X1+2*x2<=8;
4*x1<16;
4*x2<12;
点击工具栏上的按钮
或者用Lingo菜单下的solve求解这个模型,即可得到如下结果。
Globaloptimalsolutionfound.已经找到全局最优解
Objectivevalue:
14.00000目标函数值
Infeasibilities:
0.000000不可行的约束数
Totalsolveriterations:
1迭代次数
VariableValueReducedCost
X14.0000000.000000
X22.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
114.000001.000000
20.0000001.500000
30.0000000.1250000
44.0000000.000000
ReducedCost()
非基变量变为基变量时目标函数的系数必须的增加值。
DualPrice(对偶价格或者影子价格)
还有一个求解状态窗口:
求解状态窗口内各项:
VariablesBox
●Total:
模型中的变量总个数(totalnumberofvariablesinthemodel)
●Nonlinear:
模型中非线形变量的个数(thenumberofthetotalvariablesthatarenonlinear)
注X*X+Y=100;中X是非线性变量,Y是线性变量。
●Integer:
模型中整数变量的个数(totalnumberofintegervariablesinthemodel)
注意:
计算各种变量个数时,不计算可以确定变量值的变量。
如:
如果约束条件中x=10,那么这个变量不被看做是一个变量。
ConstraintsBox
●Total:
所有的约束条件个数(totalconstraintsintheexpandedmodel)
●Nonlinear:
所有的非线性约束的个数(thenumberoftheseconstraintsthatarenonlinear)
NonzeroesBox
Total:
模型中非零系数的个数。
Nonlinear:
非线性变量个数。
TheNonzerosboxshowsthetotalnonzerocoefficientsinthemodelandthenumberofthesethatappearonnonlinearvariables
GeneratorMemoryUsedBox
求解时使用的内存量
ElapsedRuntimeBox
求解模型时用的时间
SolverStatusBox
Field
Description
ModelClass
Displaysthemodel’sclassification.Possibleclassesare"LP(线性规划)","QP(二次规划)","ILP(整数线性规划)","IQP(整数二次规划)","PILP(纯整数线性规划)","PIQP(纯整数二次规划)","NLP(非线性规划)","INLP(整数非线性规划)",and"PINLP(纯整数非线性规划)".
State
GivestheStatusofthecurrentsolution.Possiblestatesare"GlobalOptimum(全局最优)","LocalOptimum(局部最优)","Feasible(可行)","Infeasible(不可行)","Unbounded(无界)","Interrupted(中断)",and"Undetermined(不确定)".
Objective
目标函数的当前值Currentvalueoftheobjectivefunction.
Infeasibility
Amountconstraintsareviolatedby.
Iterations
Numberofsolveriterations.(算法的迭代次数)
ExtendedSolverStatusBox
Field
Description
SolverType
Thetypeofspecializedsolverinuse,andwillbeeither"B-and-B(分支定界法)","Global(全局最优求解法)",or"Multistart(多个初始点求解法)".
BestObj
Theobjectivevalueofthebestsolutionfoundsofar.(目前得到的最优解对应的目标函数值)
ObjBound
Thetheoreticalboundontheobjective.(目标函数值的下界)
Steps
Thenumberofstepstakenbytheextendedsolver.(特殊的几种求解程序运行的步骤数:
如分支定界法已求解的分支数,全局最优法已求解的子问题数)
Active
Thenumberofactivesubproblemsremainingtobeanalyzed(有效的步数)。
Lingo程序的一些规则:
1.在Lingo中最开始都是“MAX=”或者“MIN=”开始表示求目标函数的最大或者最小值。
2.变量和它前面的系数之间要用“*”连接,中间可以有空格。
3.变量名不区分大小写,但必须以字母开始,不超过个32字符。
4.数学表达式结束时要用分号“;”表示结束。
表达式可以写在多行上,但是表达式中间不能用分号。
5.在电脑系统中一般没有“小于等于”符号,在Lingo采用“<=”来表示“小于等于”,用“>=”表示“大于等于”。
小于等于也可以用更简单的“<”表示,大于等于用“>”表示。
6.
例1.2运输问题
使用LINGO软件计算6个仓库8个收货点的最小费用运输问题。
产销单位运价如下表。
单
位销地
运
价
产地
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
库存量
WH1
6
2
6
7
4
2
5
9
60
WH2
4
9
5
3
8
5
8
2
55
WH3
5
2
1
9
7
4
3
3
51
WH4
7
6
7
3
9
2
7
1
43
WH5
2
3
9
5
7
2
6
5
41
WH6
5
5
2
2
8
1
4
3
52
需求量
35
37
22
32
41
32
43
38
设VOLUME_i_j为从仓库i运送到收货点j那里的货物量,那么我们的目标函数可以表示为:
MIN= 6*VOLUME_1_1+2*VOLUME_1_2+
6*VOLUME_1_3+7*VOLUME_1_4+
4*VOLUME_1_5+
.
.
.
8*VOLUME_6_5+VOLUME_6_6+4*VOLUME_6_7+
3*VOLUME_6_8;
这里我们只列出了48个项中的9项,输入这么多的数据非常麻烦,而且容易出错。
而运用Lingo提供的模型语言则可以很容易的来描述这个目标函数,而且很容易扩充模型。
在数学上可以用数学符号表示目标函数为:
MinimizeΣij(COSTij•VOLUMEij)
运用Lingo模型语言来描述上面的目标函数,这样的描述简短,容易输入,容易读,更容易理解。
MIN=@SUM(LINKS(I,J):
COST(I,J)*VOLUME(I,J));
Min=@sum(Link(I,j):
cost(I,j)*volume(I,j));
下面比较一些数学表述和Lingos的语法
MathNotation
LINGOSyntax
Minimize
MIN=
Σij
@SUM(LINKS(I,J):
)
COSTij
COST(I,J)
•
*
VOLUMEij
VOLUME(I,J)
接下来看约束条件:
在模型里有两类约束,第一类是收货点要得到需要的货物量,我们称这类约束为需求约束。
第二类成为容量限制,每个仓库运出的货物量不能大于它的库存量。
先考虑第一个收货点的约束,
VOLUME_1_1+VOLUME_2_1+VOLUME_3_1+VOLUME_4_1+VOLUME_5_1+VOLUME_6_1=35;
剩下还要输入7个类似的约束。
用运用数学符号表述这个约束:
Σi VOLUMEij=DEMANDj,对每个收货点j成立。
对应的Lingo模型语言描述是:
@FOR(VENDORS(J):
@SUM(WAREHOUSES(I):
VOLUME(I,J))=
DEMAND(J));
@sum(WAREHOUSES(I):
volume(I,j))=demand(j)
比较一些数学符号和Lingo语法
MathNotation
LINGOSyntax
对于每个收货点j
@FOR(VENDORS(J):
Σi
@SUM(WAREHOUSES(I):
VOLUMEij
VOLUME(I,J))
=
=
DEMANDj
DEMAND(J));
类似的仓库的容量限制用Lingo语言描述为:
@FOR(WAREHOUSES(I):
@SUM(VENDORS(J):
VOLUME(I,J))<=
CAPACITY(I));
目前我们得到下面的Lingo程序:
MODEL:
MIN=@SUM(LINKS(I,J):
COST(I,J)*VOLUME(I,J));
@FOR(VENDORS(J):
@SUM(WAREHOUSES(I):
VOLUME(I,J))=
DEMAND(J));
@FOR(WAREHOUSES(I):
@SUM(VENDORS(J):
VOLUME(I,J))<=
CAPACITY(I));
End
集合段:
在我们已经得到的程序里有一些量没有定义,如WAREHOUSES(I),DEMAND(J),LINKS(I,J)。
这些量将在Lingo中的集合段定义。
集合段以SETS:
表示开始,以ENDSETS表示结束。
如果一个集合的元素都已经定义过,就可以用一些循环函数(如@for).
上面的三个集合在Lingo的集合段定义为:
SETS:
WAREHOUSES:
CAPACITY;
VENDORS:
DEMAND;
LINKS(WAREHOUSES,VENDORS):
COST,VOLUME;
ENDSETS
WAREHOUSES:
CAPACITY;这一句表示在集合WAREHOUSES上有一个属性CAPACITY,即每个仓库都有一个容量属性。
VENDORS:
DEMAND;这一句表示在集合VENDORS上有一个DEMAND的属性,即每个收货点有一个货物需求量的属性。
LINKS(WAREHOUSES,VENDORS):
COST,VOLUME;这个集合表示的是运送网络的关系,而每个关系有COST和VOLUME的属性,即单位运货量的运费和运量的属性。
第三个集合Link的定义和前两个不同,他们是由前两个派生出来的,是前面连个集合的笛卡尔积。
注:
1.集合的属性相当于以集合的元素为下标的数组。
Lingo中没有数组的概念,只有定义在集合上的属性的概念。
2集合的定义语法:
set_name[/set_member/:
][attribute_list];
集合的名称在左边,右边是这个集合上的属性,他们之间用冒号“:
”分割开,最后由分号表示结束。
如果在同一个集合上有多个属性时,不同的属性之间用逗号“,”隔开,如本例的cost和volume属性。
如果要特别列出集合的元素时,在集合的名称后把元素写在两条斜线之间,如本例中的仓库可以写为
WAREHOUSES/WH1,WH2,WH3,WH4,WH5,WH6/:
CAPACITY;
也可以写为WAREHOUSES/WH1..WH6/:
CAPACITY;
Lingo会自动生成需要的集合元素。
集合段的具体定义在后面详述。
数据段:
数据段以DATA:
开始,以ENDDATA表示数据段结束。
DATA:
!
attributevalues;
CAPACITY=605551434152;
DEMAND=3537223241324338;
COST=62674259
49538582
52197433
76739271
23957265
55228143;
ENDDATA
在本例中有三种已知数据,容量CAPACITY、需求量DEMAND,单位运费COST。
使用LINGO软件,编制程序如下:
MODEL:
!
A6Warehouse8VendorTransportationProblem;
SETS:
WAREHOUSES/Wh1..Wh6/:
CAPACITY;
VENDORS/V1..v8/:
DEMAND;
LINKS(WAREHOUSES,VENDORS):
COST,VOLUME;
ENDSETS
!
Hereisthedata;
DATA:
!
attributevalues;
CAPACITY=605551434152;
DEMAND=3537223241324338;
COST=62674259
49538582
52197433
76739271
23957265
55228143;
ENDDATA
!
Theobjective;
MIN=@SUM(LINKS(I,J):
COST(I,J)*VOLUME(I,J));
!
Thedemandconstraints;
@FOR(VENDORS(J):
@SUM(WAREHOUSES(I):
VOLUME(I,J))=
DEMAND(J));
!
Thecapacityconstraints;
@FOR(WAREHOUSES(I):
@SUM(VENDORS(J):
VOLUME(I,J))<=
CAPACITY(I));
End
最后点击按钮求解。
注:
1.Longo模型以model:
表示模型开始,以end表示模型结束。
2.叹号为lingo的注释符,以分号表示注释结束。
注释可以写在多行,一般显示为绿色。
§2LINGO中的集
对实际问题建模的时候,总会遇到一群或多群相联系的对象,比如工厂、消费者群体、交通工具和雇工等等。
LINGO允许把这些相联系的对象聚合成集(sets)。
一旦把对象聚合成集,就可以利用集来最大限度的发挥LINGO建模语言的优势。
现在我们将深入介绍如何创建集,并用数据初始化集的属性。
学完本节后,你对基于建模技术的集如何引入模型会有一个基本的理解。
2.1为什么使用集
集是LINGO建模语言的基础,是程序设计最强有力的基本构件。
借助于集,能够用一个单一的、长的、简明的复合公式表示一系列相似的约束,从而可以快速方便地表达规模较大的模型。
2.2什么是集
集是一群相联系的对象,这些对象也称为集的成员。
一个集可能是一系列产品、卡车或雇员。
每个集成员可能有一个或多个与之有关联的特征,我们把这些特征称为属性。
属性值可以预先给定,也可以是未知的,有待于LINGO求解。
例如,产品集中的每个产品可以有一个价格属性;卡车集中的每辆卡车可以有一个牵引力属性;雇员集中的每位雇员可以有一个薪水属性,也可以有一个生日属性等等。
LINGO有两种类型的集:
原始集(primitive set)和派生集(derivedset)。
一个原始集是由一些最基本的对象组成的。
一个派生集是用一个或多个其它集来定义的,也就是说,它的成员来自于其它已存在的集。
2.3模型的集部分
集部分是LINGO模型的一个可选部分。
在LINGO模型中使用集之前,必须在集部分事先定义。
集部分以关键字“sets:
”开始,以“endsets”结束。
一个模型可以没有集部分,或有一个简单的集部分,或有多个集部分。
一个集部分可以放置于模型的任何地方,但是一个集及其属性在模型约束中被引用之前必须定义了它们。
2.3.1定义原始集
为了定义一个原始集,必须详细声明:
·集的名字
·可选,集的成员
·可选,集成员的属性
定义一个原始集,用下面的语法:
setname[/member_list/][:
attribute_list];
注意:
用“[]”表示该部分内容可选。
下同,不再赘述。
Setname是你选择的来标记集的名字,最好具有较强的可读性。
集名字必须严格符合标准命名规则:
以拉丁字母为首字符,其后由拉丁字母(A—Z)、下划线、阿拉伯数字(0,1,…,9)组成的总长度不超过32个字符的字符串,且不区分大小写。
注意:
该命名规则同样适用于集成员名和属性名等的命名。
Member_list是集成员列表。
如果集成员放在集定义中,那么对它们可采取显式罗列和隐式罗列两种方式。
如果集成员不放在集定义中,那么可以在随后的数据部分定义它们。
①当显式罗列成员时,必须为每个成员输入一个不同的名字,中间用空格或逗号搁开,允许混合使用。
例2.1可以定义一个名为students的原始集,它具有成员John、Jill、Rose和Mike,属性有sex和age:
sets:
students/JohnJill,RoseMike/:
sex,age;
endsets
②当隐式罗列成员时,不必罗列出每个集成员。
可采用如下语法:
setname/member1..memberN/[:
attribute_list];
这里的member1是集的第一个成员名,memberN是集的最末一个成员名。
LINGO将自动产生中间的所有成员名。
LINGO也接受一些特定的首成员名和末成员名,用于创建一些特殊的集。
列表如下:
隐式成员列表格式
示例
所产生集成员
1..n
1..5
1,2,3,4,5
StringM..StringN
Car2..car14
Car2,Car3,Car4,…,Car14
DayM..DayN
Mon..Fri
Mon,Tue,Wed,Thu,Fri
MonthM..MonthN
Oct..Jan
Oct,Nov,Dec,Jan
MonthYearM..MonthYearN
Oct2001..Jan2002
Oct2001,Nov2001,Dec2001,Jan2002
③集成员不放在集定义中,而在随后的数据部分来定义。
例2.2
!
集部分;
sets:
students:
sex,age;
endsets
!
数据部分;
data:
students,sex,age=John116
Jill014
Rose017
Mike113;
enddata
注意:
开头用感叹号(!
),末尾用分号(;)表示注释,可跨多行。
在集部分只定义了一个集students,并未指定成员。
在数据部分罗列了集成员John、Jill、Rose和Mike,并对属性sex和age分别给出了值。
集成员无论用何种字符标记,它的索引都是从1开始连续计数。
在attribute_list可以指
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